張智, 聞子俠, 朱齊丹, 張?chǎng)? 喻勇濤

(哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

艦載機(jī)阻攔過(guò)程是一個(gè)很復(fù)雜的物理運(yùn)動(dòng)過(guò)程，阻攔系統(tǒng)包括主液壓缸、滑輪緩沖系統(tǒng)、末端緩沖系統(tǒng)等多個(gè)部分，并由阻攔鋼索系統(tǒng)在各個(gè)液壓滑輪間穿繞而成，阻攔過(guò)程鋼索會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜的波動(dòng)和應(yīng)力傳遞，并帶動(dòng)各個(gè)液壓緩沖系統(tǒng)和滑輪組系統(tǒng)綜合運(yùn)動(dòng)，形成復(fù)雜的綜合運(yùn)動(dòng)規(guī)律，飛機(jī)阻攔過(guò)程還可能會(huì)出現(xiàn)不同偏心距、偏航角、俯仰和橫滾姿態(tài)等變化，且飛機(jī)尾鉤具有兩個(gè)擺動(dòng)自由度，掛索過(guò)程中飛機(jī)尾鉤、飛機(jī)機(jī)體、和阻攔索之間也將產(chǎn)生復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)制約關(guān)系。一些學(xué)者[1-4]采用力學(xué)分析、波動(dòng)計(jì)算等方法分析阻攔過(guò)程阻攔索及飛機(jī)的受力狀態(tài)，但僅能研究宏觀規(guī)律或定性分析，難以細(xì)致、準(zhǔn)確地反應(yīng)阻攔過(guò)程中各種復(fù)雜規(guī)律。一些學(xué)者建立了阻攔過(guò)程仿真系統(tǒng)[5-6]，但大多對(duì)飛機(jī)、尾鉤、阻攔索等一些環(huán)節(jié)作了較大簡(jiǎn)化，文獻(xiàn)[7-11]側(cè)重阻攔過(guò)程液壓系統(tǒng)特性研究，建立了液壓運(yùn)動(dòng)模型。但對(duì)阻攔過(guò)程飛機(jī)運(yùn)動(dòng)及阻攔索波動(dòng)進(jìn)行了忽略或簡(jiǎn)化。一些學(xué)者[12]采用LS-DYNA和ADAMAS等方法建立阻攔索系統(tǒng)的有限元計(jì)算模型，較為完整地反映了阻攔索、滑輪組系統(tǒng)和阻攔液壓系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，但飛機(jī)、阻攔鉤模型仍較簡(jiǎn)化，難以準(zhǔn)確反映阻攔過(guò)程飛機(jī)、阻攔鉤和阻攔索之間復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。本文采用動(dòng)力學(xué)仿真和阻攔索的有限元仿真方法結(jié)合，不僅建立了飛機(jī)、阻攔鉤的完整動(dòng)力學(xué)模型，且對(duì)阻攔索波動(dòng)、阻攔系統(tǒng)滑輪組和液壓系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行了詳細(xì)建模。

1 艦載機(jī)及尾鉤動(dòng)力學(xué)建模

1.1 機(jī)體及起落架模型

考慮到著艦時(shí)刻飛機(jī)與航母的任意相對(duì)姿態(tài)，文獻(xiàn)[8]中已建立完整六自由度機(jī)體及起落架模型，該模型可適應(yīng)任意的飛機(jī)著艦過(guò)程，并且能實(shí)現(xiàn)傾斜姿態(tài)沖擊地面時(shí)，機(jī)體和3個(gè)起落架支柱的聯(lián)合動(dòng)力學(xué)仿真，并實(shí)現(xiàn)了整個(gè)沖擊過(guò)程的翻滾和顛簸過(guò)程模擬。本文只給出機(jī)體坐標(biāo)系的定義形式。

飛機(jī)的3個(gè)歐拉姿態(tài)角定義為：偏航角ψP為縱軸xb在水平面xgyg上的投影與軸xg間的夾角；俯仰角θP為縱軸xb與水平面xgyg之間的夾角；滾轉(zhuǎn)角φP為飛機(jī)對(duì)稱(chēng)平面xbzb與通過(guò)縱軸xb的垂直平面之間的夾角?？汕骃b到Sg姿態(tài)變換陣：

