郭抗抗 曹樹謙?

(1．天津大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300072)(2．天津市非線性動力學(xué)與混沌控制重點實驗室，天津 300072)

壓電發(fā)電懸臂梁的非線性動力學(xué)建模及響應(yīng)分析*

郭抗抗1，2曹樹謙1，2?

(1．天津大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300072)(2．天津市非線性動力學(xué)與混沌控制重點實驗室，天津 300072)

以單晶懸臂梁壓電發(fā)電裝置為研究對象，在考慮壓電材料非線性的情況下，利用廣義Hamilton原理、Rayleigh－Ritz法、Euler－Bernoulli梁理論及壓電元件恒定電場假設(shè)建立了懸臂梁壓電發(fā)電裝置的分布式機電耦合模型，通過數(shù)值計算分析諧振頻率附近解的特性與系統(tǒng)參數(shù)及初始條件的關(guān)系，揭示了壓電材料非線性、外激勵參數(shù)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響規(guī)律，并通過實驗驗證了解析解的正確性．結(jié)果表明，壓電材料的非線性特性會導(dǎo)致近似解的共振峰向左偏移，呈現(xiàn)軟特性的非線性特征;當(dāng)激勵頻率變化時，系統(tǒng)響應(yīng)存在多解、跳躍等現(xiàn)象，主共振解的真正實現(xiàn)與初始條件的選取有關(guān)．

壓電發(fā)電懸臂梁， 非線性建模， 主共振， 跳躍現(xiàn)象

引言

微機電系統(tǒng)(MEMS)的發(fā)展開辟了一個全新的技術(shù)領(lǐng)域，系統(tǒng)或產(chǎn)品微型化、智能化、集成化的發(fā)展方向勢必要求其供電部分應(yīng)具有體積小、能量密度高、集成度高、壽命長甚至長期無需更換等特點．傳統(tǒng)的供電電池不僅質(zhì)量大，體積大，供能壽命有限，需要定期更換，而且還會帶來材料浪費，環(huán)境污染等問題．目前用于向MEMS供電的振動能量采集裝置主要有電磁式、靜電式和壓電式，相對于其他發(fā)電方式，壓電發(fā)電裝置利用壓電材料的正壓電效應(yīng)將周圍環(huán)境中的振動動能轉(zhuǎn)化成可利用的電能具有明顯優(yōu)勢［1］，其結(jié)構(gòu)簡單、綠色環(huán)保、能量密度大、無電磁干擾，可直接輸出較高電壓，易于加工和實現(xiàn)微型化、集成化等，因此備受關(guān)注［2］．

壓電發(fā)電裝置的核心元件是壓電振子，雙晶或單晶懸臂梁是壓電振子常用的結(jié)構(gòu)形式［3］．壓電振子的工作模式可分為d31和d33兩種，其中d31模式下壓電振子的諧振頻率較低，更符合懸臂梁壓電發(fā)電裝置低頻的工作環(huán)境要求［4］．

Sodano HA等［5］針對無附加質(zhì)量的壓電雙晶懸臂梁，建立了機電耦合動力學(xué)和電學(xué)模型，并利用數(shù)值方法和實驗方法對理論模型進行了驗證．Roundy S等［6］制備了雙晶懸臂式壓電發(fā)電模型，并在梁的末端添加質(zhì)量塊以降低結(jié)構(gòu)頻率，應(yīng)用等效電路法對該模型進行了建模分析，并通過實驗給出了輸出電壓、功率與負(fù)載電阻的關(guān)系．duToit NE［7］應(yīng)用 Hamilton 原理、Rayleigh － Ritz法及壓電元件恒定電場假設(shè)，對帶集中質(zhì)量的懸臂梁進行了建模分析．Jitsaria JA等［8］同樣將雙晶壓電懸臂梁發(fā)電裝置作為研究對象，分別采用等效電路法、能量法以及Euler－Bernoulli與Timoshenko相結(jié)合的梁理論分析法對模型進行了描述，并通過數(shù)值模擬和實驗對上述三種方法進行了對比分析．Erturk A等［9］分別對串、并聯(lián)的雙晶壓電懸臂梁進行了理論建模，分別給出了基礎(chǔ)平動和轉(zhuǎn)動激勵下系統(tǒng)的單模態(tài)及多模態(tài)頻響方程，并通過實驗予以驗證．闞君武等［10］建立了單、雙晶壓電梁發(fā)電能力的仿真分析模型，研究了結(jié)構(gòu)尺寸、激勵方式及材料性能等對其發(fā)電能力的影響規(guī)律．袁江波等［11］對懸臂梁壓電振子進行了有限元分析，并對其發(fā)電性能進行了實驗研究．

