熊雄，楊日杰，韓建輝，郭新奇

(1.海軍航空工程學(xué)院 電子信息工程系，山東煙臺(tái)264001;2.海軍航空工程學(xué)院指揮系，山東 煙臺(tái)264001)

在潛艇聲隱身性能越來(lái)越好的條件下，航空磁探儀由于幾乎不受傳播介質(zhì)特性的影響，成為一種有效的反潛探測(cè)設(shè)備，在航空反潛中得到廣泛應(yīng)用。雖然航空磁探潛受海洋環(huán)境復(fù)雜傳播介質(zhì)的影響較小，但是隨著航空磁探儀靈敏度越來(lái)高，潛艇磁異常信號(hào)也越來(lái)越容易受到各種背景擾動(dòng)的干擾。在反潛機(jī)飛行高度較低的情況下，海洋中的風(fēng)浪等海水運(yùn)動(dòng)切割地球磁場(chǎng)，激發(fā)感應(yīng)電磁場(chǎng)，對(duì)航空磁探儀的工作性能產(chǎn)生重要的影響。大量的實(shí)驗(yàn)表明海浪產(chǎn)生的感應(yīng)電磁場(chǎng)噪聲與要檢測(cè)的目標(biāo)磁場(chǎng)量級(jí)、頻帶基本接近，這些噪聲都是不可忽略的干擾源［1-2］。然而海浪磁噪聲很難直接測(cè)量，基于線性波浪理論對(duì)海浪磁場(chǎng)進(jìn)行建模和仿真是研究海浪感應(yīng)磁場(chǎng)噪聲特點(diǎn)及能量分布特性等因素的一種重要方法［3］。

Weaver在海浪波高為常數(shù)的假設(shè)下，給出了理想海域條件下單頻重力波產(chǎn)生的感應(yīng)磁場(chǎng)的理論表達(dá)式，并形成了經(jīng)典 Weaver海浪磁場(chǎng)模型［4］。Ochadlick對(duì)Weaver海浪磁場(chǎng)模型進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果表明該模型具有較強(qiáng)的可信性［5］。近年來(lái)，有學(xué)者分別基于Weaver海浪磁場(chǎng)模型給出了有限深海域磁場(chǎng)模型和海浪磁場(chǎng)矢量理論模型以及計(jì)算方法［6-7］。但是以上模型和計(jì)算方法都是基于單頻海浪重力波，而實(shí)際中海浪是一種復(fù)雜的海水運(yùn)動(dòng)，其浪高隨頻率變化，實(shí)際應(yīng)用中描述海浪特征的方法是海浪譜分析，完整的海浪譜由頻率譜和方向函數(shù)組成［8］。文獻(xiàn)［9］基于海浪譜推導(dǎo)了航空磁探儀接收到的海浪磁噪聲功率譜的理論表達(dá)式，文獻(xiàn)［10-11］給出了基于海浪頻率譜等分法的海浪磁場(chǎng)數(shù)值仿真方法，但是該方法仿真速度慢，而且沒(méi)有考慮方向函數(shù)的影響。文獻(xiàn)［8］在頻率等分法的基礎(chǔ)上采用傅里葉反變換來(lái)模擬海浪，該方法可以減少仿真次數(shù)，提高仿真速度，但是該方法無(wú)法應(yīng)用到海浪磁場(chǎng)仿真。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文基于Weaver單頻波海浪磁場(chǎng)模型，建立地理坐標(biāo)系下任意方向傳播實(shí)際海浪磁場(chǎng)數(shù)值模型，給出快速數(shù)值仿真算法，實(shí)現(xiàn)海浪磁場(chǎng)的快速仿真，并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行校驗(yàn)和分析。

1 單頻重力波磁場(chǎng)模型

1.1 Weaver海浪磁場(chǎng)基本理論

根據(jù)Weaver海浪磁場(chǎng)理論，在地磁場(chǎng)中海洋重力波感應(yīng)電場(chǎng)E，磁感應(yīng)強(qiáng)度B滿足麥克斯韋電磁理論:

