楊屹

摘要：本文通過研究抽樣調(diào)查中的PPS抽樣，發(fā)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)這個(gè)方法的代碼法和拉希里方法存在著緊密的聯(lián)系，通過一個(gè)全新的視角看待拉希里方法，發(fā)現(xiàn)拉希里方法和代碼法本質(zhì)上是一樣的，代碼法是PPS抽樣的一維表現(xiàn)形式，而拉希里方法是PPS抽樣的二維表現(xiàn)形式。他們僅僅是表現(xiàn)方式上的差異，其本源是一樣的。

關(guān)鍵詞：PPS抽樣；代碼法；拉希里方法；一一對(duì)應(yīng)

1.背景介紹

調(diào)查這種古老的方法，自古有之，古代就有調(diào)查的例子，不過限于當(dāng)時(shí)的科技水平，調(diào)查的方法往往比較簡(jiǎn)單單一，隨著現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，社會(huì)變得越來越復(fù)雜，簡(jiǎn)單的調(diào)查方法不能夠適應(yīng)實(shí)際的需要，于是就出現(xiàn)了很多現(xiàn)代意義上的調(diào)查方法。這些調(diào)查方法有的精妙絕倫，有的簡(jiǎn)單易行，各有千秋。

而近代抽樣調(diào)查這么學(xué)科的開端是在1895年，當(dāng)時(shí)的挪威統(tǒng)計(jì)學(xué)家凱爾在國(guó)際統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)第五屆大會(huì)上首先提出了抽樣的科學(xué)概念，抽樣就是用代表性樣本方法來代替全面的調(diào)查，這樣抽樣就有了科學(xué)的意義，抽樣這么學(xué)科也才有了真正的意義，之后，隨著時(shí)間的推進(jìn)，各種抽樣的方法層出不窮，我們?cè)谶@里不一一列舉。

抽樣調(diào)查根據(jù)抽取樣本概率的不同，非為概率抽樣和非概率抽樣。抽樣調(diào)查的目的是根據(jù)樣本的情況推斷總體的情況。與全面調(diào)查相比，抽樣調(diào)查有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，第一，與全面調(diào)查相比，抽樣調(diào)查調(diào)查的樣本要少很多，減少了很多工作量，提高了效率，又由于其科學(xué)性，所以其效果卻不必抽樣調(diào)查差多少。所以抽樣調(diào)查逐步取代了全面調(diào)查，是全面調(diào)查望塵莫及。然而在抽樣調(diào)查的發(fā)展過程中，建立在概率論上的概率抽樣由于其方法和理論的科學(xué)性，逐步取代了有目的抽樣，也使其它非概率抽樣銷聲匿跡。從1933年開始，世界將概率抽樣理論研究提高到了一個(gè)新的高度，將概率抽樣的實(shí)際應(yīng)用推進(jìn)到了一個(gè)更廣闊的領(lǐng)域。在經(jīng)濟(jì)社會(huì)中扮演著越來越重要的角色。

抽樣調(diào)查由于其科學(xué)性的理論依據(jù)在現(xiàn)代的社會(huì)中發(fā)揮著越來越多的作用，不僅僅是在經(jīng)濟(jì)部門中，在其他社會(huì)科學(xué)和醫(yī)學(xué)中也發(fā)揮著重要的作用，沒有抽樣調(diào)查，可以說好多研究就沒法進(jìn)行，沒有抽樣調(diào)查，好多社會(huì)部門都不能運(yùn)轉(zhuǎn)了，現(xiàn)代社會(huì)越來越離不開抽樣調(diào)查了。他已經(jīng)和我們的生活有了千絲萬縷的聯(lián)系，抽樣調(diào)查已經(jīng)深入到我們生活的方方面面，他也發(fā)揮了舉足輕重的作用。這就是抽樣調(diào)查在我們的生活科研中的真實(shí)面貌。總之，抽樣已經(jīng)和我們的生活有機(jī)的聯(lián)系在一起了，已經(jīng)密不可分，難舍難分了。