(1)

式中：Lx(φp)為繞x軸旋轉(zhuǎn)φp角度，Ly(θp)為繞x軸旋轉(zhuǎn)φp角度，Lz(ψp)為繞x軸旋轉(zhuǎn)φp角度。

1.2 尾鉤動(dòng)力學(xué)模型

1.2.1 尾鉤坐標(biāo)系定義

定義尾鉤坐標(biāo)系，OxTyTzT(標(biāo)記為ST)，尾鉤坐標(biāo)系是以飛機(jī)坐標(biāo)系為基準(zhǔn)來(lái)定義的(即當(dāng)尾鉤3個(gè)姿態(tài)角均為0時(shí)，其坐標(biāo)系與機(jī)體坐標(biāo)系各軸平行)，坐標(biāo)系原點(diǎn)定義在尾鉤的旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)。

尾鉤的3個(gè)歐拉姿態(tài)角采用與飛機(jī)相同的定義形式(只是以飛機(jī)本體坐標(biāo)系為基準(zhǔn))，分別為：偏航角ψT、俯仰角θT和滾轉(zhuǎn)角φT?？汕骃T到Sb姿態(tài)變換陣：

(2)

從而可求ST到Sg變換陣

(3)

圖1 尾鉤坐標(biāo)系

1.2.2 尾鉤動(dòng)力學(xué)方程

尾鉤的坐標(biāo)原點(diǎn)選在其旋轉(zhuǎn)中心，與機(jī)尾固連，掛索過(guò)程機(jī)尾速度變化較小，故按慣性系處理。尾鉤質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛機(jī)，其原點(diǎn)平動(dòng)可視為與機(jī)尾固連，平動(dòng)動(dòng)力學(xué)不需計(jì)算，只需根據(jù)機(jī)體動(dòng)力學(xué)模型中求得的飛機(jī)位置姿態(tài)直接推算其中心點(diǎn)的位置即可，設(shè)尾鉤旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)在飛機(jī)本體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)PT_b=[xT_byT_bzT_b]T，則其在世界坐標(biāo)系坐標(biāo)Sg中的坐標(biāo)PT_g=[xT_gyT_gzT_g]T可用下式求解:

(4)

式中：PP_b=[xP_byP_bzP_b]T為飛機(jī)質(zhì)心在世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，將式(1)代入式(4)后可求得PT_g。

尾鉤旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)及運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下：

(5)

式中：ωxT、ωyT、ωzT表示尾鉤在其本體系ST中的3個(gè)角速度分量;IxT、IyT、IzT是尾鉤在ST中的慣性矩，IzxT是飛機(jī)在ST中的慣性矩的慣性積；∑MT為合外力矩向量在尾鉤本體系的表示。

1.2.3 尾鉤受力計(jì)算

如圖2，艦載機(jī)著艦過(guò)程中，尾鉤到自身重力FT.G、地面彈力FT.gnd、縱向阻尼力FδTZ和橫向阻尼力FδTH作用，因平動(dòng)為受限運(yùn)動(dòng)，僅計(jì)算其旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型，故需計(jì)算各個(gè)力產(chǎn)生的力矩。

圖2 尾鉤受力分析

為適應(yīng)式(5)動(dòng)力學(xué)模型，需推導(dǎo)各力矩在尾鉤坐標(biāo)系中的表示。下面分別推導(dǎo)各個(gè)力和力矩的計(jì)算過(guò)程：尾鉤坐標(biāo)系下自身重力FT.G_G計(jì)算：

(6)

式中：LTg為式(3)給出的坐標(biāo)變換陣的逆陣。則尾鉤坐標(biāo)系重力產(chǎn)生力矩MT.G_T=FZ.T.G_TlT.GE，F(xiàn)Z.T.G_T為FZ.T.G的尾鉤系Z軸分量，LT.GO為尾鉤重心距鉸接點(diǎn)的距離。

