胡洲，王志勝，甄子洋

(南京航空航天大學(xué)自動化學(xué)院，江蘇南京210016)

欠驅(qū)動系統(tǒng)是指控制輸入向量空間的維數(shù)小于其廣義坐標(biāo)向量空間維數(shù)的系統(tǒng)［1］。近年來，有關(guān)欠驅(qū)動系統(tǒng)控制問題的挑戰(zhàn)性引起了控制學(xué)界的關(guān)注。常規(guī)船舶是一類典型的欠驅(qū)動系統(tǒng)，它依靠發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)速產(chǎn)生的推力和方向舵偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)彎力矩來實(shí)現(xiàn)水面上2個坐標(biāo)位置和航向的控制。由于欠驅(qū)動水面船舶在橫向上未裝備驅(qū)動裝置，且其動力學(xué)方程帶有非完整約束條件，不滿足著名的Brockett定理的必要條件［2］，所以要實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動船舶的航跡跟蹤控制較為困難［3］。目前，該問題已成為控制領(lǐng)域內(nèi)的一個研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)［4-5］對欠驅(qū)動船舶的直線航跡跟蹤控制的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［6］利用反步技術(shù)和輸出重定義提出了一種全局指數(shù)穩(wěn)定的直線航跡控制方法。文獻(xiàn)［7］基于反步法和Lyapunov直接法設(shè)計(jì)了曲線航跡跟蹤控制律。文獻(xiàn)［8］提出了一種新型的非線性滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了船舶跟蹤虛擬船產(chǎn)生的參考軌跡。文獻(xiàn)［9］采用了一種魯棒自適應(yīng)控制策略解決了帶不確定動態(tài)的船舶路徑跟蹤控制問題。

以上方法都不同程度的存在著局限性，或者比較簡單，只考慮了直線航跡跟蹤控制問題［4-6，10］，或者過于復(fù)雜［7-9］，難于實(shí)現(xiàn)。本文采用了一種非線性信息融合控制方法［11］用于解決欠驅(qū)動水面船舶的曲線航跡跟蹤控制問題，該方法基于被控對象的離散狀態(tài)模型實(shí)現(xiàn)，具有良好的工程應(yīng)用前景。

1 欠驅(qū)動水面船舶控制系統(tǒng)建模

圖1為一個欠驅(qū)動水面船舶的運(yùn)動示意圖。對于多數(shù)船舶的控制問題，通常只考慮船舶在水平面內(nèi)的運(yùn)動，即只關(guān)注縱蕩、橫蕩和艏搖運(yùn)動，而忽略垂蕩、縱搖及橫搖運(yùn)動，本文旨在為欠驅(qū)動水面船舶的航跡跟蹤控制問題找到一種新的解決方法，為了避免船舶的數(shù)學(xué)模型過于復(fù)雜，船舶水平面運(yùn)動方程和動力學(xué)方程均基于如下假設(shè)條件:

1)船體坐標(biāo)系的軸位于船的慣性主軸上;

2)原點(diǎn)在船體重心上;

3)船體質(zhì)量均勻分布;

4)船關(guān)于2個坐標(biāo)軸對稱;

5)不考慮水流速度。

圖1 欠驅(qū)動水面船舶運(yùn)動示意圖Fig.1 Themotion diagram of underactuated vessel

根據(jù)文獻(xiàn)［7-8，12］，欠驅(qū)動水面船舶的運(yùn)動學(xué)方程和動力學(xué)方程可以表示為

式中:m11、m22、m33為慣性參數(shù)，d11、d22、d33為水動力阻力參數(shù)，x、y為船舶在水平面參考坐標(biāo)系中的位置參數(shù)，φ為航向參數(shù)，u、v分別為船舶沿本體坐標(biāo)系xβ軸和yβ軸方向上的線速度，r為船舶的航向角速度，τ1、τ2分別為縱向推進(jìn)力和轉(zhuǎn)向力矩，τωu、τωv和 τωr為風(fēng)、浪和流等環(huán)境因素引起的外界干擾，且滿足有界條件 τωu≤ τωu(max)＜ ∞，τωv≤ τωv(max)＜ ∞， τωr≤ τωr(max)＜ ∞。

令x1=x，x2=y，x3= φ，x4=u，x5=v，x6==r，u1=τ1，u2=τ2。則式(1)變?yōu)?/p>

定義狀態(tài)向量x=［x1x2x3x4x5x6］，控制向量u=［u1u2］，可將船舶控制模型簡化為

非線性信息融合控制算法需要基于被控對象的離散化數(shù)學(xué)模型實(shí)現(xiàn)，本文采用泰勒級數(shù)法［13］:

將式(2)離散化。式中:A［n］(x，u)可由如下的遞歸表達(dá)式依次求出:

