康婷 許金余 白應(yīng)生 孫惠香 李慶

(空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，西安 710038)

恒載效應(yīng)對(duì)拱結(jié)構(gòu)自振頻率的影響分析*

康婷?許金余 白應(yīng)生 孫惠香 李慶

(空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，西安 710038)

提出用樣條有限點(diǎn)法分析拱的自振頻率，采用3次B樣條函數(shù)的線性組合作為位移振型函數(shù)，以曲桿變形理論為基礎(chǔ)，根據(jù)Hamilton原理建立了考慮恒載效應(yīng)影響時(shí)拱的振動(dòng)頻率方程．計(jì)算分析了恒載效應(yīng)對(duì)拱結(jié)構(gòu)自振頻率的影響．結(jié)果表明恒載效應(yīng)會(huì)使拱結(jié)構(gòu)自振頻率減小;影響大小與結(jié)構(gòu)自身剛度有關(guān);拱結(jié)構(gòu)截面剛度一定時(shí)，拱矢跨比、徑厚比越大，恒載效應(yīng)對(duì)自振頻率的影響越大．

拱， 恒載效應(yīng)， 自振頻率

引言

拱結(jié)構(gòu)在振動(dòng)時(shí)，同時(shí)承受著恒載的作用．因此拱結(jié)構(gòu)在振動(dòng)時(shí)，將從由恒載產(chǎn)生的初始變形狀態(tài)下開始變形，使結(jié)構(gòu)的后續(xù)變形減小，這就是恒載效應(yīng)．恒載效應(yīng)必將對(duì)拱的振動(dòng)特性產(chǎn)生影響．

周世軍［1－4］等研究了恒載效應(yīng)對(duì)直梁和曲梁的自振頻率的影響，發(fā)現(xiàn)恒載效應(yīng)引起的初始彎曲應(yīng)力會(huì)使梁自振頻率增大．這一結(jié)論是基于純彎曲簡(jiǎn)支梁得出的．眾所周知，拱在豎向恒載作用下截面以受軸壓力為主，彎矩和剪力均較小，這和梁的受力特點(diǎn)是完全不同的，因此這一結(jié)果并不適用于一般的拱結(jié)構(gòu)．關(guān)于拱結(jié)構(gòu)自振頻率的研究很多［5－6］，但考慮恒載影響的很少．李保［7］等利用哈密頓原理推導(dǎo)出圓弧拱振動(dòng)控制微分方程，用Galerkin方法研究了自重對(duì)拱自振頻率的影響，但并沒有分析這種影響與拱剛度、矢跨比、徑厚比等因素的關(guān)系，也未考慮上覆荷載的影響．

曾有學(xué)者用樣條小波有限元法分析結(jié)構(gòu)的自振頻率［8］，本文提出用樣條有限點(diǎn)法，根據(jù)哈密爾頓原理建立拱振動(dòng)頻率方程，其中考慮了恒載效應(yīng)的影響，推導(dǎo)出了樣條有限點(diǎn)法的計(jì)算格式．編程計(jì)算分析了恒載效應(yīng)對(duì)拱結(jié)構(gòu)自振頻率的影響．結(jié)果表明恒載效應(yīng)會(huì)使拱結(jié)構(gòu)自振頻率減小，但對(duì)于一般的拱結(jié)構(gòu)，自重對(duì)其自振頻率的影響較小;影響大小與結(jié)構(gòu)自身剛度有關(guān);拱結(jié)構(gòu)截面剛度一定時(shí)，拱矢跨比f(wàn)/l、徑厚比r/d越大，恒載效應(yīng)對(duì)自振頻率的影響越大．

1 基本方程

1．1 基本假定

(1)基于平面變形假設(shè)，變形前垂直于中線的直線，變形后仍垂直于中線;(2)忽略剪切變形的影響;(3)材料是均勻、連續(xù)、各向同性的;(4)振動(dòng)是彈性的．

1．2 曲桿變形幾何關(guān)系

分析時(shí)以拱的恒載變形狀態(tài)作為參考狀態(tài)，見圖1．

圖1 拱結(jié)構(gòu)樣條離散化Fig．1 Spline discretization of arch

式中，u*是拱結(jié)構(gòu)某一點(diǎn)的切向位移，以繞曲率中心順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正和u分別表示恒載和動(dòng)力活載引起的切向位移;v*是拱結(jié)構(gòu)某一點(diǎn)的徑向位移，以指向極點(diǎn)為正和v分別表示恒載和動(dòng)力活載引起的徑向位移．

