郝扣安, 王振清, 周利民, 王欣

(1.哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.香港理工大學(xué) 機(jī)械工程系，香港；3. 上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109)

復(fù)合材料憑借其優(yōu)越的使用性能、結(jié)構(gòu)和功能的可設(shè)計(jì)性，成為航空航天、汽車、船舶等眾多產(chǎn)業(yè)的首選材料之一。實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，對曲面結(jié)構(gòu)復(fù)合材料的需求是不可避免的，如倒角、對T型連接的加固等等。截至目前，針對彎曲結(jié)構(gòu)梁的研究還大多集中于實(shí)驗(yàn)[1]和數(shù)值分析[2]。其中，Pagano[3-4]利用線彈性理論研究了多層復(fù)合材料層合板，并給出了在承受柱形彎曲狀態(tài)下的精確解。然而，他考慮的是平板復(fù)合材料層合板承受橫向載荷的情況。Lekhnitskii[5]給出了各向異性彎曲梁在力矩載荷下的通解。該方法同樣也為ASTMD6415[6]采納用于計(jì)算彎曲梁四點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)中層間拉伸應(yīng)力。Shenoi[7]和李永勝[8]建立了基于彈性體彎曲梁彎曲行為的模型，得到了各向異性梁的彈性解。高階剪切變形理論[9-10]可對跨厚比大于4的板殼結(jié)構(gòu)，精確的計(jì)算面內(nèi)變形和應(yīng)力，但無法計(jì)算復(fù)合材料板殼的層間應(yīng)力。

本文通過給定適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件和位移應(yīng)力協(xié)調(diào)方程，利用彈性地基作用下的曲梁應(yīng)力解，確定了平面內(nèi)正應(yīng)力中性軸的位置，推導(dǎo)出由2種不同材料組成的層合曲梁應(yīng)力解。計(jì)算了不同幾何外形、不同材料比例和材料參數(shù)對于曲梁層間正應(yīng)力和平面內(nèi)正應(yīng)力大小、鋪層順序的影響。

1 曲梁的彈性基礎(chǔ)模型

1.1 基本方程

李永勝等[8]考慮了彈性地基作用下的曲梁抗彎性能，如圖1所示，單位寬度的曲梁被放置于模量為E的彈性地基上。其中，曲梁的內(nèi)徑為Ri，外徑為Ro。假設(shè)彈性地基的反作用力垂直于曲梁表面，且與曲梁每點(diǎn)處的撓度v成正比。

(a) 幾何外形

(b) 單元受力情況

(1)

曲梁的平衡方程有[7]：

(2)

為求解上式微分方程，需要建立力矩Mx與曲率變化κx的關(guān)系。對于復(fù)合材料層合板，二者的關(guān)系可由經(jīng)典層合板理論[11]得出：

(3)

式中，

式中：Aij為拉伸剛度，Bij為拉彎耦合剛度，Dij為彎曲剛度，ε0為層合板幾何中心處的應(yīng)變，κ為曲梁的曲率變化。對于彎曲結(jié)構(gòu)來說，力矩Mx與曲率變化κx的表達(dá)式需要考慮拉彎耦合、彎扭耦合。

僅考慮x方向的曲率變化，由式(3)可得：

(4)

(5)

純彎曲載荷下，應(yīng)力分量與θ角度無關(guān)，且有τrθ=0。

對于各向異性材料，有協(xié)調(diào)方程[13]：

(6)

求得應(yīng)力分量：

(7)

式中：λ=Eθ/Er,為材料的周向與徑向彈性模量之比；C2、C3和C4為常數(shù)，可通過給定邊界條件求得。

1.2 邊界條件

由圖1(b)，有邊界條件：

(8)

將式(7)中的各應(yīng)力分量代入邊界條件，式(8)中第3式可自動(dòng)滿足，可求得C2、C3和C4，故可求得應(yīng)力分量表達(dá)式[7]：

(9)