式中:μ為海水磁導(dǎo)率，ε為海水介電常數(shù)。海水電流傳導(dǎo)密度為J=σ(E+V×BE)，σ為海水電導(dǎo)率，BE表示地磁場(chǎng)矢量，V為海洋重力波速度矢量。

通常認(rèn)為海水傳導(dǎo)電流密度遠(yuǎn)大于式(2)中等號(hào)右邊第2項(xiàng)的位移電流，因此可以忽略位移電流。則海浪感應(yīng)磁場(chǎng)B可以表示為［11］

為了求解B，Weaver引入速度勢(shì)φ，且定義V=?φ，并求解得到沿X軸方向傳播單頻波海浪磁場(chǎng)強(qiáng)度。本文將建立地理坐標(biāo)系下任意方向傳播海浪磁場(chǎng)強(qiáng)度數(shù)學(xué)模型。

1.2 單頻重力波感應(yīng)磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)模型

建立地理直角坐標(biāo)系OXYZ，OXY位于平均海平面，OZ垂直向上。OW為海浪傳播方向，OW與OX軸的夾角為θ，航空磁探儀在海平面上方高度Zm沿著OM直線飛行，飛行路徑OM與OX軸的夾角為β，如圖1所示。Z＞0為空氣介質(zhì)，Z＜0為海水介質(zhì)。ON為磁北方向，地磁場(chǎng)矢量BE表示為BE=，I表示磁傾角，γ表示磁北方向與X軸的夾角，如圖2所示。

圖1 地理坐標(biāo)系Fig.1 Geographic coordinate system

圖2 地磁場(chǎng)矢量示意圖Fig.2 Schematic of the geomagnetic vector

假設(shè)海水是不可壓縮無(wú)旋流體，根據(jù)文獻(xiàn)［10］，波浪沿θ方向傳播，以簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)描述單頻波海浪流體運(yùn)動(dòng)，則流體擾動(dòng)速度勢(shì)可以表示為

式中:Ω=xcos θ+ysin θ，a、ω 、k分別表示單頻波幅度、頻率、波數(shù)，g為重力加速度，k和ω的散布關(guān)系可以表示為

將式(4)代入式(3)求解得到坐標(biāo)點(diǎn)(x，y，z)處t時(shí)刻單頻波海浪磁場(chǎng)B(x，y，z，t)為

式中:hB(z，θ)為磁場(chǎng)幅度矢量。

海浪磁場(chǎng)傳播經(jīng)過(guò)海水和空氣兩層介質(zhì)。根據(jù)邊界條件z=0處海浪感應(yīng)磁場(chǎng)的垂直分量連續(xù)，并且結(jié)合式(7)可以得到磁場(chǎng)幅度標(biāo)量

其中:

則t時(shí)刻海平面上方坐標(biāo)點(diǎn)(x，y，z)處標(biāo)量磁探儀探測(cè)到單頻重力波標(biāo)量海浪磁場(chǎng)為

式中:ε為海浪初始相位，在(0，2π)上均勻分布。

2 基于線性理論的海浪磁場(chǎng)模型

海浪是一種復(fù)雜的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，在海洋學(xué)研究中利用隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述海浪是進(jìn)行海浪研究的主要途徑之一。為了模擬實(shí)際的海洋環(huán)境，根據(jù)Longuet-higgins線性波浪理論，t時(shí)刻位于坐標(biāo)點(diǎn)(x，y)處波面 ζ(x，y，t)可以表示為無(wú)限個(gè)隨機(jī)相位正弦波的疊加:

式中:εn為第n個(gè)組成波的初始相位，an、ωn、kn第n個(gè)組成波的幅度、頻率、波數(shù)，θ為波浪主傳播方向。

根據(jù)線性理論，海浪產(chǎn)生的磁場(chǎng)也可以表示為無(wú)限個(gè)單頻重力波海浪感應(yīng)磁場(chǎng)的疊加。由式(9)、(10)可以得到磁探儀靜止條件下探測(cè)海浪磁場(chǎng)為