根據(jù)曲桿變形理論，應(yīng)變－位移具有下述關(guān)系:

分別為線性應(yīng)變部分和為非線性應(yīng)變部分;其中，為拱軸向應(yīng)變，以伸長(zhǎng)為正，χ*為曲率應(yīng)變．

1．3 拱振動(dòng)時(shí)的泛函

根據(jù)Hamilton原理，精確解使下列泛函取駐值．

式中，U*為拱結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能;V為外荷載作用下產(chǎn)生的勢(shì)能;T為體系的動(dòng)能．

在振動(dòng)時(shí)，拱結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能可以寫為:

式中，和U分別為恒載和動(dòng)力活載q作用下由于變形u、v所產(chǎn)生的應(yīng)變能，分別定義為

式中，ε為動(dòng)荷載產(chǎn)生的應(yīng)變，ε為恒載作用下產(chǎn)生的應(yīng)變．在計(jì)算U時(shí)使用方程(2)給出的線性應(yīng)變－位移關(guān)系;而在計(jì)算時(shí)，使用方程(2)給出的線性應(yīng)變－位移關(guān)系以引入恒載效應(yīng)．D=diag(EA，EI)，E為彈性模量，A為截面面積．

作用在結(jié)構(gòu)上的恒載產(chǎn)生的勢(shì)能為:

式中為恒載的切向分量為恒載的法向分量．

忽略剪力，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，動(dòng)能可以寫為:

1．4 位移振型函數(shù)

拱自由振動(dòng)時(shí)切向位移和徑向位移可分別表示為:

式中u(s)、v(s)分別為切向、徑向位移振型函數(shù)，用三次B樣條函數(shù)擬合(具體做法參見文獻(xiàn)［8］)．

其中φi(s)為三次B樣條函數(shù)構(gòu)成的樣條基函數(shù)．u0、v0、v'0，uN、vN、v'分別為拱左端(s0)和右端(sN)處的切向位移和徑向位移及轉(zhuǎn)角，由位移邊界條件確定．

樣條基函數(shù)的構(gòu)造類似于有限元法中形函數(shù)的構(gòu)造，根據(jù)拱結(jié)構(gòu)位移邊界條件:

得滿足邊界條件的樣條基函數(shù)如下式所示(具體做法參見相關(guān)文獻(xiàn))．

其中φ3(s)為三次樣條函數(shù)，這組基函數(shù)有下列特點(diǎn):

1．5 頻率方程

將位移振型函數(shù)式(9)代入曲桿位移與應(yīng)變的幾何關(guān)系式(2)，得如下式:

K0為一般的線性剛度矩陣;Kq和K1為由于恒載的影響而產(chǎn)生的剛度矩陣．

作用在結(jié)構(gòu)上的恒載產(chǎn)生的勢(shì)能為:

假定積分時(shí)間取為一個(gè)周期，根據(jù)變分原理可得下列方程:

式中:h為第i單元的弧長(zhǎng)，s為第i曲桿單元內(nèi)某點(diǎn)距端點(diǎn)i的弧長(zhǎng)是由外荷載引起的，由樣條有限點(diǎn)法求得．

2 頻率計(jì)算分析

當(dāng)曲率k→0時(shí)，式(14)即轉(zhuǎn)化為梁在恒載影響下的振動(dòng)頻率方程．為了驗(yàn)證本文方法的正確性、通用性和使用精度，對(duì)文獻(xiàn)［2］中的簡(jiǎn)支梁進(jìn)行了計(jì)算．材料為16Mn鋼，梁跨度L=10m，矩形截面 A=b×h=0．3m ×0．4m，EI=3．36 ×108N·m2，外荷載=150kN/m．ω1為考慮恒載效應(yīng)的最小頻率，ω01為不考慮恒載效應(yīng)的最小頻率．ω1/ω01的計(jì)算結(jié)果為 1．1054，文獻(xiàn)［2］的結(jié)果為 1．0918，文獻(xiàn)［1］的結(jié)果為1．1081．由此說(shuō)明本文方法具有足夠的精度，且具有通用性．考慮橫載效應(yīng)會(huì)使梁自振頻率增大．