2 基于彈性地基的復(fù)合曲梁模型

2.1 基本假設(shè)

在對復(fù)合曲梁分析之前，給出幾點(diǎn)假設(shè)：

1)復(fù)合曲梁是由線彈性或各向異性材料組成，其材料主軸方向與整體坐標(biāo)系方向一致；

3)不考慮自由邊界效應(yīng) (Free-edge effects)；

4)彎曲梁中心線處的半徑與彎曲梁厚度之比RG/t皆足夠大以保證應(yīng)變得以線性分布。

2.2 中性軸位置的確定

本文討論矩形截面的復(fù)合曲梁，該復(fù)合曲梁(見圖2)，由兩種材料組成。圖2同時(shí)還給出了復(fù)合材料橫截面的幾何參數(shù)，靠近外徑部分為第一種材料，用I表示；靠近內(nèi)徑處的第2種材料，用II表示。復(fù)合曲梁的厚度為t，其中I層材料的厚度為tI，II層材料的厚度為tII。

圖2 復(fù)合曲梁橫截面尺寸

(10)

式中：r′為受到外力載荷后該點(diǎn)處的半徑，δ為中心軸與中性軸之間的距離。

由正向力N與彎曲力矩M所產(chǎn)生的正應(yīng)力施加于中心軸z軸處，可得平衡方程如下：

(11)

復(fù)合曲梁由兩部分組成，I層曲梁和II層曲梁。結(jié)合式(10)，對式(11)進(jìn)行變量替換，得：

(12)

由此可得：

(13)

聯(lián)立式(13)中兩個(gè)方程，求得

(14)

2.3 復(fù)合曲梁應(yīng)力求解

對于平面各向異性材料平面應(yīng)變問題而言，Hooke's定律表達(dá)為[14]：

(15)

考慮極坐標(biāo)中的幾何方程：

(16)

(17)

(18)

(19)

同時(shí)，考慮邊界處徑向、周向位移連續(xù)，有邊界條件如下：

(20)

因此，結(jié)合邊界條件式(18)～(20)，可求得復(fù)合曲梁厚度方向的層間正應(yīng)力與平面內(nèi)正應(yīng)力。

3 討論與分析

3.1 內(nèi)外徑之比對曲梁應(yīng)力的影響

針對單一材料的彎曲梁結(jié)構(gòu)，根據(jù)式(9)考察內(nèi)外徑之比(Ri/Ro)對于層間正應(yīng)力與平面內(nèi)正應(yīng)力的分布的影響。如果內(nèi)徑Ri=6.4 mm，M=1 000 N·m，圖3分別給出了Ri/Ro= 0.2、0.4、0.6、0.8曲梁應(yīng)力分布情況，圖中對橫坐標(biāo)進(jìn)行無量綱處理，為(r-Ri)/(Ro-Ri)。

(a) 層間正應(yīng)力分布

(b) 平面內(nèi)正應(yīng)力分布

觀察圖3(a)發(fā)現(xiàn)，4條曲線的層間正應(yīng)力最大值都位于偏離幾何中心軸靠近內(nèi)徑處，而內(nèi)外徑之比不僅影響彎曲梁層間最大正應(yīng)力值的大小，對于層間最大正應(yīng)力值的相對位置也有影響。隨著Ri/Ro的升高，層間最大正應(yīng)力值降低，同時(shí)其位置逐漸向幾何中心軸靠近。由圖3(b)可知，隨著Ri/Ro的升高，平面內(nèi)最大正應(yīng)力值也升高，而平面內(nèi)正應(yīng)力中性軸相對位置幾乎不變。周向徑向彈性模量之比λ對于應(yīng)力分布無明顯影響[7]。