尾鉤坐標(biāo)系下地面彈力FT.gnd_T計(jì)算：尾鉤承受地面彈力FT.gnd_T是一個(gè)瞬間碰撞力，為便于與其他受力一起計(jì)算合力、并實(shí)現(xiàn)尾鉤在整個(gè)阻攔過(guò)程的綜合仿真，將碰撞受力過(guò)程簡(jiǎn)化為一個(gè)大剛度彈簧力加阻尼力的作用過(guò)程，即允許尾鉤有垂向微小形變?chǔ)腡.h。設(shè)尾鉤末端觸地點(diǎn)在尾鉤本體系的坐標(biāo)為PT.e_T=[xT_eyT_ezT_e]T，那么其在大地坐標(biāo)系坐標(biāo)為：

(7)

則可求得尾鉤垂向形變?chǔ)腡.h：

(8)

式中：zgnd為地面高度。從而計(jì)算尾鉤的地面彈力大小計(jì)算公式如下：

(9)

從而計(jì)算尾鉤坐標(biāo)系下地面彈力矢量如下：

(10)

式中：kδ_T.gnd和kη_T.gnd分別為尾鉤與地面碰撞的等效彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)。

尾鉤坐標(biāo)系地面彈力產(chǎn)生力矩MT.gnd_T=FZ.T.gnd_TlT，其中FZ.T.gnd_T為FT.gnd_T的尾鉤系z(mì)軸分量，lT為尾鉤全長(zhǎng)。

阻尼力計(jì)算：尾鉤的阻尼力分為縱向阻尼力和橫向阻尼力，用來(lái)限制尾鉤著陸后的彈跳幅度，縱向阻尼力大小fT.ηz可由下式計(jì)算：

(11)

(12)

計(jì)算方法與縱向阻尼力類(lèi)似，計(jì)算出阻尼力后，需乘以各自得阻尼力臂(與阻尼器安裝位置有關(guān))來(lái)求得阻尼力矩。

1.2.4 尾鉤對(duì)飛機(jī)作用力計(jì)算

尾鉤對(duì)飛機(jī)的作用力包括2部分:一部分是通過(guò)旋轉(zhuǎn)鉸接點(diǎn)對(duì)飛機(jī)傳遞的力，此處僅可傳遞拉力或支撐力，且沿著尾鉤軸向；另一部分是橫、縱向阻尼器連接在飛機(jī)上的固定點(diǎn)對(duì)飛機(jī)傳遞的阻尼反作用力。對(duì)于鉸接點(diǎn)作用力，可先將尾鉤受到的所有合外力變換至尾鉤本體坐標(biāo)系，并將變換后的y和z方向分量置0，僅保留x方向分量，然后再將該分力變換至飛機(jī)本體坐標(biāo)系或世界坐標(biāo)系，并施加于飛機(jī)機(jī)體動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型即可。

2 阻攔系統(tǒng)建模

2.1 阻攔系統(tǒng)簡(jiǎn)介

阻攔系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜[9]，阻攔索從甲板上向下穿繞，經(jīng)過(guò)多個(gè)連接變向滑輪，首先經(jīng)過(guò)左右滑輪緩沖系統(tǒng)(左、右滑緩)，然后分別從左右兩側(cè)進(jìn)入主液壓缸緩沖系統(tǒng)(主緩沖系統(tǒng))的連接滑輪，分別在內(nèi)外滑輪上各自纏繞9圈后，連接至左右末端緩沖系統(tǒng)(左、右末緩)，真實(shí)阻攔過(guò)程中，力在鋼索中不可能是均勻分布，而是包含應(yīng)力波動(dòng)、彎折波動(dòng)、鋼索與滑輪的碰撞、摩擦等各種耦合作用，導(dǎo)致鋼索中的力變化規(guī)律非常復(fù)雜，為真實(shí)體現(xiàn)索的受力及波動(dòng)過(guò)程，本文引入有限元方法對(duì)鋼索進(jìn)行建模，同時(shí)對(duì)索的微元與滑輪、阻攔索接頭、末端緩沖等部分的連接受力關(guān)系進(jìn)行了建模。

