孫建新

(紹興文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系,浙江 紹興312000)

凸函數(shù)導(dǎo)出指標(biāo)

孫建新

(紹興文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系,浙江 紹興312000)

討論了凸函數(shù)導(dǎo)出指標(biāo)的各種常見類型,考慮了它們與范數(shù)導(dǎo)出指標(biāo)的關(guān)系,并通過實例對兩者進行了比較.

凸函數(shù);拉格朗日乘子法;信息熵;范數(shù)導(dǎo)出指標(biāo);凸函數(shù)導(dǎo)出指標(biāo)

則該凸函數(shù)F(nj;pj,p,n)有資格作為離散資源公平分配的目標(biāo)函數(shù).由這樣的目標(biāo)函數(shù)所導(dǎo)出的指標(biāo),稱之為凸函數(shù)導(dǎo)出指標(biāo),以便區(qū)別于在目標(biāo)函數(shù)為范數(shù)(即廣義的距離)的數(shù)學(xué)模型中的由范數(shù)導(dǎo)出的指標(biāo).

1 和函數(shù)導(dǎo)出的指標(biāo)

則x0為

根據(jù)基本初等函數(shù)的不同,常見的凸函數(shù)類指標(biāo)可分為6種:

1.1凸函數(shù)F為pi/ni的加權(quán)冪函數(shù)之和

下面求凸函數(shù)F為pi/ni的加權(quán)冪時的比較指標(biāo).

不妨考慮j=1與j=2兩個部門間的席位轉(zhuǎn)讓方案(其余部門不變)：

即

上式等價于

所以可取比較指標(biāo)為

特別地，當(dāng)k=2時，有

可見，指標(biāo)Ijmax(2)與EP法的Huntington-Q值指標(biāo)相當(dāng).

類似地，可取比較指標(biāo)為

亦即

特別地，當(dāng)k=-1時，有

1.2凸函數(shù)F為pi/ni的加權(quán)對數(shù)函數(shù)之和

類似地，不妨考慮j=1與j=2兩個部門間的席位轉(zhuǎn)讓方案(其余部門不變)：

即

等價于

可得比較指標(biāo)為

類似可得比較指標(biāo)為

綜合可得比較指標(biāo)為

1.3凸函數(shù)F為pi/ni的加權(quán)指數(shù)函數(shù)之和

H=F+λ(n-∑nj),

則有

類似可得比較指標(biāo)為

進一步的分析可知,當(dāng)正數(shù)d?0.1時，該指標(biāo)與1+2Aj(d)很接近.于是該指標(biāo)法與Webster方法的方案也很接近.

1.4凸函數(shù)F為pi/ni的加權(quán)正切函數(shù)之和

類似可得比較指標(biāo)為

當(dāng)正數(shù)d?0.1時，該指標(biāo)法與Webster方法也很接近.

1.5凸函數(shù)F為pi/ni的加權(quán)反正切函數(shù)之和

類似可得比較指標(biāo)為

當(dāng)正數(shù)d?0.1時，該指標(biāo)法與Webster方法也很接近.

2 乘積函數(shù)導(dǎo)出的指標(biāo)

對凸函數(shù)F為pi/ni的冪指函數(shù)的乘積，設(shè)Ugt;0,則UV=exp(V·lnU),特別地:

(ⅰ)對于凸函數(shù)為

(ⅱ)對于凸函數(shù)為

(ⅲ)對于凸函數(shù)為

3 離散分布函數(shù)導(dǎo)出的指標(biāo)

3.1多項分布

由極大似然原理，聯(lián)合分布的概率達到最大的點就是(q1,q2,…,qm)，于是滿足公平性條件.

下面求凸函數(shù)F為多項分布時的比較指標(biāo).

不妨考慮j=1與j=2兩個部門間的席位轉(zhuǎn)讓方案(其余部門不變)：

即

等價于

3.2多項超幾何分布

對于部門j來講，就是二項超幾何分布，即

由極大似然原理，聯(lián)合分布的概率達到最大的點就是(q1,q2,…,qm)，于是滿足公平性條件.

下面求凸函數(shù)G為多項超幾何分布時的比較指標(biāo).

不妨考慮j=1與j=2兩個部門間的席位轉(zhuǎn)讓方案(其余部門不變)：

即

等價于

于是可得

這表明由超幾何分布導(dǎo)出的指標(biāo)與多項分布導(dǎo)出的指標(biāo)略有差異.

4 凸函數(shù)導(dǎo)出指標(biāo)及其等價指標(biāo)匯總

下面將凸函數(shù)導(dǎo)出的指標(biāo)作一小結(jié)，結(jié)果見表1.

表1 凸函數(shù)類指標(biāo)一覽表

5 凸函數(shù)導(dǎo)出指標(biāo)與范數(shù)導(dǎo)出指標(biāo)的比較

例1 設(shè)m=3,n=10,p=100,p1=69,p2=16,p3=15.試使用指標(biāo)λj，μj與νj求席位分配方案，并且與最大概率法、Jefferson方法和Webster方法的分配方案進行比較.

解已知m=3，n=10，p=100，p1=69，p2=16，p3=15.令

表2是6種不同方法指標(biāo)及其所對應(yīng)的分配方案的比較.由表2的計算結(jié)果可知，在某些情況下，信息熵法所得結(jié)果可能與Jefferson法相同，而與Webster法不同.由離散資源公平分配的理論[1-2]可知，當(dāng)總席位不固定時,席位分配的最優(yōu)方法是W法，即Webster法;總席位數(shù)固定時,最優(yōu)方法為S法.所以，最大信息熵法[3]并非席位分配問題的最優(yōu)方法，但是它應(yīng)該是對稱的服務(wù)指派問題的一種理想方法.

表2 6種方法的指標(biāo)在實例中的分配方案比較

[1]孫建新.席位分配公理的相容性與完備性[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，2011，41(4)：78-84.

[2]孫建新.On Fair Distribution of Discrete Resources[J].紹興文理學(xué)院學(xué)報,2013，33(9)：8-22.

[3]高尚.席位分配的最大熵法[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，1996，26(2)：73-75.

The Index Derived from Convex Function

Sun Jianxin

(Department of Mathematics, Shaoxing University, Shaoxing, Zhejiang 312000)

In this paper, the common types of index derived from various convex functions are discussed. The relationship between the index derived from norm and convex function are considered. Both of them are compared by example.

convex function; method of Lagrange multiplier; information entropy; index derived from norm; index derived from convex function

2014-07-08

孫建新(1946-)，男，浙江紹興人，副教授.研究方向：離散數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模.

O224

A

1008-293X(2014)09-0001-07

(責(zé)任編輯鄧穎)