離散化后的模型可表示為如式(3)所示的級數(shù)形式。如果采樣時間T取值較大，則需要保留二階項(xiàng)或更高階項(xiàng)以獲得較為精確的模型。一般來說，如果T≤0.1 s，則式(3)中的一階項(xiàng)為主要部分，二階及二階以上的項(xiàng)可忽略。在本文中，取T=0.02 s，對式(3)保留一階項(xiàng)，可得船舶系統(tǒng)的非線性離散狀態(tài)方程如下

大多數(shù)船舶的控制問題通常只考慮船舶在水平面內(nèi)的運(yùn)動，可構(gòu)造輸出方程如下

2 非線性信息融合控制方法

2.1 控制問題描述

考慮非線性離散控制系統(tǒng)［11］:

式中:x(k)∈Rn為狀態(tài)量，u(k)∈Rm為控制量，ω(k)為干擾輸入，y(k)∈Rp為輸出量，f(·，·)為Rn×Rm上的n維光滑向量場，h(·)是Rp上的p維光滑單調(diào)向量場。x(0)=x0。對于信息融合最優(yōu)跟蹤控制問題，可以建立控制性能指標(biāo):

即求出一組控制序列u(k)，使該式達(dá)到極小值。式中:y*(k)為期望軌跡，上式第一項(xiàng)表示在控制過程中，要求各維實(shí)際輸出都必須跟蹤期望輸出，跟蹤誤差要最小，Q(k)陣表示對各維輸出跟蹤誤差的約束要求，可以看作是關(guān)于跟蹤誤差的信息量;第二項(xiàng)表示在整個控制過程中，對各維控制量的能量要求，在輸出量滿足指標(biāo)要求的前提下，控制能量要最小，R(k)陣表示對各維控制量的能量約束要求，可以看作是關(guān)于控制能量的信息量，R(k)和Q(k)陣均為正定對稱陣。

2.2 非線性信息融合控制算法設(shè)計(jì)

若將性能指標(biāo)函數(shù)式(5)表示為統(tǒng)一的信息模式，則有y*(k)=h［x(k)］+m(k)，m(k)為均值為零，方差為Q-1(k)的白噪聲;0=u(k)+n(k)，n(k)為均值為零，方差為R-1(k)的白噪聲。

從信息融合的角度，上述控制問題共包含3部分信息:1)由式(4)所決定的等式約束信息;2)期望跟蹤軌跡y*(k)的跟蹤信息;3)希望每個u(k)都盡可能小的控制約束信息。信息融合控制的任務(wù)，就是融合這些信息，求出(k)。

定理1［11］若關(guān)于x的各種信息表示為

式中:Hi= ?hi/?x|x=x^，I［|x］表示關(guān)于 x 的信息量。定理1為非線性信息融合估計(jì)定理，式(6)為信息融合估計(jì)的統(tǒng)一非線性模型。稱為信息關(guān)于自身的信息量，記作I［|yi］=;Hi為關(guān)于被估計(jì)量x的信息量，記作I［|x］=Hi。所有關(guān)于被估計(jì)量x的信息的信息量之和等于最優(yōu)融合估計(jì)關(guān)于自身的信息量，即 I［|x］ =。通常，信息量與該信息的協(xié)方差互為倒數(shù)。

式中:w(k+1)為均值為零，方差為P-1(k+1)的白噪聲。將式(7)代入式(9)，運(yùn)用定理1融合關(guān)于u(k)的信息，可得

式中:

將式(12)、(14)代入式(11)，可得

式(15)可變換為

式中:v(k)為均值為零，方差為M-1(k)的白噪聲。

運(yùn)用定理1，融合式(13)、(16)中關(guān)于x(k)的信息，可得

式中:

2.3 非線性信息融合控制算法流程

1)置控制向量初值u^(0)(0)=0，狀態(tài)向量初值 x(0)(0)=x0，求 x(0)(k+1)=f［x(0)(k)，u^(0)(k)］，k=0～(kf-1)，kf為預(yù)見步數(shù)。

2)置迭代序號i=1。

3)求下列偏導(dǎo)數(shù):

4)置:

從上面的算法流程中可以看出，控制律的求解過程中沒有求解非線性黎卡提方程，這為該算法的工程實(shí)現(xiàn)帶來了很大的方便。

3 船舶的信息融合控制仿真研究

本文所取的船舶實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)與文獻(xiàn)［7］相同，m11=200 kg，m22=250 kg，m33=80 kg，d11=70 kg/s ，d22=100 kg/s，d33=50 kg/s。

采樣周期取T=0.02 s，預(yù)見步數(shù)取kf=50步.環(huán)境干擾 τωu(t)= τωv(t)= τωr(t)=5+10sin t，下面分以下4種情況進(jìn)行討論。