2.2 阻攔索及接頭建模

圖3為本文采用的阻攔系統(tǒng)中的阻攔索和接頭的模型簡(jiǎn)化示意，阻攔索考慮為彈簧質(zhì)量球系統(tǒng)，接頭考慮為六自由度運(yùn)動(dòng)的均勻圓柱體，仿真過(guò)程中所有的質(zhì)量球運(yùn)動(dòng)狀態(tài)采用三自由度動(dòng)力學(xué)方程計(jì)算(忽略旋轉(zhuǎn)自由度)，2個(gè)接頭采用六自由度動(dòng)力學(xué)方程計(jì)算。圖中給出了阻攔索及接頭初狀態(tài)時(shí)與大地坐標(biāo)系的相對(duì)位置關(guān)系。

圖3 阻攔索和接頭仿真模型

2.2.1 阻攔索及接頭建模

系統(tǒng)將繩索假設(shè)為均勻分布的質(zhì)量球，以及連接球的彈簧，假設(shè)各球質(zhì)量集中于一點(diǎn)，忽略球的半徑及彈簧的質(zhì)量等參數(shù)。這樣每個(gè)球在收到左右兩端彈簧力及外力的綜合作用下，進(jìn)行三維空間的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)，將所有球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)組合起來(lái)，就代表了索的波動(dòng)及各段受力狀態(tài)。

如圖4，針對(duì)每個(gè)質(zhì)量球i，設(shè)質(zhì)量為Mbi，其左右兩端分別連接著2個(gè)彈簧，彈簧另一端連接著Mbi-1和Mbi+1，那么該質(zhì)量球同時(shí)受到左右彈簧的力FHl.i和FHr.i，及重力Gi的作用，則該球合外力為(式中各個(gè)力均為三維力矢量)：

(13)

質(zhì)量球在大地坐標(biāo)系的動(dòng)力學(xué)及運(yùn)動(dòng)學(xué)方程描述如下：

(14)

(15)

式中：[Vx.mbiVy.mbiVz.mbi]T和[xmbiymbizmbi]T分別為該質(zhì)量球在大地坐標(biāo)系中的位置和速度，質(zhì)量球只考慮其平動(dòng)，不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)，故不需列寫(xiě)轉(zhuǎn)動(dòng)方程。

圖4 質(zhì)量球單元受力示意圖

下面考慮彈簧力的求解。以左彈簧為例，設(shè)彈簧初始長(zhǎng)度為l0，拉伸(壓縮)后的當(dāng)前長(zhǎng)度為l，則彈簧彈力為：

(16)

式中：Kδ為剛索的彈性模量，拉伸后長(zhǎng)度l由下式計(jì)算：

(17)

彈簧除受到彈力外，還受到拉伸速度帶來(lái)的磨擦阻尼力，設(shè)連接彈簧兩端的質(zhì)量球運(yùn)動(dòng)速度分別為Vmb.i和Vmb.i-1，則彈簧的拉伸速度為

(18)

則該彈簧受到的摩擦阻尼力為

(19)

從而求得彈簧所受合力：

(20)

同理利用式(20)可求出右端彈簧受力FHr.i，分別代入式(13)，即可求得每個(gè)質(zhì)量球的合外力，再由式(14)、(15)質(zhì)量球動(dòng)力學(xué)方程計(jì)算每個(gè)質(zhì)量球的實(shí)時(shí)狀態(tài)，即可完成整個(gè)阻攔索的仿真計(jì)算。

2.2.2 接頭的六自由度動(dòng)力學(xué)模型

如圖3，接頭考慮為均勻圓柱體，與其固連的本體坐標(biāo)系為Oxmuymuzmu(標(biāo)記為Smu)，原點(diǎn)定義在圓柱體中心，xmu軸與圓柱體的軸線(xiàn)重合，ymu軸在水平平面內(nèi)并垂直于xmu軸，zmu軸垂直于Oxmuymu平面并指向下。與1.1節(jié)中機(jī)體定義相同，接頭的3個(gè)歐拉姿態(tài)角定義為：偏航角ψmu、俯仰角θmu、滾轉(zhuǎn)角φmu，從圖3可以看出初始狀態(tài)下接頭與世界坐標(biāo)系Sg相對(duì)位置關(guān)系，此時(shí)接頭的偏航角ψmu=90°，其余2個(gè)角度均為0°。同理可求取接頭坐標(biāo)系到世界坐標(biāo)系的變換矩陣：

(21)