然而上述文獻中所有壓電材料均假設(shè)為線性材料．事實上，非線性是壓電材料的本質(zhì)特征，即使在低場下也有明顯的非線性現(xiàn)象［12］．在壓電發(fā)電研究中，壓電材料非線性卻幾乎被忽略［13］．duToit NE［7］研究發(fā)現(xiàn)，共振區(qū)內(nèi)線性模型預(yù)測的結(jié)果與實驗結(jié)果相差較大，并預(yù)測是忽略材料非線性所致．目前在壓電發(fā)電研究中，只有少數(shù)文獻考慮到壓電材料非線性．Stanton SC等［14］考慮壓電材料三次非線性本構(gòu)關(guān)系，通過理論建模分析了壓電懸臂梁的發(fā)電特性，指出在較大激勵振幅下，線性結(jié)果與實驗結(jié)果相差較大，說明線性結(jié)果的局限性．

本文以帶集中質(zhì)量的單晶懸臂梁壓電發(fā)電系統(tǒng)為研究對象．考慮非線性壓電效應(yīng)，即電致彈性和電致伸縮效應(yīng)，利用廣義Hamilton原理及Rayleigh－Ritz法建立其機電耦合模型;通過數(shù)值計算分析了壓電材料非線性及外激勵條件等對系統(tǒng)響應(yīng)的影響．為深入研究材料非線性對壓電俘能結(jié)構(gòu)發(fā)電性能的影響規(guī)律提供一定的理論依據(jù)．

1 非線性動力學(xué)建模

針對基礎(chǔ)激勵下具有附加質(zhì)量的單晶懸臂梁壓電振子，考慮其d31工作模式下的振動，如圖1示．梁長為L，寬為b，厚為t0，單晶懸臂梁的上層為壓電層(厚度為tp)，下層為彈性金屬結(jié)構(gòu)層(厚度為ts)，極化方向(P方向)沿3方向，x表示軸向坐標(biāo)(沿著梁的長度方向，即1方向)，y表示縱向坐標(biāo)(沿著梁的厚度方向，即3方向)．

圖1 懸臂式壓電發(fā)電系統(tǒng)模型ig．1 the vibrating model of piezoelectric cantilever with base excitation

對于彈性金屬梁結(jié)構(gòu)而言，其應(yīng)力－應(yīng)變具有如下線性關(guān)系:

其中為剛度系數(shù)矩陣，T1及S1表示沿梁長度方向的應(yīng)力、應(yīng)變．

考慮非線性壓電效應(yīng)，壓電材料的非線性本構(gòu)關(guān)系可以表示為［15］

式中，E3和D3表示沿梁厚度方向的電場強度和電位移為剛度系數(shù)，e31為壓電系數(shù)，為介電常數(shù)為二次非線性剛度系數(shù)，γ113為電致彈性系數(shù)，β133為電致伸縮系數(shù)．ν333為二次非線性介電常數(shù)．

基礎(chǔ)激勵下，壓電懸臂梁存在機械能和電能的轉(zhuǎn)換，適于機電耦合系統(tǒng)的廣義Hamilton變分原理［7］

其中，Tk為系統(tǒng)動能，U為系統(tǒng)勢能，We為壓電陶瓷的電能，δW為外力做功的變分．

考慮梁的一階模態(tài)，并將壓電元件上下表面兩金屬電極看作一個電極對，應(yīng)用Rayleigh－Ritz法，Euler－Bernoulli梁理論及壓電元件恒定電場假設(shè)

其中，u(x，t)為梁的橫向相對位移，Ψr(x)表示懸臂梁的一階彎曲模態(tài)振型函數(shù)，r(t)表示梁橫向振動位移模態(tài)坐標(biāo)，Ψv(x)表示電勢分布函數(shù)，v(t)表示廣義電壓模態(tài)坐標(biāo)．

從而得到系統(tǒng)的運動方程

其中，M和K分別是層合梁振子的模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度，θ和Cp分別是機電耦合系數(shù)和壓電元件的電容，N1、N2及N3是方程非線性項的系數(shù)，Bf為外部激勵項系數(shù)．

