簡林祥
(福建農林大學 計算機與信息學院,福建 福州 350002)
從1836年Sturm研究熱傳導方程提出二階線性常微分方程
的振動問題以來,常微分方程的振動理論已經有很久的歷史了,Sturm的比較定理、Sturm零點分離定理已經被寫入大學教科書。Swanson[1]總結了線性常微分方程振動理論的經典結果,見文獻[2]。
對于滯后的一階中立型微分方程
其中 P(t)≡1,Q(t)∈C([t0,∞),R+,τ,δ∈(0,∞)。
方程已有的結果是[3]:方程(1)存在有界正解的充分必要條件是
但是對于超前一階中立微分方程的情況是否有相似的結果是未知的。
本文研究了超前一階中立微分方程:
其中 P(t)≡1,Q(t)∈C([t0,∞),R+,τ,δ∈(0,∞) 。
需要指出,在必要性的證明過程中,本文加入了條件 0<α≤x(t)≤β,其中 x(t)為方程(2)的有界正解。
引理1方程(2)存在有界正解的充分必要條件是
現定義函數
顯然,H(t)是定義在R上的非負連續(xù)函數。再引入函數
可得關系式 y(t)=y(t+τ)+H(t),t≥T。
設 t∈[T-(n+1)τ,T-nτ],由 H(t)的性質和式(4),
從而0≤y(t)≤1。
定義函數集合X={x∶x∈C([T,∞),R),0≤x(t)≤y(t),t≥T}在通常偏序“≤”的意義下,(X,≤)構成一個偏序集。不難看出對于任意集合A?X,存在infA和supA。現在在X上定義映象S如下:
顯然,當t≥T+m時,
由Knaster不動點定理,存x∈X在,使得Sx=x。這個x即方程(2)定義在上的一個連續(xù)有界正解。
充分性得證。
必要性:
假設方程(2)存在有界正解 x(t)。即 0<α≤x(t)≤β代入方程(2)得
因而
上述各式累加,得
引理 2 設 Q(t)∈C([t0,∞),R+),τ>0,
那么(1)和(2)是等價的。
證明:(1)?(2):
因為
所以
(2)?(1):
因為
所以
從而
定理 方程(2)存在有界正解的充分必要條件是
證明:
由引理1,方程(2)存在有界正解的充分必要條件是
再由引理2知
等價,所以方程(2)存在有界正解的充分必要條件是
討論了超前一階中立微分方程: [x(t)-P(t)x(t-τ)]'+Q(t)x(t-δ)=0,t≥t0其中 P(t)≡1,Q(t)∈C([t0,∞),R+,τ,δ∈(0,∞)。
得到該方程存在有界正解的充分必要條件是
這部分補充了文獻[3]提出的相關問題的結論。
[1]SWANSON C A.Comparison and oscillation theory of linear differential equations[M].New York:Academic Press,1968:28-196.
[2]KRCICH K.Oscillation theory[M].New York:Springer:1973,1-98.
[3]張炳根,庾建設.關于中立型微分方程正解的存在性[J].中國科學:A輯,1992,8:785-790.