田艷兵， 王濤， 王美玲， 張棟

(1.北京理工大學(xué) 自動化學(xué)院，北京 100083;2.青島理工大學(xué)自動化工程學(xué)院，山東青島 266520)

0 引言

精密伺服是超精密加工中的關(guān)鍵技術(shù)，是衡量一個國家超精密加工水平的重要指標(biāo)。目前，國內(nèi)外超精密伺服控制精度已經(jīng)達(dá)到納米級。精密伺服定位系統(tǒng)多以電驅(qū)動，為避免摩擦對控制效果的影響，一般裝配有氣浮導(dǎo)軌。電機(jī)驅(qū)動分為直接驅(qū)動和間接驅(qū)動兩種模式。間接驅(qū)動借助滾軸絲杠等傳動機(jī)構(gòu)將電機(jī)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)換為直線運(yùn)動，其傳動效率較低，往返行程間隙大，限制了控制精度的提高;直接驅(qū)動采用直線電機(jī)驅(qū)動［1］，如音圈電機(jī)等［2］，傳動效率高，但是輸出力較小。2007年，東京工業(yè)大學(xué)的H.Shino等采用8個音圈電機(jī)驅(qū)動［3］，完成了5nm精度等級的二維精確定位，定位精度很高，行程受到限制。特別是對于二維定位多采用“H”型疊壓結(jié)構(gòu)，機(jī)械結(jié)構(gòu)復(fù)雜。有學(xué)者嘗試在一個平面機(jī)械結(jié)構(gòu)內(nèi)的二維定位，天津大學(xué)的馮曉梅等設(shè)計(jì)了基于音圈電機(jī)的氣浮平臺，精度能達(dá)到微米級［4］。

目前，氣動伺服系統(tǒng)多采用氣缸驅(qū)動，電磁干擾小，設(shè)備維護(hù)方便。近年來，氣缸驅(qū)動或者氣缸復(fù)合驅(qū)動的超精密定位系統(tǒng)在國內(nèi)外得到廣泛研究和運(yùn)用，取得了一些成果。臺灣科技大學(xué)的Mao－Hsiung Chiang等采用氣缸和壓電驅(qū)動結(jié)合的模式［5］，較好的解決了控制精度和運(yùn)動行程的問題，其控制精度達(dá)到微米級，但兩級進(jìn)給模式使得機(jī)械結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不利于控制精度的提高。

基于氣缸的定位伺服系統(tǒng)精度不高，往往需要配備雙級驅(qū)動機(jī)構(gòu)，在二維定位中采用的“H”型結(jié)構(gòu)后，使得機(jī)械平臺更復(fù)雜，各種承載平臺之間存在的摩擦不利于精密控制［6］。本文設(shè)計(jì)了一種基于新型金屬波紋管驅(qū)動的單級進(jìn)給模式的氣動定位平臺，以氣浮平臺為支撐，采用高精密光柵尺進(jìn)行位移反饋，簡化了系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)，降低了成本。針對系統(tǒng)在運(yùn)動過程中存在的遲滯現(xiàn)象，建立基于PI的遲滯數(shù)學(xué)模型，為了改善系統(tǒng)的控制效果，采用了PI逆模型控制和反饋PID自整定控制，在2 500 μm的行程范圍內(nèi)，取得了較好的控制精度和響應(yīng)速度。

1 硬件平臺

系統(tǒng)硬件主要由3部分組成?；诓y管的運(yùn)動驅(qū)動機(jī)構(gòu);氣浮導(dǎo)軌產(chǎn)生的靜壓軸承支撐的工作平臺以及位置檢測反饋部分。由單片機(jī)調(diào)節(jié)高精度壓力比例閥，控制波紋管內(nèi)部壓力，調(diào)整其伸縮量，控制平臺位移。為增加平臺剛度和穩(wěn)定性，在運(yùn)動平臺另一側(cè)安裝有預(yù)緊彈簧。整個系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖和實(shí)物圖如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖和實(shí)物圖Fig.1 Block diagram and actual picture of the system

1.1 運(yùn)動驅(qū)動機(jī)構(gòu)

系統(tǒng)驅(qū)動機(jī)構(gòu)采用電氣比例閥控制的驅(qū)動波紋管。波紋管是一類子午線呈波紋狀的旋轉(zhuǎn)體，依靠內(nèi)部氣體壓力的變化產(chǎn)生伸縮運(yùn)動，產(chǎn)生位移。按形狀可分為“U”型、“Ω”型、“S”型等［7］。其中“U”型波紋管承受壓力大，靜態(tài)特性較好，輸出位移與輸入信號線性關(guān)系好，無摩擦，模型簡單。通過單片機(jī)的12位D/A數(shù)據(jù)口控制高速比例閥，實(shí)現(xiàn)波紋管的位置控制［8］。