其中:

在航空磁探測(cè)過(guò)程中，磁探儀是隨著飛機(jī)運(yùn)動(dòng)的，因此其接收到的海浪磁噪聲不僅隨時(shí)間變化而且隨觀測(cè)位置變化。根據(jù)式(11)可以得到以速度v按照航向β飛行的航空磁探儀探測(cè)海浪磁場(chǎng)為

其中:

3 海浪磁場(chǎng)快速數(shù)值仿真算法

3.1 基本仿真算法

式(11)、(12)給出了實(shí)際海浪磁場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算模型，但是模擬實(shí)際的海浪磁場(chǎng)需要根據(jù)數(shù)值模型給出有效的數(shù)值仿真算法。由式(11)、(12)可知，海浪磁場(chǎng)與波浪頻率以及相應(yīng)頻率的波高有關(guān)，而且海浪具有三維不規(guī)則性，不僅波高不同、頻率不同，而且會(huì)從各個(gè)方向傳到某一點(diǎn)，除沿主風(fēng)向產(chǎn)生的主浪以外，在主浪向兩側(cè)±π/2角度范圍內(nèi)都有諧波的擴(kuò)散。描述海浪三維不規(guī)則性常用的方法是海浪譜［12-13］。

海浪譜定義為單位頻率間隔和方向間隔內(nèi)的海浪平均能量密度，二維海浪譜又叫方向譜，方向譜S(ω，θ)是由頻率和角度相關(guān)的2個(gè)函數(shù)組成，可表示為

式中:S(ω)為海浪頻譜，G(ω，θ)為海浪方向分布函數(shù)。

海浪頻譜比較容易觀測(cè)，國(guó)外根據(jù)大量海浪觀測(cè)資料，提出了許多的海浪頻譜模型。Person-Moscowitz譜模型簡(jiǎn)稱P-M譜，能較好地描述風(fēng)速為0～20 m/s之間的海浪譜。P-M譜模型表示為

式中:S(ω)為能量頻譜，ω為頻率，α=0.008 1，β=0.74，g為重力加速度，U為海面上19.5 m處風(fēng)速，譜峰頻率為ωn=8.565/U。

根據(jù)ITTC的觀測(cè)資料方向分布函數(shù)可以簡(jiǎn)化表示為

根據(jù)方向譜可以得到在 ωi-Δωi/2～ωi+Δωi/2頻段和θi-Δθi/2 ～ θi+Δθi/2角度內(nèi)海浪波高ai，j，可以表示為［12-13］

海浪磁場(chǎng)仿真算法具體步驟如下:

1)海浪頻段的選擇。為了提高仿真速度和仿真時(shí)間，需要對(duì)海浪頻段進(jìn)行估計(jì)。設(shè)定風(fēng)速，根據(jù)海浪譜表達(dá)式(13)對(duì)海浪譜的頻段進(jìn)行估計(jì)，選擇有限的頻段ω1～ωn來(lái)數(shù)值計(jì)算。

2)進(jìn)行頻段和方向的離散化采樣。根據(jù)海浪譜密度函數(shù)，對(duì)頻譜和方向進(jìn)行離散化采樣，頻率采樣間隔為Δω，方向的采樣間隔為Δθ。

3)計(jì)算每個(gè)離散網(wǎng)格上海浪波高。根據(jù)式(16)可以得到ωi和θj對(duì)應(yīng)網(wǎng)格下的海浪的波高ai，j。

4)產(chǎn)生隨機(jī)相位εn。利用隨機(jī)數(shù)生成原理產(chǎn)生[0，2π)之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