一般工程中，拱結(jié)構(gòu)上除了自重還有外荷載作用．設(shè)拱為矩形截面A=b×h=1m×0．5m，均布質(zhì)量=1250kg/m，自重=12．5kN/m，其他參數(shù)與上述拱相同．外荷載為q=a q1．恒載效應(yīng)對(duì)自振頻率的影響隨失跨比的變化關(guān)系如圖3所示．圖4為a=6，即外荷載為自重荷載的6倍，不同徑厚比(自重各不相同)時(shí)的計(jì)算結(jié)果．

圖2 不同徑厚比時(shí)恒載效應(yīng)對(duì)拱最小頻率的影響Fig．2 Effects of dead loads on minimum frequency of arch

圖3 不同外荷載時(shí)恒載效應(yīng)對(duì)最小頻率的影響(r/d=30)Fig．3 Effects of dead loads on minimum frequency of arch

圖4 恒載效應(yīng)對(duì)最小頻率的影響(a=6)Fig．4 Effects of dead loads on minimum frequency of arch

從圖2中可以看出，考慮自重使拱的自振頻率減?。疁p小的幅度隨著矢跨比、徑厚比的增大而增大．但總的來(lái)說(shuō)，若沒有上覆荷載，拱自重對(duì)最小頻率的影響較?。魪胶癖?r/d＜70，矢跨比 f/l＜0．5，不計(jì)自重的影響引起的誤差不超過5%．

從圖3可以看出，外荷載越大，頻率減小得越多．當(dāng)然外荷載不能無(wú)限制增大，當(dāng)外荷載增大到使結(jié)構(gòu)剛度矩陣出現(xiàn)負(fù)值時(shí)，這實(shí)為拱結(jié)構(gòu)靜力穩(wěn)定的動(dòng)力判據(jù)，這時(shí)的外荷載實(shí)為拱結(jié)構(gòu)靜力穩(wěn)定極限承載力．a(chǎn)≤4時(shí)，恒載效應(yīng)引起的頻率誤差不超過5%．若這時(shí)的外荷載叫臨界外荷載，則徑厚比、矢跨比越大，臨界外荷載越?。?/p>

從圖4中可以看出，即使外荷載很大(a=6)，當(dāng)失跨比f(wàn)/l＜0．1時(shí)，恒載效應(yīng)對(duì)拱結(jié)構(gòu)的最小頻率影響很?。聦?shí)上恒載效應(yīng)對(duì)拱自振頻率的影響大小主要取決于軸向力對(duì)自振頻率的影響．這時(shí)拱的曲率很小，拱的振動(dòng)主要以橫向振動(dòng)(彎曲)為主，拱縱向振動(dòng)(拉壓)的影響很小，類似于梁的橫向振動(dòng)，因此軸向壓力對(duì)最小自振頻率的影響很小．當(dāng)f/l→0即k→0時(shí)，方程(13)化為兩個(gè)完全獨(dú)立的方程，分別代表梁的橫向振動(dòng)和縱向振動(dòng)，從剛度矩陣Kq」22的計(jì)算即可發(fā)現(xiàn)，恒載效應(yīng)(橫向)會(huì)使梁自振頻率增大，與文獻(xiàn)［2］的結(jié)論一致．

3 結(jié)論

本文用樣條有限點(diǎn)法分析拱的動(dòng)力問題，采用3次B樣條函數(shù)的線性組合作為位移振型函數(shù)，以曲桿變形理論為基礎(chǔ)，根據(jù)哈密爾頓原理建立了考慮恒載效應(yīng)影響時(shí)拱的振動(dòng)頻率方程．編程計(jì)算分析了恒載效應(yīng)對(duì)拱結(jié)構(gòu)自振頻率的影響，本文方法對(duì)梁具有通用性．結(jié)果表明恒載效應(yīng)會(huì)使拱結(jié)構(gòu)自振頻率減小;拱上恒載越大，頻率減小得越多;但對(duì)于一般的拱結(jié)構(gòu)，自重對(duì)其自振頻率的影響較小;影響大小與結(jié)構(gòu)自身剛度有關(guān);當(dāng)外荷載增大到使拱結(jié)構(gòu)剛度方程出現(xiàn)負(fù)值時(shí)，這實(shí)為拱結(jié)構(gòu)靜力穩(wěn)定的動(dòng)力判據(jù);拱結(jié)構(gòu)截面剛度一定時(shí)，拱矢跨比f(wàn)/l、徑厚比r/d越大，恒載效應(yīng)對(duì)自振頻率的影響越大，這種影響總是減小了拱的自振頻率．

