彭建喜

(佛山職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東佛山 528000)

圖像分割是把圖像分解成具有特殊含義的不相交的空間區(qū)域，然后分離出有價值目標(biāo)的技術(shù)和過程，是成功進(jìn)行圖像分析、模式識別與理解和圖像編碼的關(guān)鍵技術(shù)之一，圖像分割的質(zhì)量直接到影響后面進(jìn)行的分析、識別和解釋的質(zhì)量［1-2］。近年來，隨著人們對圖像分割進(jìn)行深入的研究，提出了各種圖像分割方法，包括直方圖閾值的方法、最大熵值方法、區(qū)域分割增長的方法和微粒群優(yōu)化的分割方法等，其中Bezdek提出的模糊聚類算法FCM，是一種基于目標(biāo)函數(shù)的非線性迭代最優(yōu)化方法，通過引入像素聚類樣本到聚類中心的隸屬度來表示像素樣本的隸屬度，該類隸屬度的大小能夠客觀反映出算法中樣本點(diǎn)隸屬于某一類的程度［3］。但FCM算法對初值敏感，很大程度上依賴初始聚類中心的選擇，并且容易收斂于局部極小值，用于圖像分割時，隸屬度的計(jì)算只考慮了圖像中當(dāng)前的像素探值，而未考慮鄰域像素點(diǎn)的空間信息，故對分割含有噪聲圖像不理想。為了有效解決FCM圖像分割方法所存在的問題，Yang和Chuang等人從不同角度考慮了像素點(diǎn)的空間信息，Gomez提出了一種自適應(yīng)的空間聚類算法，該算法提出在模糊C均值聚類算法的目標(biāo)函數(shù)中加入像素點(diǎn)空間信息，提高算法的魯棒性，但對于對低灰度信息的圖像分割，該算法就會失效。劉剛等采用輪廓波變換在變換域?qū)D像做降噪預(yù)處理，但容易在處理結(jié)果中產(chǎn)生偽吉布斯效應(yīng)，Chuang為解決低灰度信息問題，通過在目標(biāo)函數(shù)中加入徑向基函數(shù)來區(qū)分像素點(diǎn)之間的相似度［4-10］。針對以前方法的進(jìn)行研究與分析，本文對FCM分割算法的改進(jìn)主要在兩個方面:首先，建立一種新的稱為近似模糊C均值聚類算法，通過數(shù)據(jù)約簡大幅度降低數(shù)據(jù)個數(shù)，節(jié)省計(jì)算時間;然后在FCM算法中利用核函數(shù)將約簡后的數(shù)據(jù)映射到非線性高維空間中進(jìn)行聚類劃分，最后使用像素點(diǎn)的空間鄰域信息修正當(dāng)前像素空間的隸屬度值，得到更加準(zhǔn)確的聚類結(jié)果。

1 經(jīng)典的模糊C均值聚類分割算法

由Bezdek提出的模糊C均值聚類算法，其實(shí)質(zhì)是根據(jù)圖像分解后像素樣本與每個聚類中心的加權(quán)相似性測度，通過對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行非線性迭代優(yōu)化方法，然后確定最優(yōu)聚類，它給出每個樣本隸屬于某個聚類的隸屬度，即使對于很難明顯分類的變量，F(xiàn)CM也能得到較為滿意的效果。FCM通過將圖像I={f(x，y)，0≤x＜m，0≤y＜n}分成C類來實(shí)現(xiàn)圖像的分割，其中f(x，y)為特征數(shù)據(jù)，Qk(x，y)是f(x，y)對于第k類的隸屬度，為了計(jì)算各個樣本點(diǎn)相對于聚類中心的隸屬度，聚類目標(biāo)函數(shù)可定義為

式中:Q=［qik(x，u)］為模糊分類矩陣;P=［p1，p2，…，pc］為聚類中心集合;m∈［1，∞)是控制聚類結(jié)果的權(quán)指數(shù)，一般賦值為2;Dx(x，y)為f(x，y)到聚類中心pk的距離，表示為

圖像FCM分割就是通過多次迭代確定隸屬度函數(shù)和聚類中心，使目標(biāo)函數(shù)獲得最小值。利用拉格朗日乘數(shù)法來求解使得J(Q，P)達(dá)到最小值的滿足下列等式