5)單頻波海浪磁場(chǎng)的計(jì)算。設(shè)定坐標(biāo)位置點(diǎn)(x，y，z)，根據(jù)式(9)計(jì)算 ωi和 θj對(duì)應(yīng)網(wǎng)格下的單頻重力波產(chǎn)生的磁場(chǎng)信號(hào)模值。

6)海浪磁場(chǎng)信號(hào)的合成。根據(jù)式(11)或式(12)進(jìn)行單頻波海浪磁場(chǎng)信號(hào)的線性疊加，計(jì)算磁探儀靜止或者運(yùn)動(dòng)條件下接收到的磁噪聲信號(hào)。

3.2 基于四叉樹分解仿真算法優(yōu)化

一種簡(jiǎn)單的采樣方法就是區(qū)間等分法:將頻率區(qū)間和方向區(qū)間分別進(jìn)行M、N等分，取固定大小的采樣子區(qū)域Δω×Δθ，使，將每個(gè)采樣子區(qū)域中心對(duì)應(yīng)的頻率和方向角作為單元波的頻率和方向，按照3.1節(jié)仿真算法將不同振幅和頻率的單頻波合成得到海浪磁場(chǎng)。區(qū)間等分法算法簡(jiǎn)單、容易實(shí)現(xiàn)，仿真過(guò)程中為了盡可能的精確，采樣數(shù)相對(duì)要大，時(shí)空消耗大，不適合在線計(jì)算。

四叉樹分解合成算法具有節(jié)省存儲(chǔ)空間，提高運(yùn)算速度等優(yōu)點(diǎn)，適合于快速計(jì)算，廣泛應(yīng)用于地形學(xué)圖形繪制和圖像處理［14-17］。相對(duì)于其他多叉樹算法，四叉樹具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，檢索效率高的優(yōu)點(diǎn)。四叉樹分解的基本思想是將二維平面按4個(gè)象限進(jìn)行遞歸分割，直到子象限的數(shù)值符合設(shè)定的條件，從而得到一棵四分叉的倒向樹。四叉樹分解的示意圖如圖3所示。在四叉樹分解中，一個(gè)根結(jié)點(diǎn)有4個(gè)子結(jié)點(diǎn)，這4個(gè)子節(jié)點(diǎn)按順序標(biāo)為東北(NE)、西北(NW)、西南(SW)、東南(SE)4個(gè)子區(qū)域，4個(gè)子區(qū)域?qū)⒃瓐D形區(qū)域四等分。依此判斷4個(gè)子區(qū)域是否滿足進(jìn)一步分解的條件，如果不滿足分解條件則，子圖形成為葉子節(jié)點(diǎn)并存儲(chǔ)該節(jié)點(diǎn)，如果滿足分解條件，則子圖形成為根節(jié)點(diǎn)進(jìn)一步分解為4個(gè)節(jié)點(diǎn)，依此遞歸循環(huán)直至分解結(jié)束。

按照四叉樹分解的思想，提出基于四叉樹分解的海浪磁場(chǎng)快速優(yōu)化仿真算法。其優(yōu)化方法是在3.1節(jié)海浪磁場(chǎng)數(shù)值仿真算法步驟2)中采用等能量四叉樹分解方法，其步驟2)可以分解為以下步驟:

1)設(shè)定每個(gè)網(wǎng)格最小采樣能量與總能量的比例PE。

2)根據(jù)步驟1)中選擇的頻段和角度范圍，將S(ω，θ)進(jìn)行四叉樹遞歸分解。

3)判斷每個(gè)子節(jié)點(diǎn)是否滿足該網(wǎng)格的能量小于或者等于設(shè)定比例，若不滿足條件則繼續(xù)分解該網(wǎng)格，若滿足條件，則結(jié)束分解并記錄葉子節(jié)點(diǎn)網(wǎng)格信息。

4)將每個(gè)網(wǎng)格葉子節(jié)點(diǎn)按照樹形鏈表結(jié)構(gòu)記錄，在后續(xù)的仿真過(guò)程中采用樹形鏈表遍歷的方法快速遍歷每個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)，得到步驟3)中所需的每個(gè)分解單元的信息。