1 Takabatake H．Effects of dead loads on natural frequencies of beams．Journal of Structural Engineering ASCE，1991，117(4):1102～1120

2 周世軍，朱唏．恒載對(duì)梁自振頻率影響的分析．鐵道學(xué)報(bào)，1995，17(4):98～103(Zhou S J，Zhu X ．Analysis of effect of dead loads on natural frequencies of beams．Journal of the China Railway Society，1995，17(4):98 ～103(in Chinese))

3 Zhou S J，Zhu X．Analysis of effect of dead loads on natural frequencies of beams using finite element techniques．Journal of Structural Engineering ASCE，1996，122(5):512～516

4 張家瑋，周世軍．恒載效應(yīng)對(duì)拱形梁自振頻率的影響分析．振動(dòng)與沖擊，2009，28(8):163～167(Zhang J W，Zhou S J．Analysis of effect of dead loads on natural frequencies of beams．Journal of Vibration and Shock，2009，28(8):163～167(in Chinese))

5 薛祖衛(wèi)．拋物線拱的反對(duì)稱和對(duì)稱的固有振動(dòng)．土木工程學(xué)報(bào)，1963，9(5):142～144(Xue Z W．Parabolic arch of the antsymmetric and symmetric vibration inherent．Civil Engineering Technology，1963，9(5):142 ～144(in Chinese))

6 錢七虎等．拱型結(jié)構(gòu)的自振頻率計(jì)算及軸向變形對(duì)自振頻率的影響．錢七虎院士論文選集，1999，153～160(Qian Q H．Arch natural frequency calculation and affection of the axial deformation on the natural frequency．Qian Qihu Academician TECHNOLOGY，1999，153 ～160(in Chinese))

7 李寶，劉洪兵，張春燕．重力影響條件下拱的振動(dòng)分析．低溫建筑技術(shù)，2005，103(1):52～54(Li B，Liu H B，Zhang C Y．Vibration analysis of arch under the influence of gravity load ．Low Temperature Architecture Technology，2005，103(1):52 ～54(in Chinese))

8 陳新鋒，徐建新，卿光輝．層合板固有頻率分析的B樣條小波元法．動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2009，7(1):50～54(Chen X F，Xu J X，Qing G H．Bspline wavelet finite element method for analyzing natural frwquencies of laminated plates．Journal of Dynamics and Control，2009，7(1):50 ～54(in Chinese))

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(51308540，51208506)

? Corresponding author E－mail:bysapple@126．com

SPLINE FINITE POINT METHOD FOR ANALYZING THE EFFECT OF DEAD LOADS ON NATURAL FREQUENCIES OF ARCH*

Kang Ting?Xu Jinyu Bai Yingsheng Sun Huixiang Li Qing
(The Aeronautics and Astronautics Engineering Institute，Air Force Engineering University，Xi'an710038，China)

A spline finite point method was presented to study the natural frequency of arch．The displacement mode shape function of the arch free vibration was simulated with a linear combination of cubic B－spline．The free vibration frequency equation of arch structures was derived according to Hamilton principle，in which the effect of the dead load was considered．Meanwhile，the effect of the dead load on the natural frequency of arch structures was analyzed．The results show that the natural frequency of arch is reduced．The effect of influence depends on the stiffness of the arch itself．When the arch stiffness is certain，the bigger the rise span ration and the radius to thickness ration，the higher the effect of the dead load on the natural frequency of arch structures．

arch， effect of dead loads， natural frequency

5 December 2012，

17 December 2012．

10．6052/1672－6553－2013－097

2012－12－05 收到第 1 稿，2012－12－17 收到修改稿．

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51308540，51208506)

E－mail:bysapple@126．com