国产日韩欧美一区二区三区三州_亚洲少妇熟女av_久久久久亚洲av国产精品_波多野结衣网站一区二区_亚洲欧美色片在线91_国产亚洲精品精品国产优播av_日本一区二区三区波多野结衣 _久久国产av不卡

?

一階超前中立微分方程解的存在性

2014-10-23 07:48簡林祥
三明學院學報 2014年2期
關鍵詞:偏序有界等價

簡林祥

(福建農林大學 計算機與信息學院,福建 福州 350002)

從1836年Sturm研究熱傳導方程提出二階線性常微分方程

的振動問題以來,常微分方程的振動理論已經有很久的歷史了,Sturm的比較定理、Sturm零點分離定理已經被寫入大學教科書。Swanson[1]總結了線性常微分方程振動理論的經典結果,見文獻[2]。

對于滯后的一階中立型微分方程

其中 P(t)≡1,Q(t)∈C([t0,∞),R+,τ,δ∈(0,∞)。

方程已有的結果是[3]:方程(1)存在有界正解的充分必要條件是

但是對于超前一階中立微分方程的情況是否有相似的結果是未知的。

本文研究了超前一階中立微分方程:

其中 P(t)≡1,Q(t)∈C([t0,∞),R+,τ,δ∈(0,∞) 。

需要指出,在必要性的證明過程中,本文加入了條件 0<α≤x(t)≤β,其中 x(t)為方程(2)的有界正解。

1 結果及證明

引理1方程(2)存在有界正解的充分必要條件是

現定義函數

顯然,H(t)是定義在R上的非負連續(xù)函數。再引入函數

可得關系式 y(t)=y(t+τ)+H(t),t≥T。

設 t∈[T-(n+1)τ,T-nτ],由 H(t)的性質和式(4),

從而0≤y(t)≤1。

定義函數集合X={x∶x∈C([T,∞),R),0≤x(t)≤y(t),t≥T}在通常偏序“≤”的意義下,(X,≤)構成一個偏序集。不難看出對于任意集合A?X,存在infA和supA。現在在X上定義映象S如下:

顯然,當t≥T+m時,

由Knaster不動點定理,存x∈X在,使得Sx=x。這個x即方程(2)定義在上的一個連續(xù)有界正解。

充分性得證。

必要性:

假設方程(2)存在有界正解 x(t)。即 0<α≤x(t)≤β代入方程(2)得

因而

上述各式累加,得

引理 2 設 Q(t)∈C([t0,∞),R+),τ>0,

那么(1)和(2)是等價的。

證明:(1)?(2):

因為

所以

(2)?(1):

因為

所以

從而

定理 方程(2)存在有界正解的充分必要條件是

證明:

由引理1,方程(2)存在有界正解的充分必要條件是

再由引理2知

等價,所以方程(2)存在有界正解的充分必要條件是

2 意義

討論了超前一階中立微分方程: [x(t)-P(t)x(t-τ)]'+Q(t)x(t-δ)=0,t≥t0其中 P(t)≡1,Q(t)∈C([t0,∞),R+,τ,δ∈(0,∞)。

得到該方程存在有界正解的充分必要條件是

這部分補充了文獻[3]提出的相關問題的結論。

[1]SWANSON C A.Comparison and oscillation theory of linear differential equations[M].New York:Academic Press,1968:28-196.

[2]KRCICH K.Oscillation theory[M].New York:Springer:1973,1-98.

[3]張炳根,庾建設.關于中立型微分方程正解的存在性[J].中國科學:A輯,1992,8:785-790.

猜你喜歡
偏序有界等價
等價轉化
指數有界雙連續(xù)n階α次積分C群的次生成元及其性質
一類具低階項和退化強制的橢圓方程的有界弱解
基于有限辛空間的一致偏序集和Leonard對
相對連續(xù)偏序集及其應用
n次自然數冪和的一個等價無窮大
淺談正項有界周期數列的一些性質
可消偏序半群的可消偏序擴張與商序同態(tài)
收斂的非線性迭代數列xn+1=g(xn)的等價數列
偏序群S上S-偏序系的內射包*