接頭的平動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程與索的質(zhì)量球動(dòng)力學(xué)方程一致，設(shè)接頭受到的瞬時(shí)合外力為FT(下節(jié)中求取)，速度和位置矢量分別為[Vx.muVy.muVz.mu]T和[xmuymuzmu]T，那么只要將以上變量分別替換式(14)和式(15)中相應(yīng)項(xiàng)即可，此處不再列寫(xiě)。

接頭的旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)方程與尾鉤旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)方程一致，設(shè)其在本體系Smu中的角速度為[ωxmuωymuωzmu]T，Ixmu、Iymu、Izmu是接頭在Smu中的慣性矩，Izxmu為是接頭在Smu坐標(biāo)系中的慣性矩的慣性積，∑Mmu為合力矩向量在接頭本體系的表示。結(jié)合上文定義的接頭歐拉角，采用式(5)的計(jì)算方程，并替換相應(yīng)參量，即可得到接頭的旋轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)方程，此處不再列寫(xiě)。

2.2.3 接頭與索模型的聯(lián)立仿真

如圖5，接頭圓柱體兩端分別通過(guò)彈簧與相鄰的質(zhì)量球相連，只要計(jì)算出左右彈簧拉力，并結(jié)合接頭動(dòng)力學(xué)模型和左右連接球的動(dòng)力學(xué)模型，即可實(shí)現(xiàn)鋼索與接頭的聯(lián)動(dòng)仿真。

欲計(jì)算左右彈簧力，需計(jì)算其各自拉伸(壓縮)位移及兩端的拉伸(壓縮)速度，其中左右連接的質(zhì)量球的位置與速度已經(jīng)計(jì)算，故在此僅需計(jì)算世界坐標(biāo)系中接頭左右兩端的位置及速度。

設(shè)接頭等效圓柱體長(zhǎng)度為lmu，則接頭左右兩端點(diǎn)在其本體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為[-lmu/2 0 0]T和[lmu/2 0 0]T，從而可求得端點(diǎn)在世界坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為：

(22)

將式(22)代入式(21)后即可求得接頭端點(diǎn)的世界系坐標(biāo)，繼續(xù)計(jì)算接頭兩端的世界坐標(biāo)系速度：

(23)

式中：ωmu_g為接頭在世界坐標(biāo)系中角速度矢量，根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，計(jì)算連接接頭左右兩端彈簧的拉力。以接頭左端為例，設(shè)其連接的質(zhì)量球?yàn)镸bi，對(duì)于接頭連接的等效彈簧，其拉伸后長(zhǎng)度為：

(24)

當(dāng)前拉伸速度為：

(25)

當(dāng)前彈簧拉伸長(zhǎng)度為：

(26)

式中：l0為彈簧無(wú)伸長(zhǎng)狀態(tài)下的長(zhǎng)度。式(25)和(26)已計(jì)算出連接接頭處的等效彈簧的變形量及變化速度，參照式(16)和(19)的方法，即可計(jì)算彈簧的彈力FHl.N和速度摩擦力FHl.μ，從而求得彈簧合力。

圖5 阻攔索和接頭連接作用力計(jì)算

圖6 接頭與索的聯(lián)合動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果

彈簧合力一端作用于2.2.2節(jié)的接頭的六自由度動(dòng)力學(xué)模型，另一端作用于2.2.1節(jié)索的質(zhì)量球動(dòng)力學(xué)方程，便實(shí)現(xiàn)了索和接頭的聯(lián)合動(dòng)力學(xué)仿真，接頭右側(cè)彈簧受力計(jì)算方法與左側(cè)相同。對(duì)阻攔索及接頭仿真模型施加一個(gè)虛擬的牽引力，其動(dòng)態(tài)波動(dòng)過(guò)程仿真結(jié)果如圖6所示。

2.3 阻攔系統(tǒng)建模

2.3.1 阻攔索與滑輪作用模型

如圖7，滑輪采用一個(gè)等效圓盤(pán)模型來(lái)計(jì)算，對(duì)所有與圓盤(pán)位置發(fā)生干涉的質(zhì)量球，均受到圓盤(pán)的彈力、摩擦力和縱向約束力的作用，在此可令式(29)中δL_mbi的計(jì)算是否大于0作為干涉判定條件。阻攔系統(tǒng)中包含多個(gè)滑輪，但其擺放姿態(tài)可分為3種，分別平行于XY平面、YZ平面或XZ平面，無(wú)論是哪一種擺放姿態(tài)，均可通過(guò)在其擺放平面內(nèi)計(jì)算與索的作用力來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。下面以XY平面滑輪為例，推導(dǎo)其與鋼索質(zhì)量球的作用力，其他平面依此類(lèi)推。

