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分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種邏輯方法，同時(shí)又是一種重要的解題策略.它體現(xiàn)了化整為零、積零化整的思想與歸類整理的方法，它能揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識(shí)，使所學(xué)知識(shí)條理化.每年高考都有考查分類討論這一數(shù)學(xué)思想，可以反映考生對(duì)分類標(biāo)準(zhǔn)理解的深度，具有一定的探索性，而且分類討論問題綜合性強(qiáng)，能力要求高，思維力度大，內(nèi)在聯(lián)系密切，思維方法靈活，致使很多考生在有關(guān)分類討論的題目中失分較多.下面就來介紹分類討論的類型.

一、概念型分類討論

有一些問題所涉及的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的.如|a|的定義分a>0，a=0，a<0三種情況.這種分類討論題型可以稱為概念型.

例1 關(guān)于x的方程x2-12-x2-1+k=0，給出下列四個(gè)命題：

①存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根;

②存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根;

③存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根;

④存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根.

其中假命題的個(gè)數(shù)是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

分析 本題中含有參變量k以及絕對(duì)值符號(hào)，不同取值會(huì)導(dǎo)致問題的結(jié)論有多種情況或多種不同結(jié)果.

解 由題意可設(shè)x2-1=t（t≥0）①，則方程化為t2-t+k=0②，作出函數(shù)y=x2-1的圖像，結(jié)合函數(shù)的圖像可知：（1）當(dāng)t=0或t>1時(shí)，方程①有2個(gè)不相等的根;（2）當(dāng)0

二、性質(zhì)型分類討論

數(shù)學(xué)中有些問題涉及的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則等是有范圍或者條件限制，或是分類給出的.如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，分q=1和q≠1兩種情況.這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型.

例2 已知loga2x+1>loga3-x（a>0且a≠1），則x的取值范圍是 .

分析 由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=logax在0，+∞上是增函數(shù);當(dāng)0

解 當(dāng)0

∵loga2x+1>loga3-x，

∴2x+1>0，

3-x>0，

2x+1<3-x，解得：-12

當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=logax在0，+∞上是增函數(shù).

∵loga2x+1>loga3-x

∴2x+1>0，

3-x>0，

2x+1>3-x，解得：23

綜上所述，當(dāng)01時(shí)，x的取值范圍是23，3.

三、化歸型分類討論

數(shù)學(xué)中有些實(shí)際問題涉及含有約束條件，通過分類討論，使復(fù)雜問題化為簡(jiǎn)單問題.這種分類討論題型可以稱為化歸型.

例3 某外語(yǔ)組有9人，每人至少會(huì)英語(yǔ)和法語(yǔ)中的一門，其中7人會(huì)英語(yǔ)，3人會(huì)法語(yǔ)，從中選出會(huì)英語(yǔ)和會(huì)法語(yǔ)的各1人，有多少種不同的選法？

分析 本問題中要完成一件事是“從9人中選出會(huì)英語(yǔ)與法語(yǔ)各1人”，根據(jù)已知條件9人中既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)法語(yǔ)只有1人.因此可根據(jù)此人是否當(dāng)選，將選法分為三類：（1）此人不當(dāng)選;（2）此人按英語(yǔ)當(dāng)選;（3）此人按法語(yǔ)當(dāng)選.

解 既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)法語(yǔ)的有7+3-9=1人，僅會(huì)英語(yǔ)的有6人，僅會(huì)法語(yǔ)的有2人，先分類，后分步.

先從僅會(huì)英語(yǔ)或法語(yǔ)的人中各選1人，有6×2種選法;從僅會(huì)英語(yǔ)與英語(yǔ)和法語(yǔ)都會(huì)的人中各選1人，有6×1種選法;從僅會(huì)法語(yǔ)與英語(yǔ)和法語(yǔ)都會(huì)的人中各選1人，有2×1種選法.

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有6×2+6×1+2×1=20種不同的選法.

點(diǎn)評(píng) 實(shí)際問題常見的有排列組合問題、概率統(tǒng)計(jì)問題、應(yīng)用問題等，常常要進(jìn)行分類討論.求解這類問題的關(guān)鍵是抓住題設(shè)的條件的特點(diǎn)和問題的特殊性，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論.

總之，分類討論思想在高考解題中的應(yīng)用非常廣泛.分類討論思想的運(yùn)用，對(duì)我們思維能力、分析能力、知識(shí)與方法綜合運(yùn)用的能力要求較高.我們?cè)诜诸愑懻摃r(shí)應(yīng)該根據(jù)題目的特點(diǎn)，適當(dāng)選擇思考問題的視角，準(zhǔn)確識(shí)別各種類型，熟練運(yùn)用各種類型的解決方法.教學(xué)中若能注意這方面的訓(xùn)練，對(duì)于優(yōu)化我們的思維品質(zhì)，培養(yǎng)我們的創(chuàng)新意識(shí)，提高我們的思維能力都是非常有益的.