我們這里主要討論不等概抽樣當(dāng)中的PPS抽樣，即與規(guī)模成比例的放回不等該抽樣。實(shí)行PPS抽樣的方法主要有兩種，一種是代碼法，另一種是拉希里法，一般來說，代碼法適合總體單元數(shù)不是很多的情況，而當(dāng)總體單元數(shù)很大的時(shí)候，就采用拉希里法。代碼法簡(jiǎn)單易懂，往往容易接受，但拉希里法有一個(gè)判斷與決策的過程。過程略顯復(fù)雜，不易被人看懂其中的奧妙。本文就是通過解剖拉希里法，來探索其中的奧秘，發(fā)現(xiàn)拉希里方法本質(zhì)上是代碼法在二維上的一個(gè)推廣[1]。

PPS抽樣簡(jiǎn)介，PPS抽樣，即概率與規(guī)模成比例的抽樣，是一種非常常見的有放回的不等概抽樣方法。因?yàn)榭傮w中各抽樣單元的規(guī)模可能差別很大，造成各抽樣單元的地位不相等。若這時(shí)仍然采取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，會(huì)產(chǎn)生很大的抽樣誤差。例如：各個(gè)工廠的抽樣調(diào)查，由于各個(gè)工廠或者企業(yè)的規(guī)模差別相當(dāng)大，如果仍然按原來的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，會(huì)造成非常小的工廠和非常大的工廠被抽中的概率相等，這與實(shí)際顯然不符合。

假設(shè)某個(gè)總體有N個(gè)單元，假如每一個(gè)單元都有表明其規(guī)模大小的一個(gè)度量，那么就設(shè)第i個(gè)單元的規(guī)模為Mi，于是，自然而然的，總體的總規(guī)模就是M0=∑Ni=1Mi，假如每個(gè)單元的概率設(shè)為Ni=MiM0，由此可見，概率與規(guī)模成正比，這就意味著，在每次抽取的過程中，每個(gè)單元的入樣概率與其規(guī)模的大小成比例，這種放回的與規(guī)模成比例的概率抽樣就是所謂的PPS抽樣[2]。

代碼法簡(jiǎn)介，代碼法又稱累計(jì)和法，其過程是這樣的，在PPS抽樣中，設(shè)第i個(gè)單元的規(guī)模為Mi，就是它的代碼數(shù)，那么總規(guī)模M0，就是累計(jì)代碼數(shù)?？傮w所有的單元排列好順序后，單元1對(duì)應(yīng)自然數(shù)1到M1，單元2對(duì)應(yīng)自然數(shù)數(shù)M1+1到M1+M2，單元3對(duì)應(yīng)自然數(shù)數(shù)M1+M2+1到M1+M2+M3，重復(fù)此過程，一直累計(jì)代碼到M0。每次抽取的時(shí)候，就在1，M0內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)，設(shè)為m0，那么代碼m0對(duì)應(yīng)的單元就會(huì)被抽中，這就是一個(gè)樣本量的抽取過程，依次重復(fù)這樣的過程n次，便得到一個(gè)樣本量為n的PPS樣本。

拉希里方法簡(jiǎn)介，拉希里法又稱最大規(guī)模法，其具體的過程是這樣的，在區(qū)間1，N內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)，設(shè)為i，那么就對(duì)應(yīng)單元i，其規(guī)模就是Mi；令M=max1≤i≤N（Mi），就是所有單元規(guī)模中的最大者。接著，在區(qū)間1，M內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)，設(shè)為m；最后決策：若m≤Mi，則單元i被抽中，反之無效，重新再抽；重復(fù)以上步驟，直到抽出n個(gè)樣本單元[3]。

