王麗梅， 鄭浩， 賈啟

(1.沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，遼寧沈陽 110870;2華晨寶馬汽車有限公司，遼寧沈陽 110044)

0 引言

許多傳統(tǒng)的機(jī)械定位平臺，多采用交叉軸型或龍門架型，由旋轉(zhuǎn)電機(jī)配合傳動機(jī)構(gòu)驅(qū)動。而現(xiàn)代平面電機(jī)則是采用直線電機(jī)直接驅(qū)動的單層機(jī)械結(jié)構(gòu)，按驅(qū)動用直線電機(jī)執(zhí)行器的種類，可將平面電機(jī)劃分為變磁阻型、感應(yīng)型、永磁同步型3類，其中永磁同步平面電機(jī)在結(jié)構(gòu)設(shè)計、控制精確度、推力密度、效率等方面具有明顯優(yōu)勢，受到了學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注［1］。同采用旋轉(zhuǎn)電機(jī)和直線電機(jī)疊加的傳統(tǒng)XY平臺相比，采用平面電動機(jī)構(gòu)造XY工作臺，具有直接驅(qū)動、結(jié)構(gòu)簡單、無傳動機(jī)構(gòu)、運(yùn)動慣量小等特點(diǎn)，在現(xiàn)代制造裝備中，具有很大的應(yīng)用潛力。

目前，永磁同步平面電動機(jī)多基于4組永磁同步直線電機(jī)組合的方式實(shí)現(xiàn)，通過協(xié)調(diào)控制各個直線電機(jī)的電磁力來控制平面電機(jī)，以產(chǎn)生動子平移運(yùn)動所需的X向推力、Y向推力及動子偏轉(zhuǎn)所需的轉(zhuǎn)矩。文獻(xiàn)［2］研究了一種4組直線電機(jī)構(gòu)成的平面電機(jī)，采用偽微分前饋控制實(shí)現(xiàn)三自由度的跟蹤控制。文獻(xiàn)［3］研究了一種4組直線電機(jī)構(gòu)成的平面電機(jī)，采用基于狀態(tài)方程的極點(diǎn)配置方法設(shè)計三自由度的位置伺服控制算法，達(dá)到預(yù)期動、靜態(tài)指標(biāo)。文獻(xiàn)［4］研究了一種4組直線電機(jī)構(gòu)成的平面電機(jī)，采用基于狀態(tài)觀測器的PID控制策略實(shí)現(xiàn)平面電機(jī)的定位控制?；？刂茖τ谟赏饨绺蓴_等不確定因素造成的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變化有很強(qiáng)的抑制作用［5－6］，干擾觀測器對外部擾動估計并進(jìn)行補(bǔ)償［7］，應(yīng)用在直線電機(jī)的位置控制中可以獲得較高的控制精度和魯棒性，但在平面電機(jī)上的應(yīng)用還很少見［8－10］。

本文在合理假設(shè)的基礎(chǔ)上分析了平面電機(jī)的動力學(xué)模型，建立了平面電機(jī)的運(yùn)動控制模型，采用基于干擾觀測器的二階滑模控制方法進(jìn)行位置控制器設(shè)計，利用飽和函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的切換函數(shù)，通過連續(xù)控制使滑模面及其時間導(dǎo)數(shù)在有限時間內(nèi)趨近于零，削弱抖振的同時抑制不確定性因素對系統(tǒng)性能的影響，使平面電機(jī)定位精度達(dá)到高加工精度要求。

1 平面電機(jī)數(shù)學(xué)模型

由于動子在旋轉(zhuǎn)中產(chǎn)生的偏轉(zhuǎn)角對平面電機(jī)電磁特性的影響規(guī)律比較復(fù)雜，難以用簡單的數(shù)學(xué)方法描述，所以假設(shè)動子偏轉(zhuǎn)角很小，對各組直線電機(jī)電磁特性的影響忽略不計［3］。

1.1 平面電動機(jī)動力學(xué)分析

平面電機(jī)動子受4組直線電機(jī)推力的共同作用，作用點(diǎn)分別是每組永磁陣列的幾何中點(diǎn)，動力學(xué)模型如圖1所示。推力F1和F2與動子坐標(biāo)系X0Y的X軸平行，推力F3和F4與動子坐標(biāo)系X0Y的Y軸平行。動子采用氣浮軸承，由于動子和定子之間沒有直接接觸，所以動子與定子之間的摩擦力可以忽略，根據(jù)經(jīng)典力學(xué)原理可以得到動子的運(yùn)動方程為