圖7 阻攔索與滑輪作用模型

以質(zhì)量球Mbi為例，設(shè)其在世界坐標(biāo)系中的位置及速度矢量分別為[xmbiymbizmbi]T和[Vx.mbiVy.mbiVz.mbi]T，并設(shè)滑輪的中心坐標(biāo)為[xLyLzL]T，質(zhì)心在世界坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)速度為[VxLVyLVzL]T，其半徑為RL。

如圖8，計(jì)算質(zhì)量球位置與滑輪中心相對(duì)位置向量在世界坐標(biāo)系XY平面中的象限角θL_mbi為：

(27)

式中：atan2為廣義反正切函數(shù)，可根據(jù)橫縱坐標(biāo)的相對(duì)位置關(guān)系，求取其在360°范圍內(nèi)的象限角。

圖8 XY平面滑輪與索球作用力關(guān)系

為了方便受力計(jì)算，根據(jù)質(zhì)量球和索的位置關(guān)系，建立局部坐標(biāo)系SLm，則在該局部坐標(biāo)系內(nèi)，滑輪對(duì)質(zhì)量球的彈力恰沿著X軸方向，而摩擦力恰沿著Y軸方向。該坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系的XY平面的關(guān)系是旋轉(zhuǎn)了角度θLm，由此得到從大地坐標(biāo)系至該局部坐標(biāo)系的變換矩陣如下：

(28)

(29)

(30)

針對(duì)式(30)計(jì)算的相對(duì)速度ΔVL_mbi，利用坐標(biāo)變換陣將其變換至局部坐標(biāo)系表示：

(31)

代入變換陣后求得：

(32)

(33)

從而計(jì)算質(zhì)量球與滑輪間的彈力如下：

(34)

式中：kδ_Lm和kη_Lm分別為質(zhì)量球與滑輪的等效碰撞彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)。

摩擦力計(jì)算：摩擦力分為動(dòng)摩擦和靜摩擦2種情況，需根據(jù)質(zhì)量球與滑輪是否具有切向相對(duì)運(yùn)動(dòng)判斷，即當(dāng)|ΔVy.L_mbi.Lm|>0時(shí)采用動(dòng)摩擦計(jì)算，否則采用靜摩擦計(jì)算。

動(dòng)摩擦大小與摩擦系數(shù)及壓力有關(guān)，方向與索和滑輪相對(duì)滑移速度有關(guān)，從圖8可知，索輪滑移速度及摩擦力均沿著SLm坐標(biāo)系的Y軸方向，其符號(hào)相反，計(jì)算如下：

(35)

式中：μD_Lm為索與滑輪間的動(dòng)摩擦系數(shù)，該摩擦系數(shù)受滑移速度影響，計(jì)算如下[12]:

(36)

式中：μD_min為最小動(dòng)摩擦系數(shù)，μS_Lm為靜摩擦系數(shù)。

靜摩擦力的大小需根據(jù)該質(zhì)量球所受的其他合外力而定：設(shè)質(zhì)量球在不考慮滑輪對(duì)其作用力的情況下，受到左右相連彈簧的合力為FH.mi，首先利用坐標(biāo)變換陣Lg.Lm將其從世界坐標(biāo)系變換至局部坐標(biāo)系SLm：

(37)

則靜摩與FyH.mi_Lm符號(hào)相反，且當(dāng)FyH.mi_Lm小于極限靜摩擦力時(shí)，靜摩擦與其大小相同，否則靜摩擦大小即為極限靜摩擦力，計(jì)算公式如下：

(38)

最終根據(jù)上文介紹的動(dòng)、靜摩擦判斷條件，得出最終的摩擦力計(jì)算公式如下：

(39)

(40)

(41)

進(jìn)一步計(jì)算滑輪槽限制力如下：

(42)