2.兩者之間的關(guān)系的探討

從表面上看起來，代碼法與拉希里法似乎是兩種完全不同的方法，分馬牛不相及，代碼法是把各個(gè)單元的規(guī)模累加起來，然后選取一個(gè)單元，而拉希里法是是最大規(guī)模進(jìn)行比較來判斷是不是抽中這個(gè)單元。但實(shí)際上，它們卻存在著千絲萬縷的關(guān)系，而且本質(zhì)幾乎是大同小異。可以這樣說，拉希里法是對(duì)代碼法維數(shù)上的推廣，把一維的代碼法推廣到二維的情況，這種推廣實(shí)際上是對(duì)總體單元數(shù)過于龐大的缺陷進(jìn)行的改進(jìn)，是通過增加判斷與決策的過程來實(shí)現(xiàn)的，其原因是在把代碼法推廣到二維上的時(shí)候，我們的抽樣會(huì)產(chǎn)生一些冗余，我們所要做的就是把這些冗余給去掉，改進(jìn)抽樣的效率，防止抽樣變的不可靠。

接下來，本文來討論這兩種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系性。把拉希里法所有可能產(chǎn)生的i和m分別作為矩陣中每個(gè)元素的第一分量和第二分量，則就夠成了一個(gè)N行，M*列的矩陣。為了便于表述，假設(shè)規(guī)模Mi之間存在如下的關(guān)系：M1≤M2≤…≤MN=M。其余情況類似。矩陣如下圖所示：

1，11，2…1，M1…2，12，2…2，M1………………N，1N，2…N，M1…1，M22，M2…N，M2…………1，M2，M…N，M

在本文當(dāng)中，稱每一次由拉希里方法產(chǎn)生的i，m為一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，當(dāng)m≤Mi時(shí)，本文稱這樣的坐標(biāo)點(diǎn)是有效坐標(biāo)點(diǎn)，即不需要再進(jìn)行抽取，已經(jīng)產(chǎn)生一個(gè)樣本。當(dāng)m>Mi時(shí)，本文稱這樣的坐標(biāo)點(diǎn)為無效坐標(biāo)點(diǎn)，即還要進(jìn)行抽取，還沒有產(chǎn)生一個(gè)樣本。

接下來，由拉希里方法的過程可以知道，并不是每次抽取的坐標(biāo)點(diǎn)都是有效的，即要對(duì)這些左邊點(diǎn)進(jìn)行篩選，選取那些有效坐標(biāo)點(diǎn)。篩選之后的矩陣如下圖所示：

1，11，2…1，M12，12，2…2，M1………………N，1N，2…N，M1…2，M2…N，M2………N，M

然后，構(gòu)造一個(gè)映射：f： a，b|c

c=ba=1∑Ma-1i=1Mi+ba≥2 1≤a≤N，a∈N，1≤b≤Mab∈N

不難知道，把矩陣當(dāng)中的有效坐標(biāo)點(diǎn)代入到這個(gè)映射當(dāng)中的時(shí)候，得到的c就是代碼法當(dāng)中m0。反過來，給定一個(gè)m0，也可以求出唯一的一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)a，b，這樣，代碼法和拉希里方法就建立起了一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

從這個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系可以看出，代碼法的本質(zhì)就是從從一個(gè)一維的正整數(shù)集合中選取一個(gè)數(shù)，只是由于有時(shí)候這個(gè)集合所包含的元素太多，會(huì)造成操作上和計(jì)算上的麻煩。而拉希里方法的本質(zhì)就是從一個(gè)矩陣當(dāng)中隨機(jī)的選取一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的過程，當(dāng)這個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)是無效坐標(biāo)點(diǎn)的時(shí)候，即這個(gè)點(diǎn)在我們抽樣的實(shí)際操作過程中沒有意義的時(shí)候，我們就選擇舍棄，然后重新選取，直到取到一個(gè)有效坐標(biāo)點(diǎn)，即那個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)符合我們抽樣中的實(shí)際意義。

