許海亮，袁 勇，屈鐵軍，唐浚然

（1．北方工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100144；2．同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092）

車輛與道路的相互作用問(wèn)題，包括車輛和道路兩個(gè)系統(tǒng)的研究，是一個(gè)新的研究領(lǐng)域。車輛在路面不平整度的激勵(lì)下產(chǎn)生振動(dòng)，這種振動(dòng)反過(guò)來(lái)又作用于道路結(jié)構(gòu)，引起道路結(jié)構(gòu)的變形，進(jìn)而又加劇了車輛的振動(dòng)，因此必須把車路作為一個(gè)大的系統(tǒng)進(jìn)行研究。路面不平整度作為一個(gè)隨機(jī)的激勵(lì)，使整個(gè)系統(tǒng)的研究要置于隨機(jī)振動(dòng)的理論范疇內(nèi)來(lái)進(jìn)行。

目前，不管是車輛方面還是道路結(jié)構(gòu)方面的隨機(jī)振動(dòng)研究，都將車輛和道路系統(tǒng)分離進(jìn)行。對(duì)于道路方面的研究主要采用兩種方式：①利用車輛模型，研究路面隨機(jī)不平整度激勵(lì)下車輛的振動(dòng)，并計(jì)算出車輛對(duì)路面結(jié)構(gòu)的動(dòng)力荷載，再以該荷載來(lái)研究路面結(jié)構(gòu)的響應(yīng)［1－3］；②直接假定某種波動(dòng)荷載為模擬的車輛荷載進(jìn)行道路結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)研究［4－5］。上述方法都沒(méi)有完全反映出車路耦合振動(dòng)的實(shí)際狀況，有鑒于此，有必要對(duì)車路相互作用系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)作深入的研究。

1 傳統(tǒng)車路道路模型

以往的研究認(rèn)為，道路在車輛荷載作用下的變形較小，相對(duì)于路面不平整度引起的車輛振動(dòng)來(lái)說(shuō)可以忽略，因此對(duì)于車輛動(dòng)荷載的研究均以車輛模型為基礎(chǔ)。研究中應(yīng)用較廣的模型是四分之一車輛模型［3，6－7］，如圖 1所示。

傳統(tǒng)模型研究的主要思路：利用四分之一車輛模型，研究車輛在路面不平整度下的隨機(jī)振動(dòng)可以得到車輛對(duì)路面的動(dòng)荷載，進(jìn)而作為道路振動(dòng)響應(yīng)研究的輸入。

傳統(tǒng)模型將車輛和道路分開考慮，在隨機(jī)振動(dòng)分析中將路面假設(shè)為剛性，即道路系統(tǒng)不參與振動(dòng)，這與實(shí)際情況是不符的。對(duì)于隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題，是否考慮車路的耦合效應(yīng)，勢(shì)必會(huì)影響各振動(dòng)自由度的頻率分布，頻率分布的改變對(duì)振幅的影響是不容忽視的，因此有必要就車路耦合效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響作深入的對(duì)比分析研究。

圖1 四分之一車輛模型Fig．1 Quarter vehicle model

2 車路耦合線彈性模型的建立及求解

2.1 車路耦合線彈性模型

鑒于傳統(tǒng)研究模型當(dāng)中的不足，本文在傳統(tǒng)振動(dòng)模型的基礎(chǔ)上引入了道路結(jié)構(gòu)體系，建立了新的車路耦合振動(dòng)線性模型。在模型中道路結(jié)構(gòu)中的路面和路基被分別看成一個(gè)整體參與振動(dòng)，采用質(zhì)量－彈簧－阻尼元件進(jìn)行模擬。為了考慮道路結(jié)構(gòu)中相鄰質(zhì)量塊間的影響，在模型中引入了剪切彈簧和剪切阻尼元件，模型如圖2所示。

圖2 車路耦合線性模型Fig．2 The linear model of vehicle-pavement coupling system

圖2中：M1為懸掛系統(tǒng)（車架、載重）的質(zhì)量；M2為非懸掛系統(tǒng)（輪胎、輪軸）的質(zhì)量；M3為路面系統(tǒng)的質(zhì)量；M4為路基系統(tǒng)的質(zhì)量；K1為懸掛系統(tǒng)剛度；K2為非懸掛系統(tǒng)剛度；K3為路面系統(tǒng)剛度；K4為路基系統(tǒng)剛度；KV3為路面系統(tǒng)中剪切剛度；KV4為路基系統(tǒng)中剪切剛度；C1為懸掛系統(tǒng)阻尼；C2為非懸掛系統(tǒng)阻尼；C3為路面系統(tǒng)阻尼；C4為路基系統(tǒng)阻尼；CV3為路面系統(tǒng)剪切阻尼；CV4為路基系統(tǒng)剪切阻尼；Z1為懸掛系統(tǒng)與非懸掛系統(tǒng)的相對(duì)位移；Z2為非懸掛系統(tǒng)與路面的相對(duì)位移；Z3為路面系統(tǒng)與路基系統(tǒng)的相對(duì)位移；Z4為路基系統(tǒng)與基準(zhǔn)面的相對(duì)位移；δ（t）為路面不平整度。