圖1 動子受力分析Fig.1 The mover force analysis

其中:M和J分別為動子的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量;θ為動子繞Z軸的偏轉(zhuǎn)角，d1、d2、d3、d4為各推力與相應(yīng)平行坐標(biāo)軸之間的距離。

1.2 永磁同步直線電機(jī)電磁力模型

假設(shè)永磁同步平面電機(jī)中所用永磁同步直線電機(jī)的性能均一樣，由直線電機(jī)理論可知，永磁同步直線電機(jī)的電磁推力為

式中:id、iq、Ld、Lq分別為dq軸電流和電感;ψf為永磁體有效磁鏈;τn為極距。

為有效產(chǎn)生推力，采用id=0的矢量控制，則直線電機(jī)推力模型簡化為

在利用動力學(xué)模型控制x、y、θZ方向運(yùn)動時，電機(jī)推力、動子位置和執(zhí)行器電流三者緊密相關(guān)，機(jī)電耦合過于復(fù)雜。為解決上述問題，在控制電機(jī)電流時無需考慮動子位置的微小變化，可以對3個自由度進(jìn)行單獨(dú)控制。

2 基于干擾觀測器的滑模位置控制

永磁同步平面電機(jī)三自由度位置控制結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

三自由度指令信號經(jīng)過坐標(biāo)變換得到4組直線電機(jī)的位置指令，位置控制器產(chǎn)生控制信號，各直線電機(jī)產(chǎn)生的電磁推力共同作用在永磁同步平面電機(jī)動子上，使動子向指定位置運(yùn)動，完成平面電機(jī)的位置控制。

圖2 位置伺服控制結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Block diagram of position servo control

2.1 控制器組成結(jié)構(gòu)

基于干擾觀測器的滑模位置控制器由二階滑模位置控制器和干擾觀測器組成，如圖3所示。圖中Xr為位置參考輸入，d為等效干擾，N、M為歸一化的互質(zhì)因子，ΔN、ΔM為系統(tǒng)不確定因素的歸一化互質(zhì)因子，X為位置輸出，ζ為測量噪聲，us為滑?？刂破鬏敵?，u為控制輸入，虛框內(nèi)為干擾觀測器部分，Q為低通濾波器，d^為干擾估計值。

圖3 控制器組成結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Block diagram of the controller

2.2 干擾觀測器設(shè)計

由框圖可知，實(shí)際系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的名義模型為

由圖3可以求出系統(tǒng)輸出對us、d、ζ和φ的傳遞函數(shù)為

低通濾波器Q形式為

2.3 滑模控制器設(shè)計

令狀態(tài)向量

x=［x1x2x3x4］T=［xvidiq］T，輸入u=［u1u2］T=［uduq］T，則永磁同步直線電機(jī)的數(shù)學(xué)模型可表示為為二項(xiàng)式系數(shù)，m為分母階數(shù)，n為分子階數(shù)。低通濾波器選擇有如下準(zhǔn)則［11］:

準(zhǔn)則1:隨著低通濾波器Q的分子階數(shù)增加，干擾抑制性能將得到提高，如果分子階數(shù)相同，分母階數(shù)越大干擾抑制性能越好;隨著低通濾波器Q相對階(m－n)增加，抑制測量誤差的性能將提高，如果相對階相同，分母階數(shù)越小抑制測量性能越好。

準(zhǔn)則2:濾波器時間常數(shù)越小干擾抑制性能越好。

準(zhǔn)則3:采樣時間T在低頻范圍內(nèi)會影響干擾抑制效果。

綜合考慮干擾抑制性能、系統(tǒng)對測量噪聲的靈敏性和穩(wěn)定性，取

定義滑模面向量

其中，c1為正常數(shù)?；Ｃ娴囊浑A和二階導(dǎo)數(shù)分別為

傳統(tǒng)超螺旋算法僅適用于相對階為1的系統(tǒng)，對于系統(tǒng)相對階為2的情況，本文采用一種改進(jìn)的超螺旋算法，設(shè)計控制器使?fàn)顟B(tài)軌跡在有限時間內(nèi)螺旋式地收斂到原點(diǎn)，本文采用改進(jìn)的超螺旋算法設(shè)計滑模控制器，此算法不需要計算滑模量導(dǎo)數(shù)及其符號信息，具有很強(qiáng)的魯棒性，改進(jìn)超螺旋算法的控制定義為