1.2 支撐體結(jié)構(gòu)

支撐體結(jié)構(gòu)主要由氣浮導(dǎo)軌和工作平臺組成，工作平臺由高剛度的多孔質(zhì)氣浮導(dǎo)軌產(chǎn)生靜壓空氣軸承支撐。

氣浮導(dǎo)軌為工作臺定向并提供無摩擦支撐。氣浮導(dǎo)軌的氣孔噴射壓縮空氣到工作臺表面產(chǎn)生懸浮力，當(dāng)懸浮力與工作平臺重量平衡時，平臺處于穩(wěn)定懸浮狀態(tài)。支撐臺負(fù)載發(fā)生變化或有外界擾動時，氣浮平臺表面和載物臺之間的間隙改變，懸浮力重新達(dá)到平衡［9］，具有自平衡能力。該系統(tǒng)氣浮導(dǎo)軌為封閉矩形，氣浮導(dǎo)軌的上下、左右均有氣孔。上下兩側(cè)氣浮導(dǎo)軌會在上、下兩個面產(chǎn)生靜壓面，以提高靜壓軸承的剛性，左、右兩個面靜壓面起到導(dǎo)向作用。對于空氣靜壓軸承設(shè)計(jì)可以采用有限元分析方［10－11］，在此不再贅述，多孔質(zhì)空氣靜壓軸承的原理示意圖如圖2所示。

圖2 氣浮導(dǎo)軌Fig.2 Aerostatic slider

1.3 檢測元件

系統(tǒng)采用MicroE公司生產(chǎn)的Mercury3500系列的光柵尺進(jìn)行位置反饋，其檢測分辨率可以達(dá)到5nm［12］。

2 系統(tǒng)遲滯模型

波紋管作為驅(qū)動機(jī)構(gòu)，近年來已有學(xué)者對其進(jìn)行了一定的研究，其工作壽命和機(jī)械特性已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)中得到驗(yàn)證［13］。作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，波紋管在低速或者靜態(tài)下，有著很好的線性，但是其采用氣體驅(qū)動，由于氣體本身的可壓縮性，在動態(tài)運(yùn)動的情況下，波紋管驅(qū)動系統(tǒng)輸入和輸出之間存在遲滯現(xiàn)象。遲滯是指系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡在上行和下行之間存在間隙，也即系統(tǒng)的輸入和輸出之間并不是一一對應(yīng)的關(guān)系，具體到波紋管來說，就是其電磁比例閥的輸入電壓所對應(yīng)的波紋管產(chǎn)生的輸出位移不是一一對應(yīng)的，這對于超精密定位系統(tǒng)有著較大的影響。

目前關(guān)于波紋管的遲滯特性大多基于金屬材料特性進(jìn)行改進(jìn)，來減小遲滯的影響，但是效果不好。本文對其遲滯特性進(jìn)行研究，通過建立系統(tǒng)遲滯模型，找出針對性的控制策略，降低遲滯對系統(tǒng)定位精度的影響［14］。

系統(tǒng)遲滯特性由其初載曲線確定。在該系統(tǒng)中，其初載曲線可以通過實(shí)驗(yàn)獲取，將驅(qū)動電磁壓力比例閥從無源狀態(tài)下開始，逐步施加驅(qū)動電壓到最大值過程中，采集位移參數(shù)，得到波紋管驅(qū)動平臺的運(yùn)行軌跡。為了驗(yàn)證波紋管的遲滯特性，平臺加載后，進(jìn)行初載特性實(shí)驗(yàn)，其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表1。

波紋管驅(qū)動平臺的初載特性實(shí)驗(yàn)在低頻輸入下進(jìn)行，電壓的變化速率較慢。實(shí)驗(yàn)中系統(tǒng)輸入電壓信號變化速率為0.5 V/s，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)可以很好的抑制波紋管的動態(tài)特性，增加系統(tǒng)模型的精度。

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 1 Experimental data

2.1 PI模型

從表1的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中可以看出，波紋管驅(qū)動系統(tǒng)遲滯現(xiàn)象明顯，需要建立針對性的遲滯模型。目前常見的遲滯模型有Preisach模型、KP模型、PI模型等。PI模型是從Preisach模型發(fā)展而來的一種模型［15］，由Krasnosel’skii和Pokrovskii建立，由許多加權(quán)重疊的間隙算子(Backlash Operator)組成的，算子的特性由閾值r和權(quán)值ω決定，不同閾值的遲滯算子通過加權(quán)ω疊加，形成遲滯特性曲線。閾值r決定了基本遲滯算子的寬度，權(quán)值ω決定了基本遲滯算子的斜度［16］。