2.2 車路耦合模型隨機(jī)振動(dòng)求解

由D’A lembert原理，車路耦合線性模型的振動(dòng)方程為：

整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程可以用矩陣形式表達(dá)為：

根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)相關(guān)理論，激勵(lì)與響應(yīng)間存在如下關(guān)系：

式中，δj（ω）、Zi（ω）分別為激勵(lì)和響應(yīng)的頻率函數(shù)；Hij（ω）為頻率響應(yīng)函數(shù)，對(duì)于單一激勵(lì)輸入可簡(jiǎn)記為Hi（ω）。

對(duì)（5）式進(jìn)行Fourier變換，并利用（6）式可以得到Hi（ω）（i＝1，2，3，4）。

依據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論，激勵(lì)的功率譜密度函數(shù)Sδ（ω），和響應(yīng)函數(shù)的功率譜密度 SZ（ω）間有如下關(guān)系：

同時(shí)可以得到：

式中 Si′（ω）和 Si″（ω）分別為響應(yīng)函數(shù)的速度譜密度函數(shù)和加速度譜密度函數(shù)。

以上求解得到了振動(dòng)系統(tǒng)在相對(duì)坐標(biāo)下的響應(yīng)函數(shù)，對(duì)于絕對(duì)坐標(biāo)下的響應(yīng)可依據(jù)隨機(jī)振動(dòng)相關(guān)理論利用相對(duì)坐標(biāo)下的響應(yīng)函數(shù)推導(dǎo)得出。

以車輛懸掛系統(tǒng)質(zhì)量單元為例，設(shè)其絕對(duì)位移函數(shù)為 y1（t），根據(jù)定義有：

依據(jù)相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的相關(guān)定理有：

式中：SZ1表示 SZ1（ω），在不引起混淆的情況下簡(jiǎn)記為SZ1。

以上推導(dǎo)了車輛懸掛系統(tǒng)質(zhì)量單元的絕對(duì)位移函數(shù)為y1（t）和功率譜密度函數(shù)Sy1（ω）的表達(dá)式，同理也可以求得系統(tǒng)中其它質(zhì)量單元的絕對(duì)位移函數(shù)和功率譜密度函數(shù)。

2．3 路面不平整度模型

目前有多種典型路面的譜密度表達(dá)式，本文采用如下形式［8－9］：

式中，Ω0為參考空間頻率，Ω0＝0．1c／m。Gq（Ω0）為參考空間頻率下的路面功率譜密度值，稱為路面不平度系數(shù)。W為頻率指數(shù)，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)上功率譜曲線為一條斜線，一般取W＝2。

設(shè)汽車的行駛速度為v，路面不平度的空間頻率Ω，圓頻率ω，自然頻率f間存在如下關(guān)系：

綜合式（12）、（13）、（14）可得：

3 車路耦合模型的試驗(yàn)驗(yàn)證

文獻(xiàn)［10］對(duì)車輛與路面間的相互作用進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)研究，通過(guò)在試驗(yàn)車輛的前后軸頭處設(shè)置加速度傳感器來(lái)測(cè)量輪軸處的加速度值，試驗(yàn)裝置布置如圖3所示。表1和圖4分別給出了試驗(yàn)的試驗(yàn)參數(shù)和測(cè)量結(jié)果。

表1 現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)參數(shù)［10］Tab．1 The parameters in field test

圖3 車輛軸頭處傳感器布置［10］Fig．3 The sensor disposition at car axle

從圖4中可以看出，車輛軸頭處（即車輛非懸掛系統(tǒng)）加速度頻譜中共有兩個(gè)顯著的峰值，第一個(gè)峰值出現(xiàn)在2．3 Hz附近，幅值為0．317，第二個(gè)峰值出現(xiàn)在17．5 Hz附近，幅值為0．385。

利用本文所提出的車路耦合隨機(jī)振動(dòng)模型對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行了模擬，考慮試驗(yàn)地點(diǎn)為高速公路，模擬計(jì)算采用了A級(jí)路面的路面譜；其它參數(shù)取值為：M1＝12．98×103kg，M2＝5．0×102kg，M3＝3．5×102kg，M4＝1．5×103kg，K1＝5．0×105N／m，K2＝1．5×106N／m，K3＝1．0×109N／m，K4＝2．5×107N／m，KV3＝1．0×108N／m，KV4＝4．0×105N／m，C1＝1．5×104N·s／m，C2＝5．0×103N·s／m，C3＝3．0×104N·s／m，C4＝5．0×103N·s／m，CV3＝2．0×104N·s／m，CV4＝3．0×103N·s／m，v＝70 km／s（道路部分的取值參考道路相關(guān)參數(shù)，并考慮了對(duì)實(shí)際應(yīng)力擴(kuò)散的修正）。

