耿鳳杰 廉海榮 褚寶增

摘要： 就講透基本概念、引導學生發(fā)現(xiàn)學科的不足及類比教學說明了如何在高等數(shù)學授課中培養(yǎng)學生的科研能力。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學 教學法 創(chuàng)新

中圖分類號：G642文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0000-00

科研能力和科研成果標志著一個國家的科技水平，培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識和科研能力的人才是高等院校所面臨和必須解決的實際問題，然而科研能力的培養(yǎng)并非要從研究生階段才開始著重培養(yǎng)，在本科階段的教學中給學生盡早接觸科研的機會，讓學生從本科階段開始培養(yǎng)一種標新立異提問題的習慣至關(guān)重要。而對本科生科研能力的培養(yǎng)最主要的途徑就是在對其傳授知識的過程中完成的。高等數(shù)學作為高等院校各院系一門重要的公共基礎(chǔ)課之一對學生在四年大學生活中扮演著重要的角色，高等數(shù)學中微積分的創(chuàng)立、一元微積分到多元微積分的發(fā)展以及各個重要概念的產(chǎn)生無不透露出數(shù)學家發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思路，如果能夠從中進行引導，找到適合的切入點，逐步在學習過程中讓學生積累素材并培養(yǎng)一種問“好”問題的習慣，本科學生一樣可以接觸科研。

培養(yǎng)學生的科研能力，最重要的是培養(yǎng)學生發(fā)覺問題的能力，而這首先要求學生改變以往的學習模式，即由被動的接受到主動的思考創(chuàng)造的學習模式的轉(zhuǎn)變，這種學習模式的轉(zhuǎn)變進而要求教師授課模式的轉(zhuǎn)變。本文就講透基本概念，引導學生發(fā)現(xiàn)學科的不足及類比教學等幾方面來談談如何引導學生轉(zhuǎn)變學習模式，進而培養(yǎng)學生的科研能力。

1 講透基本概念

數(shù)學中最重要的就是基本概念，基本概念把握不透到頭來學生可能只會做部分簡單的習題。事實上，高等數(shù)學授課的主要目的并非讓學生學會如何計算導數(shù)和微分，更多的是該讓學生把握數(shù)學思想，深刻理解數(shù)學概念。深刻理解概念即要把握概念的本質(zhì)。以極限概念為例，怎么理解數(shù)列 ，如果只是按照書上的定義把 語言寫出來還遠遠不夠，應該告訴學生極限最本質(zhì)的東西就是用距離去刻畫，即數(shù)列和某個定點的距離當 時無限接近。知道了這一點，平面上一個點列 的概念自然就有了，同樣我們用點列和點的距離當 時無限接近去刻畫。只是需要注意的一點的是，平面上兩點間的距離不能再用絕對值了，而是用

進而到 維空間中乃至無窮維空間中如何定義點列收斂我們都可以知道，關(guān)鍵是距離起著重要作用。再以函數(shù)可微概念為例，很多學生只知道 ，至于為什么求微分，以及什么是可微函數(shù)不知道。這些就需要老師在講授這個基本概念的時候介紹清楚，讓學生搞透這個概念。事實上，一個函數(shù)是不是可微就是看這個函數(shù)的增量與其自變量的增量是否可成一個線性比例關(guān)系，即 是否成立，知道了這一點，可以立即讓學生去思考如果是一個二元函數(shù) 是否可微該如何定義？按照上面的說法，二元函數(shù)的增量和其自變量的增量是否成線性比例關(guān)系，二元函數(shù)的變量是兩個，即看 是否成立？同樣多元函數(shù)的可微性乃至一個泛函的可微性理解起來都很簡單了。搞透數(shù)學中的基本概念這是讓學生能夠不斷思考并發(fā)現(xiàn)問題的前提。

