張 霞 ，徐彥濤

(1.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣州510631;2. Department of Mathematics，Southern Illinois University Carbondale，62901 Carbondale，USA)

設(shè)S 是一個偏序幺半群，即幺半群S 上帶有一個偏序≤滿足對任意的s≤t，s'≤t'，s，s'，t，t'S，都有ss'≤tt'.我們稱帶有映射A×S→A(元素對(a，s)映到A 中的元記為as)的偏序集(A，≤)為一個右S-偏序系，記作AS(或簡寫為A)，如果A 是一個S-系，并且滿足對任意的a，bA，s，tS，有a≤b，s≤t?as≤bt.

類似地可以定義左S -偏序系. 本文只討論右S-偏序系，因此省去“右”字. S -偏序系同態(tài)是保序并且保持S -作用的映射. 所有的S -偏序系及S-偏序系同態(tài)做成一個具體范疇，記為S-偏序系范疇.

S-偏序系(AS，≤A)的S-子偏序系B 是A 的作用封閉的子集合，即A 的子系，并且B 上的偏序為B×B∩≤A.從偏序集(A，≤A)到偏序集(B，≤B)的序嵌入是一個從A 到B 的映射h，滿足a≤Aa'當(dāng)且僅當(dāng)h(a)≤Bh(a')，?a，a'A. 易知，每個序嵌入都是單映射.

當(dāng)S 與A 上的偏序取成離散序時，S -偏序系就是S-系. 可見，S -偏序系理論是S -系理論的推廣.

設(shè)C 是一個具體范疇，由文獻［1］知，稱C 中的對象Q 是內(nèi)射的，如果對任意的嵌入同態(tài)h:A→B，C 中的任意同態(tài)f:A→Q，存在C 中的同態(tài)g:B→Q 使得gh=f.稱對象EC 是C 中對象A 的一個內(nèi)射擴張如果E 是內(nèi)射的，并且存在C 上的一個嵌入同態(tài)ι:A→E.

稱C 中的嵌入同態(tài)η:A→B 是本質(zhì)的，如果對C 中的任意同態(tài)ψ:B→C，同態(tài)的合成ψη 是嵌入同態(tài)，ψ 本身也是嵌入同態(tài). 稱對象EC 是C 中對象A 的一個本質(zhì)擴張如果存在一個從A 到E 的本質(zhì)同態(tài).

對于一個偏序集P，P 的擴張E 稱為是并稠密的(交稠密的)，如果E 中的每個元素都是P 中比它小的元素的上確界(下確界)［2］.

S-系的內(nèi)射理論已經(jīng)被廣泛研究，讀者可以參考文獻［3］中的相關(guān)研究成果.S -偏序系內(nèi)射理論的研究最早始于1986年，Skornyakov［4］研究了具有離散序的幺半群S 上的S - 偏序系，得出這樣的S-偏序系是內(nèi)射的必要條件，即它是一個完全偏序集. 之后，F(xiàn)akhruddin［5］將這個結(jié)果推廣到任意的偏序幺半群，得到:對于一個偏序幺半群S，一個內(nèi)射的S-偏序系ES一定是一個完全格并且滿足條件(∨{xi})s=∨{xis}，?sS 及E 中的任意一族元素{xi}.這種S-偏序系被稱為完全S -偏序系. 當(dāng)S 取成偏序群時，F(xiàn)akhruddin［5］得到:對于一個偏序群S，一個S-偏序系是內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)它是一個完全S-偏序系.我們將進一步得到:對于一個偏序群S，一個S-偏序系是內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)它是一個完全偏序集(見引理1).

關(guān)于內(nèi)射包，S -系理論已有成熟的結(jié)論，即對任意的幺半群S，每個S-系都可以嵌入到一個內(nèi)射包中，并且這個內(nèi)射包在同構(gòu)意義下唯一［6］. 對于S-偏序系理論，每個S-偏序系是否存在內(nèi)射包還是一個未解決的問題. 最近的研究成果見文獻［7］，該文獻構(gòu)造了偏序半群關(guān)于某類特殊同態(tài)(保序的submultiplicative 映射)的內(nèi)射包. 而對于一般的同態(tài)，這還是一個有待解決的公開問題.