其中:sat(s)為飽和函數(shù);λ、W、k、u0、Δ 都是正常數(shù)。有限時間內(nèi)收斂到滑模面的充分條件為

其中，二階滑模位置控制器如圖4所示。

圖4 二階滑模位置控制器控制框圖Fig.4 Block diagram of second order sliding model position controller

3 仿真結(jié)果及分析

本文針對永磁同步平面電機(jī)采用4組同型號直線電機(jī)進(jìn)行研究，采用MATLAB7.1進(jìn)行仿真，采樣時間設(shè)定為0.000 1 s。電機(jī)參數(shù)為Rs=2.6 Ω，Ld=Lq=24.5 mH，τ=30 mm，kbemf=1.6 V·s/m，kf=1.6 N/A，p=3，M=2.8 kg。

經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)后，根據(jù)式(18)、(24)選定滑?？刂破鞯膮?shù)為c1=35，λ=25，k=4，W=1，u0=2，Δ=0.05;干擾觀測器的參數(shù)τ=1 ms。

為了便于比較，對不加干擾觀測器的滑模控制系統(tǒng)也進(jìn)行了仿真，系統(tǒng)在0.25 s時外加最大推力20%的階躍擾動，圖5為兩種控制方法對應(yīng)的位置響應(yīng)曲線。

由圖5可以看出，與滑?？刂破飨啾?，基于干擾觀測器設(shè)計的位置滑?？刂破髟谕患訑_動后系統(tǒng)響應(yīng)超調(diào)較小，調(diào)整時間短，仍維持較高位置精度，具有很好的抑制作用，位置精度達(dá)到±0.1 μm，系統(tǒng)抗擾動能力較強(qiáng)，仿真結(jié)果表明基于干擾觀測器的二階滑?？刂瓶刂撇呗詫τ跀_動具有較好的魯棒性。

圖5 平面電機(jī)X方向階躍擾動下的響應(yīng)曲線Fig.5 X direction step respond on the condition of step disturbance

圖6 滑模變量S相軌跡Fig.6 Phase trajectory of sliding mode variableS

系統(tǒng)引入外界干擾后進(jìn)行各自由度定位仿真實(shí)驗(yàn)。X方向0.1 mm階躍響應(yīng)如圖7所示，上升時間約為0.08 s，穩(wěn)態(tài)誤差平均值小于0.3 μm;Y方向最大受擾振幅為0.5 μm;θ方向最大受擾振幅為0.02 m·rad。

圖7 X方向階躍響應(yīng)Fig.7 X direction step response

θ方向1 m·rad階躍響應(yīng)如圖8所示，上升時間約為0.07 s，穩(wěn)態(tài)誤差平均值小于0.01 m·rad;X方向最大受擾振幅為0.48 μm;Y方向最大受擾振幅為0.5 μm。

圖8 θ方向階躍響應(yīng)Fig.8 θ direction step response

圖9為平面電機(jī)三自由度同時定位響應(yīng)曲線，X、Y方向0.1 mm階躍給定指令，θ方向1 m·rad階躍給定指令，X方向階躍響應(yīng)上升時間約為0.09 s，穩(wěn)態(tài)誤差平均值小于0.45 μm;Y方向階躍響應(yīng)上升時間約為0.08 s，穩(wěn)態(tài)誤差平均值小于0.8 μm;θ方向階躍響應(yīng)上升時間約為0.08 s，穩(wěn)態(tài)誤差平均值小于0.07 m·rad。比較圖7和圖8可以看出，進(jìn)行三自由度同時定位控制，各個自由度的動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性與單自由度定位控制時基本保持一致。