情況1:期望跟蹤航跡和航向分別為圖2、3所示，初始狀態(tài)x(0)=［0 0 0 0 0 0］，Q(k)=Q1(k)，無環(huán)境干擾。

圖2 期望跟蹤航跡Fig.2 The expectation tracking trajectory

圖3 期望跟蹤航向Fig.3 The expectation tracking course

情況2:期望跟蹤航跡、航向和初始狀態(tài)保持不變，Q(k)=Q2(k)，無環(huán)境干擾。

情況3:期望跟蹤航跡、航向和初始狀態(tài)保持不變，Q(k)=Q1(k)，有環(huán)境干擾。

情況4:期望跟蹤航跡為x*(t)=5cos t，y*(t)=5sin t，期望跟蹤航向φ*(t)=t+π/2，初始狀態(tài)保持不變，Q(k)=Q1(k)，無環(huán)境干擾。

為了驗(yàn)證非線性信息融合控制算法對欠驅(qū)動水面船舶路航跡跟蹤的控制效果，首先需要設(shè)計(jì)一條期望的航跡，可以通過運(yùn)動規(guī)劃解決。對于全驅(qū)動系統(tǒng)，運(yùn)動規(guī)劃總是認(rèn)為系統(tǒng)在其位形空間內(nèi)的所有運(yùn)動都是允許的，然而對于欠驅(qū)動系統(tǒng)，因?yàn)橄到y(tǒng)受到非完整約束，并不是所有狀態(tài)空間都是可達(dá)的，航跡的生成空間受到很大的限制。本文的主要目的不是討論航跡規(guī)劃問題，針對情況1～3，簡單的采用開環(huán)的方法生成一條航跡，針對情況4，采用了與文獻(xiàn)［7］相同的航跡參數(shù)。

設(shè) ex(t)、ey(t)、eφ(t)為跟蹤誤差。由圖4可以看出，在信息融合控制器的作用下，船舶的曲線航跡跟蹤誤差始終保持在一個較小的范圍內(nèi)，這說明了該算法對欠驅(qū)動水面船舶的航跡跟蹤控制具有良好的效果。圖4、5為信息權(quán)陣 Q(k)分別取Q1(k)和Q2(k)時的航跡跟蹤誤差曲線，可以看出，通過調(diào)節(jié)信息權(quán)陣Q(k)的取值，可以得到不同的跟蹤控制效果。一般而言，增大Q(k)中的某一對角元素的值，可以改善相對應(yīng)的輸出量的控制效果，但其他輸出量的控制效果可能會變差。如圖5所示，Q2(k)中增大了橫向和航向的跟蹤誤差信息量，所以這2個輸出的跟蹤誤差變小，但縱向輸出的跟蹤誤差卻變得比原來大。所以Q(k)陣的取值應(yīng)折衷選取。

圖4 情況1時的航跡跟蹤誤差Fig.4 The tacking error of case 1

圖5 情況2時的航跡跟蹤誤差Fig.5 The tacking error of case 2

圖6為增加環(huán)境干擾后的跟蹤效果，干擾分為常值擾動和正弦擾動，從圖6中可以看出橫向誤差曲線存在一定的常值偏差，所以信息融合控制算法對橫向常值擾動的抗干擾能力較弱，所有通道對正弦擾動均有良好的抗干擾能力，誤差曲線都保持在一個較小的范圍內(nèi)沒有發(fā)散，表明了信息融合控制器對環(huán)境干擾具有一定的魯棒性能。

圖7為情況4時的航跡跟蹤誤差，該情況與文獻(xiàn)［7］所采用的模型參數(shù)和航跡參數(shù)相同，文獻(xiàn)［7］基于反步法和Lyapunov直接法設(shè)計(jì)了曲線航跡跟蹤控制律，綜合比較可得:圖7中跟蹤誤差曲線的收斂速度與文獻(xiàn)［7］基本相當(dāng)，跟蹤效果比較理想。

圖6 情況3時的航跡跟蹤誤差Fig.6 The tacking error of case 3

圖7 情況4時的航跡跟蹤誤差Fig.7 The tacking error of case 4

4 結(jié)論

本文得出以下幾點(diǎn)結(jié)論:

1)采用非線性信息融合控制算法設(shè)計(jì)欠驅(qū)動水面船舶的航跡最優(yōu)跟蹤控制律，可以實(shí)現(xiàn)對船舶位置和航向良好的同步跟蹤控制，同時避免了求解非線性黎卡提方程。

2)在控制器設(shè)計(jì)過程中，信息權(quán)陣Q(k)應(yīng)折衷選取，以使各輸出通道具有均衡的控制效果。

3)仿真實(shí)驗(yàn)表明信息融合控制算法對環(huán)境干擾具有一定的魯棒性能，但對橫向常值擾動的抗干擾能力較弱。

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