本文將討論當(dāng)S 是一個偏序群時，S -偏序系的內(nèi)射包情形，得出當(dāng)S 是一個偏序群時，每個S-偏序系都存在內(nèi)射包，并且內(nèi)射包在同構(gòu)意義下唯一，最后將構(gòu)造出任意一個S-偏序系的內(nèi)射包. 在此基礎(chǔ)上，進一步得出對任意的S -偏序系A(chǔ)S，AS的內(nèi)射包既是A 的極小內(nèi)射擴張，又是A 的極大本質(zhì)擴張.

以下如果沒有特殊說明，S 表示一個偏序群.

由文獻［5］的命題7.2 知，偏序群上的偏序系是內(nèi)射的充要條件是它是一個完全偏序系. 直接證明可以得到進一步的結(jié)論:

引理1 設(shè)S 是一個偏序群.則一個S-偏序系是內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)它是一個完全偏序集.

由文獻［5］的推論7.4 知每個偏序群S 上的S-偏序系都存在內(nèi)射包，再由文獻［1］的命題9.19，易證該內(nèi)射包在同構(gòu)意義下唯一. 因此，有:

推論1 設(shè)S 是一個偏序群，AS是一個S -偏序系，則AS存在唯一的內(nèi)射包.

接下來將具體構(gòu)造偏序群S 上任意一個S -偏序系的內(nèi)射包. 由前面結(jié)論知，這個內(nèi)射包在同構(gòu)意義下唯一. 更進一步，我們將得到每個S-偏序系的內(nèi)射包都將是它的極小的內(nèi)射擴張，同時也是它的極大的本質(zhì)擴張.

設(shè)A 是一個偏序集，B?A. 記

由文獻［2］知，(DM(A)，?)是A 的Dedekind -MacNeille 完全擴張，其嵌入映射為

設(shè)S 是偏序群，AS是一個S -偏序系，定義一個作用我們將證明DM(A)在這個作用下關(guān)于包含關(guān)系做成一個S-偏序系.

引理2［9］設(shè)A 是一個偏序集，B1?B2?A. 則

引理3 設(shè)S 是一個偏序群，AS是一個S -偏序系.則對任意的BDM(A)，sS，有

下面證明如下定理.

定理1 設(shè)S 是偏序群，AS是一個S-偏序系.則DM(A)在作用

下做成一個S-系，并且關(guān)于包含關(guān)系做成一個S-偏序系.

證明 首先證明DM(A)關(guān)于定義的作用做成一個S-系.為此需要證明:對任意的BDM(A)，s，tS，都有

顯然(ii)是成立的. 我們只需證明(i)成立，即往證，Bs=LU(Bs).

接下來需要證明DM(A)關(guān)于包含關(guān)系做成一個S-偏序系.包含關(guān)系是DM(A)上的一個偏序關(guān)系是顯而易見的，因此只需要證明包含關(guān)系關(guān)于DM(A)上的系作用是相容的.

設(shè)B1，B2DM(A)，s1，s2S 滿足B1?B2，并且s1≤s2. 易證B1s1?B2s1.由引理2 知

由于BisjDM(A)，i，j{1，2}，可得

由式(1)及式(2)得B1s1?B2s2. 由此證明了DM(A)關(guān)于包含關(guān)系及所給的系作用做成一個S -偏序系. □

設(shè)AS是一個S-偏序系，記定理1 中DM(A)關(guān)于所定義的作用及包含關(guān)系做成的S - 偏序系為DM(A)S.接下來要構(gòu)造偏序群S 上的S -偏序系A(chǔ)S的內(nèi)射包.由推論1 知，內(nèi)射包如果存在則唯一，下面將證明DM(A)S就是AS的唯一的內(nèi)射包.