圖3 四叉樹分解示意圖Fig.3 Schematic of quadtree division

4 海浪磁場(chǎng)數(shù)值仿真及分析

基于海浪磁場(chǎng)快速仿真算法，對(duì)不同條件下海浪磁場(chǎng)進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算，并分析仿真性能?；镜姆抡鏃l件為:地磁場(chǎng)BE=50 000 nT，地磁傾角為60°，地磁偏角為 10°，重力加速度為 9.8 m/s2，海水的磁導(dǎo)率為4π×10-7H/m，海水電導(dǎo)率為5 S/m，采樣頻率為10 Hz。

4.1 仿真速度比較分析

設(shè)定海況等級(jí)為3級(jí)，對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)速為8.23 m/s，得到海浪波譜圖如圖4所示。從圖4可以看出，海浪波譜能量主要分布在0.5～1.5 Hz頻帶范圍和-π/2～π/2角度范圍內(nèi)。

圖4 海況等級(jí)為3級(jí)海浪方向譜Fig.4 Ocean wave directional spectrum under sea state level 3

對(duì)圖4中3級(jí)海況下海浪方向譜進(jìn)行等能量四叉樹離散化分解，圖5為網(wǎng)格能量為總能量的0.5%時(shí)方向和頻段的離散化結(jié)果。從圖5離散化結(jié)果可以看出，四叉樹等能量分解法在能量密度低的區(qū)域采樣稀疏，在能量密度高的區(qū)域采樣密集。

圖5 基于四叉樹方向譜等能量離散化Fig.5 Equal energy division of directional spectrum based on quadtree

為了客觀比較區(qū)間等分法和四叉樹分解法的仿真速度，對(duì)不同的能量百分比條件下區(qū)間等分法和四叉樹分解法的計(jì)算次數(shù)進(jìn)行比較，結(jié)果如表1?？梢钥闯瞿芰康确值谋壤叫。牟鏄浞纸馑惴ㄅc等間隔分解算法所需要的計(jì)算次數(shù)比例越小。

表1 仿真速度比較Table 1 Simulation speed comparison

4.2 時(shí)間統(tǒng)計(jì)特性及頻域特性分析

波浪傳播主方向?yàn)?5°，磁探儀高度50 m，基于四叉樹分解的優(yōu)化仿真算法仿真不同海況等級(jí)下磁探儀靜止條件下采樣磁異常時(shí)間歷程信號(hào)如圖6所示，并利用Welch功率譜計(jì)算方法進(jìn)行譜分析得到功率譜如圖7所示。從圖7譜分析可知，海浪磁場(chǎng)能量隨海況的增長(zhǎng)而迅速的增加。隨著海況的增長(zhǎng)，中心頻率是逐漸向低頻方向移動(dòng)的。這與海浪譜的分布特征是吻合的。

圖6 不同海況下靜止磁探儀采樣海浪磁場(chǎng)信號(hào)仿真Fig.6 Simulation on ocean wave generated magnetic field signals sampled by a staying magnetometer under different sea state levels

圖7 不同海況等級(jí)靜止磁探儀采樣信號(hào)功率譜Fig.7 Power spectrum of ocean wave generated magnetic field signals sampled by a staying magnetometer under different sea state levels

根據(jù)線性海浪理論，磁探儀靜止條件下采樣仿真結(jié)果應(yīng)該能反映線性隨機(jī)海浪磁場(chǎng)外觀上和統(tǒng)計(jì)上的特征，整體統(tǒng)計(jì)特征表現(xiàn)為上下對(duì)稱，均值為零，其正態(tài)性偏度和峰度應(yīng)為0和3。對(duì)圖6仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到均值、偏度和峰度如表2所示。根據(jù)表2統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可見(jiàn)，海浪磁場(chǎng)仿真結(jié)果與線性隨機(jī)海浪外觀上和統(tǒng)計(jì)上的理論特征吻合。