計(jì)算車輛非懸掛系統(tǒng)的加速度頻譜如圖5所示。

圖4 后輪軸加速度功率譜［10］Fig．4 Acceleration power spectral density of rear axle

圖5 耦合模型模擬結(jié)果Fig．5 Simulation result using the coupling model

圖6 車輛懸掛系統(tǒng)垂向加速度功率譜對(duì)比圖Fig．6 Vertical acceleration power spectral density comparison diagram of vehicle suspension system

由車路耦合模型模擬結(jié)果可以看出，車輛非懸掛系統(tǒng)也出現(xiàn)了兩個(gè)明顯的峰值，第一個(gè)峰值出現(xiàn)在2 Hz附近，幅值為0．26，第二個(gè)峰值出現(xiàn)在20 Hz附近，幅值為0．98。對(duì)比圖4和圖5可以發(fā)現(xiàn)，耦合模型計(jì)算結(jié)果能夠反映出車輛的主要振動(dòng)情況，與實(shí)測(cè)資料能夠較好的吻合，幅值上的差別主要是由模型簡(jiǎn)化、車輛參數(shù)、路面不平整度的輸入均會(huì)與實(shí)際情況出現(xiàn)偏差，同時(shí)測(cè)量過(guò)程也會(huì)出現(xiàn)誤差所造成。但是從總體的趨勢(shì)上說(shuō)，車路耦合模型計(jì)算結(jié)果和實(shí)測(cè)資料吻合的相當(dāng)好。

利用本文提出的耦合模型對(duì)試驗(yàn)中的其它成果進(jìn)行模擬也得到了很好的吻合，這有力的證明了本文所提出的耦合模型的正確性。

4 車路耦合模型與傳統(tǒng)模型的對(duì)比分析

車路耦合模型將車輛和道路作為一個(gè)大的系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)研究，能夠較好的反映出車輛和路面真實(shí)的振動(dòng)情況。鑒于目前傳統(tǒng)模型在研究中應(yīng)用較為廣泛，本文將車路耦合模型和傳統(tǒng)模型進(jìn)行對(duì)比分析以界定出各自的適用范圍。

考慮到加速度是目前評(píng)價(jià)車輛自由度振動(dòng)的主要指標(biāo)，本文研究了模型中各自由度的加速度功率譜密度函數(shù)，同時(shí)為便于分析，各函數(shù)圖形均表達(dá)為自然頻率f的形式。計(jì)算過(guò)程中取C級(jí)路面的功率譜，耦合模型和傳統(tǒng)模型所取相應(yīng)參數(shù)均相同。選擇計(jì)算參數(shù)如下：M1＝4．5×103kg，M2＝5．0×102kg，M3＝3．5×102kg，M4＝1．5×103kg，K1＝5．0×105N／m，K2＝1．5×106N／m，K3＝1．0×109N／m，K4＝2．5×107N／m，KV3＝1．0×108N／m，KV4＝4．0×105N／m，C1＝1．5×104N·s／m，C2＝5．0×103N·s／m，C3＝3．0×104N·s／m，C4＝5．0×103N·s／m，CV3＝2．0×104N·s／m，CV4＝3．0×103N·s／m，v為 30 m／s。

圖6～圖8分別為耦合模型和傳統(tǒng)模型中車輛懸掛系統(tǒng)、車輛非懸掛系統(tǒng)的加速度功率譜對(duì)比圖以及車輛道路間作用力的功率譜密度對(duì)比圖。

圖7 車輛非懸掛系統(tǒng)垂向加速度功率譜對(duì)比圖Fig．7 Vertical acceleration power spectral density comparison diagram of vehicle non-suspension system

圖8 車輛道路間作用力功率譜對(duì)比圖Fig．8 Power spectral density comparison diagram of the forces between vehicle and pavement

從圖6～圖8中可以分析得到以下幾點(diǎn)結(jié)論：

（1）圖6為車輛懸掛系統(tǒng)垂向加速度功率譜對(duì)比圖，從圖中可以看出耦合模型和傳統(tǒng)模型中的曲線幾乎完全重合，振幅峰值均出現(xiàn)在1．5Hz左右，這就意味著車路耦合效應(yīng)對(duì)于車體懸掛系統(tǒng)（車體的主要部位）的振動(dòng)影響不大。道路路面在車輛荷載下的變形通常是毫米量級(jí)，路面變形的影響對(duì)車輛主體的振動(dòng)影響可忽略不計(jì)，所以車輛部門針對(duì)車輛振動(dòng)的研究未考慮道路振動(dòng)影響的方法是可行的。