Bezdek利用梯度下降方法，通過對模糊分類矩陣Q與聚類中心矩陣V不斷進(jìn)行迭代算法，以修正聚類中心值以及各樣本的隸屬度，最終尋找出樣本數(shù)據(jù)所含有的分類特性，使各樣本劃分到其隸屬度最大的一類中。該算法對初始聚類中心或隸屬度矩陣有較為敏感，參數(shù)初值選取決定著聚類結(jié)果的優(yōu)劣和穩(wěn)定性;當(dāng)初始聚類中心偏離全局最佳聚類中心比較大時，F(xiàn)CM很有可能陷入局部最小值。

2 近似模糊C均值聚類的中心初始化

2.1 數(shù)據(jù)約簡

3)如果D(mj，nr)＞γ，l=l+1，nl=mj;否則，令nr=nr∪mj，j=j+1 。

4)如果j＜i，則轉(zhuǎn)到步驟2);否則，將nk更新為其自身數(shù)據(jù)集合的平均值。

2.2 加入特征空間中的模糊核聚類算法

在線性空間中難以劃分的問題利用核映射處理來處理，將數(shù)據(jù)從線性空間映射到高維的非線性空間解決。

先通過一個非線性映射Φ:X→F(X∈Rp→Φ(x)∈Rq，q＞p)將輸入空間X變換至高維特征空間F;然后在特征空間F中進(jìn)行聚類。

對在FCM目標(biāo)函數(shù)中使用核映射，則得到目標(biāo)函數(shù)息，得到與模糊C均值接近的聚類中心。

設(shè)原始數(shù)據(jù)集合M中含有i個不同的樣本M={m1，m2，…，mn}?Rs。分析聚類問題就是將 {m1，m2，…，mi}區(qū)分為M中的c(2≤c＜i)個子集，相似的樣本應(yīng)要求盡量在同一子集(聚類)內(nèi)，c為聚類數(shù)目。約簡后數(shù)據(jù)集合為N={n1，n2，…，ni}?Rs。D(m，S)表示數(shù)據(jù)m與數(shù)據(jù)集合S間的距離。則數(shù)據(jù)約簡算法的步驟如下:

1)初始化閾值，其中 γ，l=1，nl=m1，j=2 。

2)對聚類樣本數(shù)據(jù)mj，計(jì)算整數(shù)值r，使其滿足

其中

由核代入技巧知，上述內(nèi)積定義了F中的一個核函數(shù)K(x，y)，滿足K(x，y)=(fk(x，y)－pk)T(fk(x，y)－pk)。Dx(x，y)為特征空間中的歐氏距離，由于核的代入，在原輸入空間中誘導(dǎo)出了一類核依賴的新的距離度量，由此將FCM在歐氏距離下的執(zhí)行推廣到了同一空間中不同距離度量的新的聚類。

本文將式(6)中高斯核函數(shù)代入式(5)中，得到目標(biāo)函數(shù)為

使用拉格朗日數(shù)乘法，首先對qk(x，y)m求偏導(dǎo)數(shù)，得到隸屬度迭代式

求出λ代入式(9)

利用高斯核函數(shù)，代入高斯核函數(shù)，則目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>

可以解得聚類中心迭代表達(dá)式

2.3 加入空間約束信息

對圖像進(jìn)行非線性高維聚類劃分后，通過表征空間鄰域像素對初始聚類中心作用的先驗(yàn)概率來修正各像素樣本的聚類劃分，形成最終修正的分割效果。利用Chuang Keh-Shih的研究成果，對已完成高維非線性空間核聚類劃分后并進(jìn)行數(shù)據(jù)約簡的圖像進(jìn)行空間鄰域隸屬度約束處理。劃分后的鄰域信息為

式中:NB(fj(x，y))表示像素fj(x，y)的領(lǐng)域大小;qim(x，y)表示像素fm(x，y)屬于i類的隸屬度值。Hik的值是除了當(dāng)前空間像素領(lǐng)域區(qū)域內(nèi)其他像素屬于i類的隸屬度和。經(jīng)過鄰域隸屬度約束修正后的隸屬度的迭代表達(dá)式為

式中:p，q是正則化參數(shù)，用于控制最終隸屬度值的控制參數(shù)。式(14)表示鄰域空間中某一類的像素和其空間鄰域中像素同屬于一個類時Hik的值就越大，對原始隸屬度的修正就越大，反之則像素隸屬度值就減小。最終本文的分割算法過程步驟如下:

1)選擇聚類有效性指標(biāo)計(jì)算方法，設(shè)置模糊系數(shù)m，設(shè)定聚類個數(shù)的最小值cmin、最大值cmax。

2)采用本文2.1節(jié)的方法得到約簡后的數(shù)據(jù)集合Nc={n1，n2，…nic}?Rs。

3)采用核估計(jì)方法實(shí)現(xiàn)聚類中心的估計(jì)，確定初始聚類中心。

4)再根據(jù)式(12)與式(10)分別計(jì)算或更新初始聚類中心和劃分矩陣。

5)利用式(14)修正隸屬度原型模式。

6)判斷迭代次數(shù)達(dá)到事先設(shè)定的最大次數(shù)，達(dá)到迭代次數(shù)則停止，否則繼續(xù)迭代。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文所提算法的有效性，對正常大腦磁共振圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。初始參數(shù)設(shè)置:矩陣指數(shù)m=2，單步最小變化為0.000 5，最大迭代次數(shù)為100，聚類類別數(shù)為8，核參數(shù)均為150。參與比較的算法為原始的模糊C均值聚類算法、PSOFCM算法、KFCM算法、DWKFCM和本文算法，所有算法收斂精度相同且為ε，其他參數(shù)按原有文獻(xiàn)設(shè)定，運(yùn)行20次取平均值。

為了驗(yàn)證幾種分割算法的量化比較，采用合成圖像的分割精度和運(yùn)行時間均值作為分割評價指標(biāo)，定義合成圖像的分割精度為

圖1為FCM算法、PSO_FCM算法、KFCM算法、DWKFCM算法及本文算法分割后圖像與本文算法的比較結(jié)果。

圖1 大腦磁共振圖像分割結(jié)果對比圖

圖1a為是一幅181×181像素的大腦磁共振圖像，圖1b為原始FCM算法，圖像分割效果有些模糊，一些細(xì)節(jié)還沒有分割出來，圖1c分割效果對比FCM算法稍好，但在中間部位的信息有一定的丟失?？梢钥闯觯舅惴ǚ指钚Ч诲e，不但誤分割很少，且分割的腦灰質(zhì)和腦白質(zhì)邊緣也很光滑，在傳統(tǒng)模糊核聚類算法與動態(tài)加權(quán)模糊核聚類算法的分割結(jié)果里，都有較多的腦白質(zhì)被誤分為腦灰質(zhì)和腦脊液，同時分割的目標(biāo)邊緣也毛糙;減小了過度分割的現(xiàn)象，又保留了圖像的細(xì)節(jié)部分，圖像中的主要目標(biāo)較為準(zhǔn)確、清晰地分割出來。

圖2是FCM、KFCM、DWKFCM和本文算法四種算法對圖1a進(jìn)行分割時的算法收斂次數(shù)對比圖。從圖2可以看出，本文算法收斂次數(shù)很少，在很短時間內(nèi)就能找到目標(biāo)函數(shù)的最小值，具有明顯的速度優(yōu)勢。

圖2 幾種算法的目標(biāo)函數(shù)收斂對比圖

表1為FCM、PSOFCM、KFCM、DWKFCM和本文算法的性能比較結(jié)果。

表1 幾種算法性能比較表

從表1可以看出，在同一迭代次數(shù)處，本文算法從圖像分割精度和運(yùn)行時間上都大大高于其他幾種算法，實(shí)驗(yàn)表明本算法具有較好的適應(yīng)性和魯棒性。

4 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)模糊核聚類算法存在的問題，本文將數(shù)據(jù)約簡技術(shù)與模糊核聚類算法相結(jié)合提出一種新的算法，先通過數(shù)據(jù)約簡大幅度降低數(shù)據(jù)個數(shù)，節(jié)省計(jì)算時間;然后在FCM算法中利用核函數(shù)將約簡后的數(shù)據(jù)映射到非線性高維空間中進(jìn)行聚類劃分;最后使用像素點(diǎn)的空間鄰域信息修正當(dāng)前像素空間的隸屬度值，得到更加準(zhǔn)確的聚類結(jié)果。改進(jìn)的受空間約束的模糊核聚類算法簡單且運(yùn)算速度更快，再結(jié)合空間鄰域信息修正當(dāng)前像素的隸屬度值，得到更加準(zhǔn)確的聚類結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法具有較好的分割圖像質(zhì)量，相比其他幾種圖像算法有更快的分割速度及更準(zhǔn)確的分割精度，表現(xiàn)出了較強(qiáng)的魯棒性和較好的工程價值。

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