表2 靜止磁探儀采樣時(shí)域統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)Table 2 Time-domain statistical analysis of samples by stationary magnetometer

海況等級(jí)為4級(jí)條件，海浪傳播主方向60°。磁探儀飛行方向?yàn)?5°，飛行高度50 m，基于四叉樹分解的優(yōu)化仿真算法仿真不同速度下航空磁探儀探測(cè)的海浪磁場(chǎng)時(shí)間歷程信號(hào)如圖8，并利用Welch法得到頻譜如圖9所示。

根據(jù)圖7、9可以看出，隨著飛行速度的增加，磁探儀接收到的海浪磁場(chǎng)信號(hào)存在明顯的多普勒效應(yīng)。磁探儀靜止條件下采樣的信號(hào)能量主要集中在0～0.4 Hz，而航空磁探儀運(yùn)動(dòng)速度50 m/s時(shí)接收信號(hào)的主要頻段集中在0.2～1.6 Hz，存在明顯的頻帶擴(kuò)展和頻率移動(dòng)。隨著航空磁探儀運(yùn)動(dòng)速度的增加多普勒效應(yīng)越明顯，這與文獻(xiàn)［9］中實(shí)驗(yàn)分析的結(jié)果是一致的。

圖8 不同飛行速度下運(yùn)動(dòng)磁探儀采樣海浪磁場(chǎng)信號(hào)仿真Fig.8 Simulation on ocean wave generated magnetic field signals sampled by a magnetometer moving with different speeds

圖9 運(yùn)動(dòng)磁探儀不同飛行速度采樣海浪磁場(chǎng)信號(hào)功率譜Fig.9 Power spectrum of ocean wave generated magnetic field signals sampled by a magnetometer moving with different speeds

圖10 運(yùn)動(dòng)磁探儀不同飛行角度采樣海浪磁場(chǎng)信號(hào)功率譜Fig.10 Power spectrum of ocean wave generated magnetic field signals sampled by a magnetometer moving with different angles

海況等級(jí)為4級(jí)，海浪傳播主方向60°，航空磁探儀運(yùn)動(dòng)速度80 m/s，基于四叉樹分解的優(yōu)化仿真算法仿真運(yùn)動(dòng)磁探儀不同運(yùn)動(dòng)角度采樣信號(hào)的功率譜分析結(jié)果如圖10所示。從圖10分析可知，當(dāng)飛行方向與海浪傳播方向接近時(shí)，海浪磁場(chǎng)信號(hào)頻率更加集中，頻帶范圍更窄，隨著飛向方向與海浪傳播方向夾角的增大，海浪磁場(chǎng)信號(hào)帶寬變窄，并且明顯向低頻方向擴(kuò)展。

5 結(jié)束語(yǔ)

基于Weaver海浪磁場(chǎng)模型推導(dǎo)了地理坐標(biāo)系下沿任意方向傳播海浪單頻重力波感應(yīng)磁場(chǎng)數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上基于線性理論推導(dǎo)了實(shí)際海浪磁場(chǎng)數(shù)值模型?；谟^測(cè)海浪譜給出了實(shí)際海浪磁場(chǎng)數(shù)值仿真算法，在海浪頻率和海浪方向上更加真實(shí)地描述實(shí)際海浪，并且采用四叉樹理論對(duì)仿真算法進(jìn)行了仿真速度優(yōu)化。時(shí)頻域驗(yàn)證和分析結(jié)果表明，該仿真算法仿真速度快，仿真結(jié)果與理論和實(shí)際情況吻合。該仿真算法能夠仿真遠(yuǎn)離海岸任意精度的連續(xù)海洋波浪產(chǎn)生的磁場(chǎng)，可用于航空磁探儀海浪磁噪聲背景消除研究，可為進(jìn)一步的海浪磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)研究提供指導(dǎo)。

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