式中：kδZ_Lm和kηZ_Lm分別為質(zhì)量球與滑輪槽的等效碰撞彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)。

質(zhì)量球受力合成：在前文引入的局部坐標(biāo)系SLm內(nèi)，滑輪對(duì)質(zhì)量球的彈力沿其X軸方向向、摩擦力沿Y軸方向向、輪槽限制力沿Z軸方向，由此得到SL_mbi坐標(biāo)系內(nèi)質(zhì)量球受到滑輪的合力FLm.L_mbi為：

(43)

在式(43)中分別代入式(34)、(35)和式(42)后，即為最終受力結(jié)果，最后利用前文給出的變換陣Lg.LmT，計(jì)算世界坐標(biāo)系合力Fg.L_mbi，以便融入阻攔索有限元計(jì)算模型中：

(44)

滑輪受力合成：根據(jù)作用力與反作用力原理，可直接計(jì)算每個(gè)質(zhì)量球?qū)喌姆醋饔昧?，將所有與滑輪發(fā)生干涉的質(zhì)量球受反作用力求和后，即可計(jì)算出阻攔索對(duì)滑輪的作用力Fg.mbi_L，將定從第m個(gè)球至第n個(gè)球與滑輪發(fā)生了位置干涉，那么有：

(45)

2.3.2 阻攔系統(tǒng)模型聯(lián)立

本節(jié)利用文獻(xiàn)[13]中阻攔系統(tǒng)中液壓系統(tǒng)模型，通過(guò)壓強(qiáng)計(jì)算方程描述阻攔系統(tǒng)主液壓缸、滑輪緩存器及末端緩沖器的液缸壓力，與阻攔索及滑輪系統(tǒng)一同構(gòu)成完整的阻攔系統(tǒng)仿真模型。

為進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)阻攔系統(tǒng)的聯(lián)動(dòng)仿真，需計(jì)算阻攔索與液壓缸滑輪組間的作用力，下面以主液壓缸為例，給出計(jì)算過(guò)程：主液壓缸一段連接定滑輪組，一段連接動(dòng)滑輪組，阻攔索在其兩端滑輪組上纏繞9圈。動(dòng)滑輪組同時(shí)受到9圈阻攔索的張力作用和主液壓缸的液壓壓力作用，合力FMEC計(jì)算如下:

(46)

式中：FY_g.mb_LMEC為所有與本滑輪位置干涉的質(zhì)量球?qū)喓狭g.mb_LMEC在Y軸的分量，F(xiàn)g.mb_LMEC計(jì)算方法參考式(45)，PMEC為主缸壓強(qiáng)[13]，SMEC為主缸橫截面積。從而建立連接主缸的動(dòng)滑輪組的動(dòng)力學(xué)方程：

(47)

式中：MMEC為主缸動(dòng)滑輪組系統(tǒng)質(zhì)量；yMEC為主缸位移。而滑緩及末端緩沖滑輪與阻攔索的作用力計(jì)算過(guò)程同理。

3 阻攔過(guò)程綜合仿真

為實(shí)現(xiàn)阻攔過(guò)程綜合仿真，需建立尾鉤與阻攔索的相互作用模型。尾鉤鉤頭形狀復(fù)雜，阻攔過(guò)程會(huì)與阻攔索發(fā)生復(fù)雜的碰撞和摩擦作用，為了簡(jiǎn)化仿真，借用前文滑輪與阻攔索作用模型，在尾鉤末端引入一個(gè)虛擬滑輪如圖9，利用虛擬滑輪與阻攔索間的作用力模型來(lái)模擬鉤索過(guò)程鉤與索的運(yùn)動(dòng)約束，虛擬滑輪位于尾鉤末端，滑輪外沿與尾夠末端頂點(diǎn)相切，且與尾鉤運(yùn)動(dòng)固連。