（2）圖7為車輛非懸掛系統(tǒng)垂向加速度功率譜對(duì)比圖，可以看出耦合模型和傳統(tǒng)模型中非懸掛系統(tǒng)的振動(dòng)變化很大。耦合模型中非懸掛系統(tǒng)主要能量分布在1．5 Hz和20 Hz兩處；而傳統(tǒng)模型中只有一個(gè)峰值出現(xiàn)在10 Hz附近。通過(guò)與實(shí)測(cè)資料對(duì)比，利用傳統(tǒng)模型計(jì)算得到的總體趨勢(shì)與實(shí)測(cè)資料相差很大，而耦合模型所得總體趨勢(shì)與實(shí)測(cè)資料吻合得較好。分析其具體原因，可以看出車輛非懸掛系統(tǒng)振動(dòng)不僅受車輛懸掛系統(tǒng)的影響，而且受道路結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響也比較明顯。

（3）圖8對(duì)比了耦合模型和傳統(tǒng)模型中車輛道路間作用力的功率譜圖，從圖中可以看出兩個(gè)模型計(jì)算得出的作用力峰值均出現(xiàn)在1．5 Hz左右，與車輛懸掛系統(tǒng)的振動(dòng)頻率相近，符合車輛道路間作用力主要受車體懸掛系統(tǒng)影響的規(guī)律，這也間接證實(shí)了耦合模型計(jì)算的正確性。但是兩者的振動(dòng)幅值相差甚大，耦合模型中車輛道路間作用力的振幅峰值是傳統(tǒng)模型的8倍多。若按照隨機(jī)作用力的最大值為3σ（σ為均方差）來(lái)評(píng)估，耦合模型中車輛道路間作用力的最大值是傳統(tǒng)模型的2．4倍（注：這里的作用力是中心化的，不包括車輛的靜載作用力，以下同）。由此可見(jiàn)，車輛道路間的作用力受車路耦合效應(yīng)影響較大，以往研究中考慮到道路的變形相對(duì)于路面不平整度來(lái)說(shuō)量值較小而忽略車輛耦合效應(yīng)的方法對(duì)于車輛道路間作用力帶來(lái)的誤差不容忽視。追究?jī)赡Ｐ退脭?shù)值相差較大的原因，發(fā)現(xiàn)考慮道路的耦合效應(yīng)后，車輛非懸掛系統(tǒng)的振動(dòng)頻率發(fā)生了變化，其中一處振動(dòng)峰值頻率與懸掛系統(tǒng)頻率相近，在該頻率處車輛的懸掛系統(tǒng)和非懸掛系統(tǒng)發(fā)生了共振，從而使車輛道路間作用力的幅值成倍增大。

5 結(jié) 論

（1）建立了車路耦合線彈性模型，經(jīng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證該模型能夠很好的反應(yīng)車路耦合系統(tǒng)的振動(dòng)情況。雖然數(shù)學(xué)上建立更為復(fù)雜的車路耦合模型不存在任何困難，但是本文建立的模型形式簡(jiǎn)單，計(jì)算方便，能夠很好的反映實(shí)際振動(dòng)情況，有很高的研究應(yīng)用價(jià)值。

（2）利用車路耦合模型和傳統(tǒng)模型進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)車路耦合效應(yīng)對(duì)于車輛懸掛系統(tǒng)的振動(dòng)影響較小；對(duì)于車輛的非懸掛系統(tǒng)及車路間作用力影響較大，因此考察非懸掛系統(tǒng)的振動(dòng)以及路面結(jié)構(gòu)所受的隨機(jī)動(dòng)荷載不能忽視車路耦合的影響。

（3）利用車路耦合模型研究了車路耦合效應(yīng)對(duì)車路間隨機(jī)動(dòng)荷載的影響，發(fā)現(xiàn)耦合效應(yīng)對(duì)車路間動(dòng)荷載的影響不容忽視，實(shí)際算例顯示耦合效應(yīng)下車路間最大作用力（中心化）是不考慮耦合效應(yīng)的2．4倍。

（4）分析車路耦合效應(yīng)對(duì)車輛道路間隨機(jī)動(dòng)荷載影響較大的原因，發(fā)現(xiàn)考慮車路耦合效應(yīng)后，車輛非懸掛系統(tǒng)的振動(dòng)頻率分布發(fā)生了變化，使其在車輛懸掛系統(tǒng)主振頻率處出現(xiàn)共振，從而使車路間隨機(jī)動(dòng)荷載幅值比不考慮耦合幅值成倍增加。

（5）該模型雖考慮了車路耦合效應(yīng)的影響，但并沒(méi)有反映出車輛跳動(dòng)與路面分離這一工況，還需要在今后的研究工作中進(jìn)一步完善。

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