周霞

高中數學教學中，教師在強調數學解題方法的同時，也不要忘記解釋其中的數學道理。有些常用的方法，比如換元法，真正的重點是方法背后的數學概念或者原理，這才是教師應該講明白的地方。否則，學生只是學會了解題套路，而不明白是為什么，很難培養(yǎng)起數學思維?，F略舉兩例，與大家一起探討。

一、換元背后的對應法則

人教B版高中《數學》（必修一）32頁2.1.1函數

例3（1）：已知f（x）=x2，求f（x-1）

（2）：設f（x-1）=x2，求f（x）

此例題在講授過程中出現的困難很多教師是有所體會的。很多學生知道解題套路，課本中也強調用換元法來解決，但是不少學生沒有理解和明白其中的道理，只是學會了換元做題的方而已，對于解析式表現函數映射關系的理解不到位。

初中階段學生已經學習了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時可以用學生已了解的函數，比如二次函數為例來加深學生對函數概念的認識。二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對應，記為f（x）=ax2+bx+c（a≠0），這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識。在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理求值，求定義域。正如課本的例1、例2的設置，對應了進一步的鞏固。此時，學生對于解析式法表現函數映射關系理解還是不到位的。所以在講解例3時，不能僅僅強調換元法，而是從解析式反映函數的映射關系入手。

例3（1）：已知f（x）=x2，求f（x-1）

（2）：設f（x-1）=x2，求f（x）

（2）中不能把f（x-1）理解為x=x-1時的函數值，只能理解為自變量為x-1的函數值。也就是說，已知對應法則f下，定義域中的元素x-1的象是x2，求定義域中元素X的象，其本質是求對應法則。

一般有兩種方法：

（1）把所給表達式表示成x-1的多項式。

f（x-1）=x2=（x-1）2+2（x-1）+1，再用x代x+1得f（x）=x2+2x+1

（2）換元（變量代換）：它的適應性強，對一般函數都可適用。

令t=x-1，則x=t+1∴f（t）=（t+1）2從而f（x）=x2+2x+1

換元法在以后的學習中有很多應用，我們應該讓學生明白換元的目的。換元是方法，不是道理，教師應該講明道理，再明確方法，這樣才可以讓學生深刻理解數學概念，慢慢培養(yǎng)學生的數學思維.

個人的粗淺建議，此例題要是放在后面的<2.1.2函數表示方法>里講解，是不是更好些呢？

二、換元背后的同增異減原則

人教B版中高《數學》（必修四），第一章“三角函數”1.3.1正弦型函數，在鞏固練習中有這樣的題目：

求函數的單增區(qū)間

（1）y=sin2x （2）y=sin（2x-■）

（3）y=sin（-2x） （4）y=sin（■-2x）

學生在做前兩個時，用整體換元，t=2x，t=2x-■，分別求不等式的解，可以得到正確結果。

解：（1）設t=2x，由題得

-■+2kπ≤2x≤■+2kπ，k∈z，

-■+kπ≤x≤■+kπ，k∈z，

所以函數的單增區(qū)間為[-■+kπ，■+kπ]，k∈z.

（2）設t=2x-■，由題得

-■+2kπ≤2x-■≤■+2kπ，k∈z，

-■+kπ≤x≤■+kπ，k∈z，

所以函數的單增區(qū)間為[-■+kπ，■+kπ]，k∈z.

可是，當很多學生用同樣的整體換元解決后兩個題目的時候，我卻告訴學生錯了。學生很納悶，明明是用了整體換元，怎么又錯了呢？我解釋，此類題目是復合函數求單調區(qū)間問題，解題思路是必修一學習的同增異減原則。當時我們證明了同增異減的正確性，并且反復使用過多次，學生印象還是很深刻的。

后兩個函數的內層函數都是一次函數，一次系數是-2，所以在R上單減，外層函數是正弦函數，所以，再整體換元求的增區(qū)間恰好反了，成了原函數的減區(qū)間。

正確解法如下：

（3）y=sin（-2x）=-sin2x，要求函數的單增區(qū)間，只需要解不等式■+2kπ≤2x≤■+2kπ，k∈z，-■+kπ≤x≤■+kπ，k∈z，所以函數的單增區(qū)間為[■+kπ，■+kπ]，k∈z.

（4）y=sin（■-2x）=-sin（2x-■），解不等式■+2kπ≤2x-■≤■+2kπ，k∈z，■+kπ≤x≤■+kπ，k∈z，所以函數的單增區(qū)間為[■+kπ，■+kπ]，k∈z.

學生明白了其中的道理，以后做題就會舉一反三，不再盲目了。

最后，我們歸結出求正弦型函數y=Asin（ωx+φ）單調區(qū)間的步驟：

1.先觀察ω是否是正數，如果不是，就用誘導公式，把解析式等價變形，讓x的系數成為正數；如果ω是正數，此步驟省略。

2.再看sin（|ω|x）前面的系數是否為正數，若是正數，就整體換元解不等式-■+2kπ≤|ω|x+φ≤■+2kπ，得原函數的單增區(qū)間；若是負數，就解不等式■+2kπ≤|ω|x+φ≤■+2kπ，得原函數的單增區(qū)間。

3.最后寫成集合或區(qū)間形式，規(guī)范表達。

換元法是高中學習階段經常使用的解題方法，每次使用，教師都要和學生探討清楚原因，這樣可以起到事半功倍的效果。