不難發(fā)現(xiàn)，從代碼法拓展到拉希里法的時(shí)候，我們抽樣空間的維數(shù)發(fā)生了變化，從原來的一維變化到了后來的二維。維數(shù)的增加雖然增加了操作步驟上的麻煩，但是卻大大減少了計(jì)算量，這是從代碼法到拉希里法的一個(gè)明顯的變化。從代碼法拓展到拉希里法的時(shí)候，另一個(gè)重要的變化是，增加了很多無效坐標(biāo)點(diǎn)，即出現(xiàn)了一些沒有實(shí)際意義的坐標(biāo)點(diǎn)，這些坐標(biāo)點(diǎn)的出現(xiàn)，使拉希里方法的操作過程變得不怎么干凈利落，有很大的冗余程度，就是每一次隨機(jī)選取一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的時(shí)候，并不是每個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)都是有實(shí)際意義的。在在一定程度上降低了拉希里方法操作上的便利。然而，究其原因，出現(xiàn)這些無效坐標(biāo)點(diǎn)是由于每個(gè)個(gè)體的規(guī)模存在著不同，在從一維拓展到二維的時(shí)候出現(xiàn)了一些沒有實(shí)際意義的點(diǎn)。有時(shí)候，這些無效坐標(biāo)點(diǎn)帶來的弊端可能是無法容忍的，它會(huì)大大降低抽樣的效率，即抽到一個(gè)樣本所付出的成本。但一般情況下這些無效點(diǎn)帶來的弊端不是這么大，所以綜合以上情況，拉希里方法對(duì)處理單元的數(shù)量比較多和單元的規(guī)模參差不齊的時(shí)候，還是優(yōu)于代碼法的。

那么究竟對(duì)于什么的情況，拉希里方法的效率比較低呢，通過上面的矩陣不難發(fā)現(xiàn)，就是當(dāng)最大規(guī)模特別大，而其余的規(guī)模比較小的時(shí)候，冗余程度會(huì)特別大，當(dāng)然也不止這種情況，這只是一種非常特殊的情況，總的來看，就是當(dāng)各個(gè)抽樣的單元差別越大的時(shí)候，抽樣的效率會(huì)越低，當(dāng)各個(gè)抽樣的單元差別越小的時(shí)候，抽樣的效率會(huì)比較高，這也不難理解，從我們的矩陣當(dāng)中分析，就一目了然。

3.結(jié)論

本文通過比較和分析PPS抽樣中的代碼法和拉希里方法，發(fā)現(xiàn)了拉希里方法其實(shí)是代碼法的推廣，代碼法是從一個(gè)一維空間中抽取一個(gè)元素，而拉希里方法是從一個(gè)二維空間中抽取一個(gè)元素，但兩者有異曲同工之妙。這兩種方法之間還在某種程度上存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這種關(guān)系其實(shí)還反映出這兩種方法本質(zhì)上是一樣的，只是我們的觀察的角度不一樣。從代碼法拓展到拉希里方法的時(shí)候，雖然增加了操作的步驟，但大大簡(jiǎn)化了計(jì)算的復(fù)雜度，此可謂此消彼長(zhǎng)。

本文還分析了拉希里方法什么時(shí)候抽樣的效率比較大，什么時(shí)候抽樣的效率比較小，當(dāng)各個(gè)單元的規(guī)模相差很大的時(shí)候，拉希里方法的冗余度就會(huì)增加，抽樣效率會(huì)降低，當(dāng)各個(gè)單元的規(guī)模相差很小的時(shí)候，拉希里方法的冗余度就會(huì)降低，抽樣效率會(huì)增加。

4.展望

本文通過比較和分析PPS抽樣中的代碼法和拉希里方法，發(fā)現(xiàn)了拉希里方法和代碼法的內(nèi)在的聯(lián)系，他們的本質(zhì)都是同一個(gè)道理，如果按照數(shù)學(xué)的說法，一個(gè)便是是一維的表現(xiàn)形式，另一個(gè)便是二維的表現(xiàn)形式，但是他們的本質(zhì)都是一樣的，所以我們有必要發(fā)問，那么一維的代碼法和二維的拉希里法是否存在高維的拓展形式呢，如果存在高維的拓展形式，他們到底是怎么樣的呢，這就需要我們繼續(xù)去探討代碼法和拉希里法的本質(zhì)然后把它拓展到高維的形式，這是本篇文章沒有解決的問題，要繼續(xù)探索這些問題，有待我們進(jìn)一步的深入探討。（作者單位：首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)）

參考文獻(xiàn)

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