圖9 三自由度定位響應(yīng)Fig.9 The three degree of freedom position response

4 結(jié)語

本文針對永磁同步平面電動機(jī)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提出了基于干擾觀測器的滑?？刂撇呗浴ＴO(shè)計了干擾觀測器，對外部擾動進(jìn)行補(bǔ)償，設(shè)計了基于改進(jìn)超螺旋算法的二階滑模位置控制器，干擾觀測器和滑?？刂苾烧呦嗷パa(bǔ)充，提高了系統(tǒng)的抗干擾能力和魯棒性。對系統(tǒng)進(jìn)行單自由度定位和三自由度同時定位仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果表明所采用的控制策略和控制算法使系統(tǒng)獲得較好的定位精度，同時具有良好的魯棒性和穩(wěn)定性。

［1］周贛，黃學(xué)良.三自由度永磁同步平面電機(jī)的控制策略［J］.電機(jī)與控制學(xué)報，2011，15(4):41－45.

ZHOU Gan，HUANG Xueliang.Control strategies of 3-degree-offreedom synchronous permanent－magnet planar motors［J］.Electric Machines and Control，2011，15(4):41－45.

［2］YEN J Y，KUO F T，LEE M C，et al，Planar motion stage control using PDFF controller［C］//Proceeding of the 2011 9th World Congress on Intelligent Control and Automation，June 21－25，2011，Taipei，China.2011:749－752.

［3］曹家勇，朱煜，汪勁松.永磁同步平面電動機(jī)三自由度運(yùn)動控制器［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報，2006，26(17):143－147.

CAO Jiayong，ZHU Yu，WANG Jingsong.A three degree of freedom motion controller for synchronous permanent magnet planar motors［J］.Proceedings of the CSEE，2006，26(17):143－147.

［4］DEJIMA Shuichi，GAO Wei，KATAKURA Kei，et al.Dynamic modeling controller design and experimental validation of a planar motion stage for precision positioning［J］.Precision Engineering，2005，29(3):263－271.

［5］劉金琨.滑模變結(jié)構(gòu)控制MATLAB仿真［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2005:4－6.

LIU Jinkun.MATLAB Simulation for Sliding Mode Control［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2005:4－6.

［6］賈洪平，賀益康.永磁同步電機(jī)滑模變結(jié)構(gòu)直接轉(zhuǎn)矩控制［J］.電工技術(shù)學(xué)報，2006，21(1):1－6.

JIA Hongping，HE Yikang.Variable structure sliding mode control for PMSM DTC［J］.Transactions of China Electrotechnical Society，2006，21(1):1－6.

［7］張代林，陳幼平，艾武，等.基于觀測器模型的直線電機(jī)干擾抑制技術(shù)的研究［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報，2007，27(12):14－18.

ZHANG Dailin，CHEN Youping，AI Wu，et al.Research on disturbance suppression technology for linear motors based on a disturbance observer Model［J］.Proceedings of the CSEE，2007，27(12):14－18.

［8］孫宜標(biāo)，郭慶鼎.基于推力觀測器的直線式交流伺服系統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制［J］.電工技術(shù)學(xué)報，1998，13(2):1－5.

SUN Yibiao，GUO Qingding.Thrust observer-based sliding mode variable structure control for linear AC servo system［J］.Transactions of China Electrotechnical Society，1998，13(2):1－5.

［9］孫宜標(biāo)，楊雪，夏加寬.采用魯棒微分器的永磁直線同步電機(jī)二階滑?？刂疲跩］.中國電機(jī)工程學(xué)報，2007，27(33):6－10.

SUN Yibiao，YANG Xue，XIA Jiakuan.Second order sliding mode control for PMLSM using robust differentiator［J］.Proceedings of the CSEE，2007，27(33):6－10.

［10］張前，黃學(xué)良，周贛.永磁同步直線電動機(jī)的位置滑?？刂破髟O(shè)計［J］.微特電機(jī)，2010，38(5):53－55.

ZHANG Qian，HUANG Xueliang，ZHOU Gan.Design of position servo controller based on sliding mode control for permanent magnet linear synchronous motors［J］.Small＆Special Electrical Machines，2010，38(5):53－55.

［11］YANG Kwangjin，CHOI Youngjin，CHUNG Wankyun，Performance analysis of discrete-time disturbance observer for second order systems［C］//Proceedings of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control，December 9－12，2003，Maui，USA.2003，5:4877－4882.