2 引導學生發(fā)現(xiàn)學科的不足

無論哪門學科之所以產(chǎn)生、發(fā)展，往往源于人們對已有相關(guān)學科的不滿以及該學科創(chuàng)立時的不完善。作為教師，應當更多地呈現(xiàn)給學生所講學科的不足及存在的問題，這樣學生才有思考的余地，把學科的不足及問題隱藏起來而只把學科完美的漂亮的結(jié)果展現(xiàn)給學生，那么他們就只會做練習而永遠也不會去創(chuàng)作東西。要知道，正是當年微積分的不完善才有了極限的產(chǎn)生。數(shù)學就是在不斷地發(fā)現(xiàn)學科的不足并改進的過程中逐步完善起來的。眾所周知，數(shù)學史上曾發(fā)生過三次數(shù)學危機，可每一次危機都沒有推翻前人的理論而只是在數(shù)學這座漂亮的高樓大廈上添磚加瓦而已，危機使數(shù)學更加完善了，危機的產(chǎn)生正是由于學科本身的問題和不足導致的。

當講完定積分時不能讓學生認為定積分是完美無暇的，應該讓學生尋找這個概念的不足之處，比如狄利克雷函數(shù) ，這樣簡單的函數(shù)為何不可積？可能有人認為這是實變函數(shù)的內(nèi)容超出了高等數(shù)學的范圍，事實上不是這樣的。通過讓學生尋找定積分的不足可以鍛煉學生的一種思維方式，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。人人都認為所創(chuàng)造出來的學科是神圣不可侵犯的話就不會有所發(fā)展了，這給了學生一種提出質(zhì)疑的態(tài)度，培養(yǎng)了學生問問題的一種習慣，久而久之，學生的科研能力也能加強。另一方面，我們可以告訴學生黎曼積分不是那么完美的，因為還有一種更廣泛的積分就是勒貝格積分，告訴學生在微積分之后還有一門后續(xù)課程是實變函數(shù)，感興趣的同學會自己去查閱。同時我們可以用形象地數(shù)錢地方式告訴學生什么是黎曼積分，什么是勒貝格積分。有一搭錢，我想知道數(shù)目是多少，從頭開始累加而不管其面值是多少可以得出最后的數(shù)目這就是黎曼積分，如果會打理一些，把面值相同的錢先放在一起，5元，10元，100元，再數(shù)各面值的有多少張，最后算和這就是勒貝格積分。這樣不僅提高了學生的興趣，加深了他們對概念的理解，也開闊了學生的思維。

3 類比教學

數(shù)學中有很多基本概念都是相近的，作好相似、相近或相關(guān)概念的歸納比較，展示概念之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)區(qū)別，讓學生在比較中學習，從比較中加深理解，從整體上把握所學到的諸多概念，這樣既可以學習新知識又可鞏固舊知識。以無窮積分與無窮級數(shù)為例，從定義來講，無窮級數(shù) 與無窮積分 的基本概念之間存在離散與連續(xù)的對應關(guān)系：

，

（前提是極限都存在）。這樣很容易得出p級數(shù) 與 有相同的斂散性（這是教材的一個定理），這樣學生能自己去給出這個定理，不僅很快掌握了，而且有著自己發(fā)現(xiàn)定理的成就感。

3 結(jié)語

高等數(shù)學的教學要使學生不僅知道許多重要的數(shù)學概念、方法，而且領(lǐng)會到數(shù)學的精神實質(zhì)和思想，從而在自己所學的領(lǐng)域中不斷發(fā)現(xiàn)問題并運用其相同或相近的思想解決問題。只有轉(zhuǎn)變了學生從被動接受到主動思考創(chuàng)造的學習模式，才能培養(yǎng)其科研能力。

參考文獻

[1] 克萊因（朱學賢等譯）. 古今數(shù)學思想[M]. 上海：上?？茖W技術(shù)出版社，2002.

[2] 楊明俊，郭麗娜.關(guān)于高等數(shù)學教學的建議[J].教育理論與實踐，2012，31（9）：48-49.