引理4［2］設(shè)A 是一個偏序集，E 是A 的一個擴張.則E 是A 的一個本質(zhì)擴張當(dāng)且僅當(dāng)它既是并稠密的又是交稠密的.

定理2 設(shè)S 是一個偏序群，AS是一個S-偏序系.則DM(A)S是AS的內(nèi)射及本質(zhì)擴張，即DM(A)S是AS的內(nèi)射包.

證明 顯然，DM(A)關(guān)于包含關(guān)系做成一個完全格.由引理1 知DM(A)S是內(nèi)射的.下面證明DM(A)S是AS的一個本質(zhì)擴張. 定義映射

表明(as)↓?a↓s.故ι 是一個S-系同態(tài).

設(shè)ψ:DM(A)S→BS是一個S -偏序系同態(tài)，滿足ψι:AS→BS是序嵌入的S -偏序系同態(tài). 下面需要證明ψ 本身也是一個序嵌入的S-偏序系同態(tài).

由于DM(A)既是并稠密的又是交稠密的，由引理4 可得ψ 是偏序集范疇的本質(zhì)擴張映射，故ψ 是一個序嵌入映射. 又由假設(shè)，ψ 是一個S -偏序系同態(tài)，最終得到ψ 也是一個序嵌入的S -偏序系同態(tài)，即DM(A)S是S-偏序系A(chǔ)S的本質(zhì)擴張. □

最后將證明對于一個偏序群S，及任意一個S-偏序系A(chǔ)S，AS的內(nèi)射包是它的極小的內(nèi)射擴張，同時也是它的極大的本質(zhì)擴張.

定理3 設(shè)S 是一個偏序群，AS是一個S -偏序系.則以下命題等價:

(1)ES是AS的內(nèi)射包;

(2)ES是AS的內(nèi)射且本質(zhì)擴張;

(3)ES是AS的極小內(nèi)射擴張;

(4)ES是AS的極大本質(zhì)擴張.

證明 (1)?(2)由定義可得.

(2)?(3). 設(shè)E'S也是AS的內(nèi)射擴張且E'?E.由E'S的內(nèi)射性知，存在S-偏序系同態(tài)g:E→E'使得其中idE'是E'上的恒等同態(tài).由于E 是A 的本質(zhì)擴張，且是一個序嵌入的S-偏序系同態(tài)，可知g 也是序嵌入的S -偏序系同態(tài).這說明E?g(E)?E'，故E=E'.

(3)?(4). 設(shè)E'S是AS的一個本質(zhì)擴張且E?E'. 先證明E'也是E 的本質(zhì)擴張. 設(shè)f:E'S→HS是一個S-偏序系同態(tài)，滿足是一個序嵌入. 則也是一個序嵌入，再由E 是A 的本質(zhì)擴張知，f是一個序嵌入. 由此得E'是E 的本質(zhì)擴張.

最后證明E 是A 的本質(zhì)擴張.設(shè)ι:AS→DM(A)S，ι':AS→ES是自然的序嵌入. 由E 的內(nèi)射性知存在S-偏序系同態(tài)g:DM(A)→E，使得gι=ι'.這說明g也是一個序嵌入，由于DM(A)也是A 的內(nèi)射擴張，并且由已知E 是A 的極小的內(nèi)射擴張，只有E =DM(A).又DM(A)是A 的本質(zhì)擴張知，E 也是A 的本質(zhì)擴張，從而是極大的本質(zhì)擴張.

(4)?(1). 設(shè)ES是AS的極大本質(zhì)擴張，DM(E)S是E 的內(nèi)射包. 易證DM(E)也是A 的本質(zhì)擴張.由E 的極大性知E=DM(E). 因此E 是一個完全偏序集，從而由引理1 知，E 是內(nèi)射的. 繼而，E 是A 的內(nèi)射且本質(zhì)擴張，即A 的內(nèi)射包. □

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