與2.3.1節(jié)介紹的滑輪與索作用模型不同的是，前文中滑輪是水平或豎直擺放，而此處引入的虛擬滑輪需與尾鉤一起運(yùn)動(dòng)，其六自由度位置及姿態(tài)均是實(shí)時(shí)變化的，此時(shí)，只需要將尾鉤附近的彈簧質(zhì)量球均變換至虛擬滑輪坐標(biāo)系，并按照前文的方法計(jì)算其與滑輪的作用力即可，最終將虛擬滑輪受力代入尾鉤動(dòng)力學(xué)模型，并計(jì)算其對(duì)尾鉤產(chǎn)生的附加力矩，最終便實(shí)現(xiàn)了掛索過(guò)程尾鉤與阻攔索間的完整受力計(jì)算，從而實(shí)現(xiàn)了阻攔過(guò)程的綜合聯(lián)動(dòng)仿真。

圖9 飛機(jī)尾鉤與阻攔索聯(lián)合仿真

4 仿真結(jié)果

針對(duì)上文推導(dǎo)的模型，在VC++6.0平臺(tái)上上實(shí)現(xiàn)了完整的阻攔過(guò)程仿真。針對(duì)飛機(jī)偏心阻攔過(guò)程仿真，設(shè)定飛機(jī)掛索速度220 km/h、飛機(jī)質(zhì)量24.5 t，仰角8°，并以3.5°下滑角，掛索位置右偏4 m。圖10給出了掛索初期的飛機(jī)和尾鉤的運(yùn)動(dòng)軌跡，圖11為阻攔過(guò)程左右滑輪緩沖位移曲線(xiàn)，圖12為阻攔合力曲線(xiàn)，圖13為主液壓缸位移曲線(xiàn)，圖14為左右末端緩沖位移曲線(xiàn)，圖15為飛機(jī)橫向位置變化曲線(xiàn)，圖16、圖17為尾鉤的橫向和縱向擺動(dòng)角度曲線(xiàn)。

仿真結(jié)果看出，偏心阻攔導(dǎo)致左右側(cè)受力不均，左右滑緩運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生差別，左右末緩運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)較大差別，飛機(jī)橫向位置偏心繼續(xù)向外側(cè)增加，出現(xiàn)輕微的姿態(tài)橫滾波動(dòng)、尾鉤出現(xiàn)復(fù)雜橫向波動(dòng)。

圖10 偏心阻攔時(shí)掛索初期機(jī)體及尾鉤運(yùn)動(dòng)軌跡

圖11 偏心阻攔時(shí)滑輪緩沖仿真曲線(xiàn)

圖12 偏心阻攔時(shí)阻攔合力曲線(xiàn)

圖13 偏心阻攔時(shí)主液壓缸位移曲線(xiàn)

圖14 偏心阻攔時(shí)左右末端緩沖系統(tǒng)位移

圖15 偏心阻攔時(shí)飛機(jī)橫向運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)

圖16 偏心阻攔時(shí)尾鉤橫向擺動(dòng)角度曲線(xiàn)

圖17 偏心阻攔時(shí)尾鉤縱向擺動(dòng)角度曲線(xiàn)

5 結(jié)束語(yǔ)

本文建立的阻攔過(guò)程動(dòng)力學(xué)仿真系統(tǒng)，能夠體現(xiàn)飛機(jī)阻攔掛索的任意初始質(zhì)量、速度、偏心、偏航、姿態(tài)、角速度等變化，并能體現(xiàn)掛索過(guò)程阻攔索的波動(dòng)、阻攔鉤的縱向和橫向擺動(dòng)、鉤索滑移等規(guī)律，還能體現(xiàn)阻攔過(guò)程中左右索的受力不均、阻攔索上各部分應(yīng)力變化、阻攔索的末端松弛、以及主液壓缸、滑輪緩沖和末端緩沖系統(tǒng)的綜合運(yùn)動(dòng)過(guò)程。本系統(tǒng)真正意義上實(shí)現(xiàn)了阻攔過(guò)程完整的動(dòng)力學(xué)仿真，對(duì)研究阻攔過(guò)程各項(xiàng)規(guī)律具有重要意義，整個(gè)仿真系統(tǒng)在VC++平臺(tái)上調(diào)試通過(guò)，并給出了阻攔過(guò)程多個(gè)環(huán)節(jié)的仿真曲線(xiàn)。在帶有搖擺姿態(tài)的甲板上阻攔時(shí)，可將飛機(jī)位置、姿態(tài)及速度信息均變換至甲板坐標(biāo)系，然后再應(yīng)用本文方法仿真即可。

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