在構(gòu)建遲滯模型時，間隙算子的數(shù)學(xué)形式為

其中，T為采樣周期。式(1)是一個基于y(0)的遞歸公式，有

y0為系統(tǒng)在沒有激勵源的情況下的初值，一般情況下可以取0。

加權(quán)ω之后形成加權(quán)遲滯算子，即

從而PI遲滯模型可以通過n個加權(quán)遲滯算子累加得到，有

PI模型的一個顯著優(yōu)點(diǎn)是模型的解析逆容易得到，從而可以通過PI逆模型對控制對象線性化，線性化后的模型便于控制和分析，在線性化的基礎(chǔ)上進(jìn)行控制方案的研究，其線性化原理如圖3所示［17］。

圖3 基于PI逆矩陣的控制器設(shè)計(jì)原理Fig.3 Controller design based on PI inverse matrix

2.2 模型參數(shù)辨識

從式(4)可以看出，決定系統(tǒng)PI模型的2個主要參數(shù)為r和ω。在實(shí)際操作過程中，PI模型參數(shù)的辨識可以利用系統(tǒng)帶載實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)形成的初載曲線進(jìn)行，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對式(5)所描述的數(shù)學(xué)模型，用Matlab的ployfit函數(shù)進(jìn)行擬合，并用最小方差優(yōu)化，可以得到辨識后的系統(tǒng)參數(shù)如表2所示。

表2 參數(shù)辨識結(jié)果Table 2 Result of parameters identification

結(jié)合PI模型，其解析逆模型參數(shù)也容易求得，可以建立基于逆模型的前饋控制器，能夠較好的完成軌跡跟蹤。

2.3 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證建立模型的精度，在實(shí)驗(yàn)室平臺上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)［18］。仿真實(shí)驗(yàn)中將系統(tǒng)模型放在SIMULINK中進(jìn)行，壓力比例閥輸入信號和壓力輸出按線性關(guān)系處理。而對于實(shí)驗(yàn)平臺則是按照一定規(guī)律輸入電壓信號，通過光柵尺檢測位移輸出。上位機(jī)軟件采用Labwindows進(jìn)行設(shè)計(jì)，下位機(jī)采用MSP430單片機(jī)系統(tǒng)對高精度壓力比例閥進(jìn)行控制，調(diào)整壓力，控制波紋管伸縮量，并和上位機(jī)進(jìn)行通信。在實(shí)驗(yàn)中，電磁比例閥控制電壓信號變化軌跡為(0.0v－1.5v－0.0v－1.4v－0.2v－1.0v－0.5v－0.8v－0.6v)。

變化速率為0.5V/s，實(shí)驗(yàn)輸出和模型輸出如圖4所示。

圖4 模型輸出和實(shí)驗(yàn)輸出Fig.4 Model output and experimental output

從圖中可以看出，通過初載曲線擬合建立的PI遲滯模型可以很好地逼近系統(tǒng)的實(shí)際輸出，所建立的遲滯模型是有效的，精度較高。

3 控制策略研究

實(shí)驗(yàn)表明，在波紋管驅(qū)動特性中，遲滯特性是影響其控制精度的主要因素，因此在控制器設(shè)計(jì)中，重點(diǎn)考慮遲滯特性的線性化，根據(jù)PI模型采用PI逆模型進(jìn)行處理。

3.1 前饋開環(huán)控制

將波紋管驅(qū)動系統(tǒng)辨識得到的遲滯模型進(jìn)行求逆，逆模型直接串聯(lián)在被控對象前面，將系統(tǒng)線性化，逆模型作為前饋控制器。這種方案稱為前饋控制方案，盡管缺少反饋環(huán)節(jié)，但是在某些精度要求不高的場所，該種方案可以減少位置檢測反饋裝置，從而從很大程度上降低成本。實(shí)驗(yàn)研究表明，采用直接前饋開環(huán)控制，控制精度可以達(dá)到十幾個微米的等級，因此也有一定的實(shí)用價值。

考慮系統(tǒng)在運(yùn)動過程中存在的動態(tài)特性影響，可以在前饋控制器前加入針對動態(tài)特性的控制環(huán)節(jié)，作為總的前饋控制器。波紋管驅(qū)動精密定位平臺前饋控制框圖如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)遲滯逆模型開環(huán)控制Fig.5 Open-loop control based on inverse hysteresis model

