劉 凱，張春良，岳 夏

（1.南華大學(xué) 機械工程學(xué)院，湖南 衡陽 421001；2.廣州大學(xué) 機械與電氣工程學(xué)院，廣東 廣州 510006）

0 引言

近場聲全息作為一種功能強大的噪聲源識別以及聲場可視化工具，通過測量聲源的近場聲壓信息，能夠重建聲源表面以及整個三維聲場中的各聲學(xué)量，對噪聲源的有效控制和聲輻射特性的研究具有重要的意義?；诳臻g傅里葉變換的平面近場聲全息（FFT-based planar NAH）技術(shù)是解決聲學(xué)問題的一種快速有效的方法［1-3］。但當(dāng)遇到大型聲源時它就有一定的缺點，由于測量點較多，測量難度加大，測量時間和成本也就增加。針對上述情況2003年Williams提出了局部近場聲全息技術(shù)（Patch-NAH），利用求平面波、倏逝波的疊加系數(shù)來重建聲場的統(tǒng)計最優(yōu)平面近場聲全息技術(shù)（SOPNA H）就是其中的一種。因其不存在卷積運算從而避免了FFT-based planar NA H中存在的問題［4］。

1 統(tǒng)計最優(yōu)平面近場聲全息原理

根據(jù)基于空間傅里葉變換的平面近場聲全息的基本理論可知：自由聲場為z＞0的正半空間，z＜0的負(fù)半空間為聲源位置，在z＞0近場范圍內(nèi)的任何平面上的聲壓可以看成是無數(shù)個空間波數(shù)域的平面?zhèn)鞑ゲê唾渴挪ǖ寞B加［5］。假設(shè)空間聲場中任意點（x，y，z）處的復(fù)聲壓為p（r）＝p（x，y，z），f為其頻率，聲波在空氣中的傳播速度為c0，k＝2πf／c0為聲波數(shù)，測量面與聲源的距離為d。聲源與測量面的示意圖見圖1。

復(fù)聲壓p（r）的理論公式為：

其中：K＝（k x，k y）為波數(shù)矢量，k x，k y分別為x，y方向上的空間波數(shù)；p（K）為平面聲壓角譜；當(dāng)時，z方 向 上 的 空 間 波 數(shù)Φk（r）為 平 面 傳 播 波，當(dāng)時，k z＝為平面倏逝波，Φk（x，y，z）＝為空間波數(shù)域的單元平面波。

圖1 聲源與測量面示意圖

SOPNA H的核心內(nèi)容為：令p（r hn）為全息面h上第n個測量點r hn＝（x n，y n，z n）處的復(fù)聲壓（假定全息面上均布N個測量點），而p（r）為0≤z≤z h面上任意重建點r＝（x，y，z）處的復(fù)聲壓，則有：

其中：c n（r）為權(quán)重系數(shù)。根據(jù)波場疊加原理可知，相波同數(shù)矢量的單元平面波具有可疊加性，則有：

其中：M為空間波數(shù)平面上的網(wǎng)格節(jié)點數(shù)；ΦKm（r）和ΦKm（r hn）由Green函數(shù)確定。令：

則式（3）確定的M（M≥N）個線性方程所構(gòu)成的線性方程組表示成矩陣的形式為：

則式（7）的正則化解為：

其中：AT為矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣；I為單位對角矩陣；θ為起濾波作用的正則化參數(shù)。一定條件下，正則化參數(shù)的公式為：

其中：S NR為包含隨機誤差和噪聲的信噪比。

將式（8）代入式（2）中可得：

其中：｛p｝T＝［p（r h1），p（r h2），…，p（r h N）］為｛p｝的轉(zhuǎn)置，｛p｝為全息面h上測量得到的聲壓值。

2 正則化研究

對于方程Ax＝b，其正問題是由已知的A和x求解b，而由已知A和b求解x為反問題。求解反問題的穩(wěn)定近似解的方法之一是正則化方法，它由Tikhonov和Phillips在20世紀(jì)60年代初提出。正則化方法的目的是要濾掉或者減弱奇異值項對解的影響。本文介紹一種特別有效的正則化處理方法，即Tikhonov正則化方法。選擇合適的范數(shù)來度量使得解比較平滑，通過在求解不適定性問題時附加一限制條件來壓制右端誤差影響。即：

其中：λ為正則化參數(shù)；Ω（x）為平滑范數(shù)。殘余范數(shù)和解的“大小”之間的平衡由λ控制。當(dāng)λ＝0時，式（11退化為一最小二乘問題，解未經(jīng)正則化。為了求解式（11），取Ω（x）＝‖Lx‖2為平滑范數(shù)，L為實正則化矩陣，其維數(shù)為p×n，通常p≤n，則式（11）變?yōu)椋?/p>