3.2 材料參數(shù)對中性軸位置的影響

圖4 不同周向模量比的中性軸位置隨χ的變化情況

3.3 材料參數(shù)、體積比對復(fù)合曲梁應(yīng)力的影響

針對材料II，考慮其體積含量對曲梁應(yīng)力的影響，其中VII為材料II在曲梁結(jié)構(gòu)中的體積百分比。

圖5給出了VII為50%、60%、70%下對應(yīng)的應(yīng)力分布。作為比較，圖中還給出了材料II曲梁(VII=100%)的應(yīng)力分布,若Ri=6.4 mm，Ri=9.4 mm，M=1 000 N·m，其中I層II層材料參數(shù)由表1給出。

表1 復(fù)合曲梁材料參數(shù)

圖5給出了II層材料體積百分比分別為50%、60%和70%的應(yīng)力分布曲線。其中VII=100%時(shí)，最大層間正應(yīng)力約為7.72 MPa，與文獻(xiàn)[15]中7.60 MPa結(jié)果相近。

觀察圖5(a)，復(fù)合曲梁層間正應(yīng)力分為2個(gè)明顯區(qū)域，分界點(diǎn)橫坐標(biāo)與材料對應(yīng)的體積百分比一致。從VII=100%到VII=50%，層間正應(yīng)力最大值都位于II層內(nèi)，且隨著VII的增加而減小，且層間正應(yīng)力最大值的位置越來越靠近復(fù)合曲梁內(nèi)徑。I層內(nèi)的層間正應(yīng)力最大值位于材料交界處，并沿著外徑方向逐步減至零，隨著VII的增大，I層內(nèi)層間正應(yīng)力最大值增大。

(a) 層間正應(yīng)力分布

(b) 平面內(nèi)正應(yīng)力分布

觀察圖5(b)，2種材料不同周向彈性模量，復(fù)合曲梁平面內(nèi)正應(yīng)力存在明顯的分界點(diǎn)，分界點(diǎn)與曲線對應(yīng)的體積百分比一致。隨著VII的減小，II層內(nèi)的平面內(nèi)正應(yīng)力絕對值增大，而I層內(nèi)的平面內(nèi)正應(yīng)力絕對值減小，其中性軸(平面內(nèi)正應(yīng)力為零)也向內(nèi)徑靠近。

本文將材料I、II位置互換，令材料II位于外徑處，材料I位于內(nèi)徑處。圖6中2種鋪層順序分別用實(shí)心點(diǎn)與空心點(diǎn)表示，給出了鋪層順序?qū)?yīng)力分布的影響。

(a) 層間正應(yīng)力分布

(b) 平面內(nèi)正應(yīng)力分布

觀察圖6(a)，2種鋪層順序的層間正應(yīng)力的最大值都位于材料II區(qū)域內(nèi)，當(dāng)材料II靠近內(nèi)徑時(shí)，層間正應(yīng)力最大值大于材料II靠近外徑時(shí)。對于材料I來說，其區(qū)域內(nèi)的層間正應(yīng)力最大值也大于材料I位于外徑處情況。觀察圖6(b)，其平面內(nèi)正應(yīng)力分布也呈現(xiàn)同樣的趨勢。

4 結(jié)束語

本文討論了彈性地基作用下曲梁內(nèi)外徑之比(Ri/Ro)與其層間拉應(yīng)力和平面內(nèi)拉應(yīng)力分布的關(guān)系。隨著Ri/Ro的增大，層間拉應(yīng)力最大值減小，最大拉應(yīng)力位置逐步向幾何中心軸靠近，平面內(nèi)拉應(yīng)力值也隨之增大，而平面內(nèi)拉應(yīng)力的中性軸相對位置幾乎不變。

在此基礎(chǔ)上，分析了兩層不同材料組成的曲梁，確定了平面內(nèi)拉應(yīng)力中性軸位置，給出了復(fù)合曲梁的層間拉應(yīng)力和平面內(nèi)拉應(yīng)力解答，計(jì)算了不同幾何外形、材料不同的體積分?jǐn)?shù)和材料參數(shù)對于曲梁層間正應(yīng)力和平面內(nèi)正應(yīng)力大小、鋪層順序的影響。

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