3.2 基于PSO自整定的復(fù)合控制方案

為了進(jìn)一步提高系統(tǒng)的控制精度，在定位系統(tǒng)中采用了前饋開環(huán)控制加反饋環(huán)節(jié)的控制方案。前饋控制用來校正波紋管驅(qū)動執(zhí)行器的遲滯非線性，提高對參考位移信號的跟蹤能力;反饋調(diào)節(jié)用來進(jìn)一步校正前饋補(bǔ)償沒有消除的偏差以及由模型的不確定性帶來的誤差，從而彌補(bǔ)建模帶來的定位誤差，使得工作平臺跟蹤精度進(jìn)一步提高［19］。

反饋環(huán)節(jié)采用數(shù)字PID控制，PID參數(shù)對于控制效果非常重要，但參數(shù)整定較為繁瑣，且效果不一定最佳，特別是系統(tǒng)模型參數(shù)變化的情況下，PID參數(shù)需要針對不同情況進(jìn)行整定。對于定位平臺，由于其承載質(zhì)量的不同，不同的PID參數(shù)會影響控制效果［20］。為了改善參數(shù)整定效果，考慮到運(yùn)動控制系統(tǒng)調(diào)整周期短，在復(fù)合控制中，通過粒子群算法對PID參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，確定系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)，可以將不同負(fù)載時的控制參數(shù)預(yù)先整定儲存，以改善系統(tǒng)的實(shí)時性能，提高系統(tǒng)的控制精度。

粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)是遺傳算法的一種，和遺傳算法相似，它也是從一定范圍內(nèi)的隨機(jī)解出發(fā)，通過迭代尋找最優(yōu)解，通過適應(yīng)度函數(shù)－fitness來評價辨識參數(shù)的品質(zhì)，但它比遺傳算法規(guī)則更為簡單，它沒有遺傳算法的“交叉”(Crossover)和“變異”(Mutation)操作，主要是通過模擬鳥群尋找食物的過程，提出的優(yōu)化算法［21］。該算法簡單，編程較容易實(shí)現(xiàn)。PSO算法的關(guān)鍵在于適宜度函數(shù)的設(shè)計(jì)，根據(jù)運(yùn)動控制系統(tǒng)的特點(diǎn)和控制效果，適宜度函數(shù)可以選擇為

其中，W1，W2，W3，W4為權(quán)重函數(shù)，在尋優(yōu)過程中，充分考慮運(yùn)動定位控制的特點(diǎn)，對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和調(diào)節(jié)時間作為2個主要衡量指標(biāo)，權(quán)值分別取值為50，30，2，10。

對于該適宜度函數(shù)，采用PSO算法進(jìn)行尋優(yōu)［22］，目的是使適宜度函數(shù)達(dá)到極小值。PID控制效果取決于3個參數(shù)Kp、Ki、Kd，因此訓(xùn)練的粒子維數(shù)為3，粒子數(shù)目取30個，最大迭代次數(shù)2 000次。PSO算法參數(shù)整定的具體實(shí)現(xiàn)步驟為:

1)系統(tǒng)初始化，設(shè)定Kp、Ki、Kd初值，確定Kp、Ki、Kd的范圍，賦予粒子初始位置和速度以及pbest和gbest，確定系統(tǒng)的合法的Vmax和Xmax。

2)對每個粒子Kp、Ki、Kd階躍響應(yīng)，實(shí)驗(yàn)得到時域內(nèi)的性能指標(biāo)e(∞)、ts、tr和σ%。

3)根據(jù)階躍響應(yīng)參數(shù)，據(jù)式(6)計(jì)算種群中每個粒子適應(yīng)度值。

4)對于每一個粒子，根據(jù)計(jì)算的適宜度函數(shù)，尋求更優(yōu)值，確定是否更新其pbest和gbest值。

5)更新粒子的速度和位置。

6)判斷粒子位置和速度的合法性。

7)如果達(dá)到最大迭代次數(shù)轉(zhuǎn)至8)，否則轉(zhuǎn)至2)。

8)尋優(yōu)結(jié)束，得到PSO尋優(yōu)后PID的參數(shù)，即Kp、Ki、Kd。

PSO尋優(yōu)的PID復(fù)合控制方案框圖如圖6所示。

圖6 基于PSO的復(fù)合控制方案Fig.6 Compound control based on PSO

4 實(shí)驗(yàn)和分析

分別利用傳統(tǒng)PID控制和自尋優(yōu)PID復(fù)合控制方案控制，在波紋管驅(qū)動平臺上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，系統(tǒng)主要參數(shù)為

m為移動平臺的自重和負(fù)重;A為波紋管有效受力面積;ps為氣源壓力;p0為靜壓軸承氣源壓力。

4.1 PID控制方案

對于傳統(tǒng)的PID控制，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，取Kp=0.46，Ki=0.06，Kd=0.01，其階躍穩(wěn)態(tài)誤差為0.16 μm、超調(diào)量為3.7%，如圖7所示。