式Ax＝b展開項的系數(shù)可表示為如下Tikhonov問題：

式（13）的解為：

如何選擇Tikhonov方法中的λ是正則化方法的主要問題，假設(shè)λ過大，則會求得過正則化解；假設(shè)λ過小，則會求得欠正則化解。這就需要尋找一最適的正則化參數(shù)，通常由L曲線準(zhǔn)則法［6］和Tikhonov的先驗估計法來選取λ。本文選擇正則化參數(shù)時采用L曲線準(zhǔn)則法（即以log-log尺度來描述‖Ax-b‖2和‖Lx‖2的曲線對比，曲線形狀通常呈L狀，故稱為L曲線準(zhǔn)則），λ通常選在L曲線的拐角處。λ選取過大時即選在了拐角的右側(cè)，得到的解由于失去了大量的高空間頻率信息而顯得過于平滑，正則化的解僅由奇異值很大的很少幾項構(gòu)成；λ選取過小時即選在了拐角的左側(cè)，正則化后的解包含了一些對于測量誤差非常敏感的奇異值很小的項。

3 聲全息數(shù)值仿真

3.1 點聲源仿真設(shè)置

選取一對點聲源進行數(shù)值仿真，這一對點聲源具有同樣的聲源特性，在自由場條件下假設(shè)：聲速c0＝340 m／s，空氣密度ρ0＝1.293 kg／m3，頻率f＝1 500 Hz，兩點源之間的距離為0.8 m，源半徑r＝0.001 m。聲源表面法向振速v＝2.5 m／s。仿真用的測量陣列為1.4 m×1.4 m，等間距0.1 m布置15×15個傳聲器。測量距離為0.1 m，重建距離為0.05 m；重建網(wǎng)格與測量網(wǎng)格一樣，仿真過程中的信噪比為40 d B。聲源、測量面、重建面和陣列布置情況如圖2所示。

圖2 聲場重建示意圖

3.2 仿真結(jié)果

圖3是仿真實驗中全息面上的測量聲壓，從圖3中可以看出在位置（-0.4，0，0）和（0.4，0，0）各存在一個聲源，表明全息面上測量得到的聲壓幅值符合聲場設(shè)定的分布。從圖3中能對振動體的大概空間位置和振動體個數(shù)作出判斷，但測量的分辨率還有待提高。

圖4為重建面聲壓幅值圖。從圖4可以很直觀地識別出振動體的個數(shù)和空間位置。比較圖4（a）、圖4（b）與圖4（c）可知，在噪聲源識別中，結(jié)合Tikhonov正則化方法的SOPNAH比FFT-based planar NAH具有較高的精度。

圖3 測量聲壓的等高線圖

圖4 重建面聲壓幅值圖

4 結(jié)論

統(tǒng)計最優(yōu)平面近場聲全息不受有限測量孔徑的影響，可以準(zhǔn)確實現(xiàn)局部聲場的重建。在測量孔徑的面積受到限制的條件下，其要求的最小測量孔徑實際上要比基于空間傅里葉變換的平面近場聲全息小，可以更好地實現(xiàn)噪聲源的定位及其輻射聲場的可視化。同時為了消除病態(tài)性和測量誤差的影響，采用了Tikhonov方法進行正則化濾波。通過仿真算例驗證了統(tǒng)計最優(yōu)平面近場聲全息是一種穩(wěn)定且適用性強的聲場重建算法，為近場聲全息技術(shù)應(yīng)用于實際打下了基礎(chǔ)。

［1］王健.封閉空間內(nèi)近場聲全息變換算法及實現(xiàn)研究［D］.西安：西北工業(yè)大學(xué)，2007：23-35.

［2］于飛，陳劍，周廣林，等.噪聲源識別的近場聲全息方法和數(shù)值仿真分析［J］.振動工程學(xué)報，2003（3）：85-89.

［3］李衛(wèi)兵，陳劍，于飛，等.統(tǒng)計最優(yōu)平面近場聲全息原理與聲場分離技術(shù)［J］.物理學(xué)報，2005（3）：1253-1260.

［4］李衛(wèi)兵，陳劍，于飛，等.統(tǒng)計最優(yōu)平面近場聲全息對振動體的定位研究［J］.農(nóng)業(yè)機械學(xué)報，2005（3）：101-104.

［5］薛瑋飛，劉曉明，張智，等.空調(diào)器噪聲源可視化識別的統(tǒng)計最優(yōu)近場聲全息法及其操作方法：中國，CN101556187［P］.2009-10-14.

［6］陳達亮，舒歌群，衛(wèi)海橋.近場聲全息正則化方法比較［J］.天津大學(xué)學(xué)報，2008（6）：696-702.