圖7 PID控制階躍響應(yīng)Fig.7 Step response

三角波跟蹤和正弦跟蹤平均誤差分別為0.41 μm和0.67 μm，見表3。

表3 控制效果比較Table 3 Positioning accuracy of different control schemes

4.2 基于PSO的PID自整定方案

實(shí)驗(yàn)按照定位實(shí)驗(yàn)和軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)進(jìn)行，階躍響應(yīng)選取30 μm階躍信號，其實(shí)驗(yàn)響應(yīng)曲線如圖8所示，系統(tǒng)的調(diào)整時間0.06 s左右，超調(diào)在2%左右，穩(wěn)定誤差小于0.05 μm。

圖8 PSO尋優(yōu)PID階躍響應(yīng)Fig.8 Step response based on PSO

跟蹤實(shí)驗(yàn)采用三角波和正弦波輸入。三角波實(shí)驗(yàn)時，波紋管預(yù)加壓伸縮到1 000 μm，誤差曲線以1 000 μm為基準(zhǔn)。正弦波輸入頻率為2.5 Hz，避免負(fù)值輸入，輸入從零值開始，數(shù)值偏向時間軸一側(cè)。其軌跡跟蹤效果如圖9和圖10所示。

圖9 鋸齒波跟蹤實(shí)驗(yàn)Fig.9 Sawtooth tracking experiment

從圖中可以看出在PSO優(yōu)化參數(shù)后的復(fù)合控制方案下，系統(tǒng)跟蹤效果很好。三角波輸入，跟蹤最大誤差為0.32 μm，平均為0.12 μm;正弦波輸入，跟蹤誤差平均為0.18 μm，達(dá)到亞微米級或納米級。滿足超精密定位平臺的需求。與傳統(tǒng)PID控制相比，其平均誤差和最大誤差均有較大改進(jìn)，見表3。

圖10 正弦跟蹤實(shí)驗(yàn)Fig.10 Sine tracking experiment

5 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了一種基于波紋管驅(qū)動的超精密運(yùn)動平臺，實(shí)驗(yàn)表明，實(shí)驗(yàn)平臺定位精度達(dá)到了超精密定位的要求。波紋管驅(qū)動的定位平臺在國內(nèi)外研究和應(yīng)用較少，其主要優(yōu)點(diǎn)有:

1)波紋管驅(qū)動相比較電動驅(qū)動而言，波紋管采用氣動作為驅(qū)動能量，環(huán)境干擾小，維護(hù)方便。

2)波紋管本身在較大行程中有著很高的定位精度，這一點(diǎn)是其他超精密驅(qū)動裝置，如壓電等所部具備的，因此在一些較大行程的超精密驅(qū)動中可以避免兩級驅(qū)動的模式。采用PSO進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化之后的復(fù)合控制方案，控制精度較高。

3)波紋管造價低廉，有著明顯的價格和成本優(yōu)勢。

4)波紋管能量來源為氣源，相對于電動而言，其驅(qū)動力的大小取決于管腔內(nèi)的壓力和波紋管截面積，因此在同等體積下，其輸出推力相對于電機(jī)推力較大。

5)由于波紋管本身的柔性特性，可以考慮在一個平面內(nèi)實(shí)現(xiàn)二維定位，從而避免的傳統(tǒng)的“H”型結(jié)構(gòu)，降低了系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度，便于設(shè)計(jì)和控制，也降低了平臺的硬件成本。

波紋管作為一種新型的驅(qū)動器件，研究表明其在超精密控制中有很好的應(yīng)用前景，但是也存在諸多問題，目前還沒有專門的企業(yè)生產(chǎn)驅(qū)動用波紋管，本實(shí)驗(yàn)中用到的波紋管為專門設(shè)計(jì)，其機(jī)械性能還有待進(jìn)一步研究，其機(jī)械壽命也還需要進(jìn)一步考慮和驗(yàn)證，希望更多地專家和學(xué)者給予關(guān)注。

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