設(shè)外加基礎(chǔ)激勵w¨B=ZecosΩet)，并假設(shè)負(fù)載電阻為純電阻RL，于是(7)、(8)兩式可化為

其中ω1為一階固有頻率，ζm為阻尼比，且

對上述動力學(xué)方程進行無量綱化處理，定義特征時間、特征長度、特征電壓分別為

代入(9)、(10)得到無量綱動力學(xué)方程:

引入無量綱小參數(shù)ε，令

方程(13)、(14)又可進一步化為

2 壓電層合梁動態(tài)響應(yīng)數(shù)值分析

采用四、五階Runge－Kutta法對無量綱后的方程進行數(shù)值模擬，分析懸臂式壓電發(fā)電系統(tǒng)在不同基礎(chǔ)激勵及初始條件下的響應(yīng)特性．

取方程各參數(shù) ε =0．1，κ =0．1，ζm=1，α1=1，α2=1，α3=0．1，α4=3．2，α5=1，f=2．5，σ = － 4，初始條件為(x(0)，x(0)，u(0)，u(0))=(0，0，0，0)，計算得到原系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的時間歷程圖和相圖，如圖2所示．

圖2 系統(tǒng)的時間歷程圖(a)和相圖(b)Fig．2 time history(a)and Phase trajectory(b)

若(x(0)，x(0)，u(0)，u(0))=(1，0．5，0，0)，得到原系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的時間歷程圖和相圖，如圖3所示．

圖3 系統(tǒng)的時間歷程圖(a)和相圖(b)Fig．3 time history(a)and Phase trajectory(b)

從圖2、圖3可以看出，在相同的系統(tǒng)參數(shù)和外激勵(σ=－4)下，不同的初始條件對應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)不同．圖2中的系統(tǒng)響應(yīng)x穩(wěn)定在振幅為0．366的極限環(huán)上;圖3中的系統(tǒng)響應(yīng)x穩(wěn)定在振幅為1．137的極限環(huán)上，分別對應(yīng)系統(tǒng)有兩個穩(wěn)定響應(yīng)解．由此可以看出，多解支的真正實現(xiàn)與系統(tǒng)的初始條件有關(guān)．

圖4 系統(tǒng)主共振的跳躍現(xiàn)象Fig．4 the jumping phenomenon of the primary resonance

為了進一步搞清系統(tǒng)響應(yīng)的多解、跳躍現(xiàn)象以及不同解支的穩(wěn)定性，通過數(shù)值的方法對原方程分別進行升、降頻掃描模擬，如圖4所示．從該圖可以看出，升頻掃描下系統(tǒng)響應(yīng)在σ=－3．737時向上跳躍;降頻掃描下則在σ=－6．162處向下跳躍．在－3．737到－6．162區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)出現(xiàn)多解現(xiàn)象，上下兩個解支對應(yīng)兩個穩(wěn)定焦點，對于該區(qū)間內(nèi)的某一固定σ而言，響應(yīng)解落在上解支還是下解支取決于初始條件的選?。?/p>

圖5給出了對應(yīng)線性系統(tǒng)，即不考慮材料非線性影響時(α1=α2=α4=α5=0)系統(tǒng)的主共振幅頻響應(yīng)曲線．對比可以看出，由于壓電材料非線性的影響，系統(tǒng)主共振的幅頻響應(yīng)曲線出現(xiàn)了共振峰偏移以及共振點附近的多解和跳躍現(xiàn)象，同時共振頻帶也明顯拓寬．

圖5 對應(yīng)線性系統(tǒng)的主共振幅頻響應(yīng)Fig．5 the amplitude － frequency response of the primary resonance for α1= α2= α4= α5=0

圖6給出系統(tǒng)響應(yīng)隨非線性剛度系數(shù)α4的變化曲線．當(dāng)α4=0時，沒有跳躍現(xiàn)象;當(dāng)α4不為0時，則發(fā)生跳躍現(xiàn)象，即響應(yīng)在某一確定激勵頻率下存在多解;隨著α4的增大，近似解的共振峰向左偏移增大，呈現(xiàn)軟特性的非線性性質(zhì)，共振區(qū)對應(yīng)頻率減?。?/p>

圖6 α4變化時穩(wěn)態(tài)主共振的幅頻響應(yīng)曲線Fig．6 the amplitude－ frequency response of the primary resonance with different α4

3 實驗研究

為了驗證上述的分析結(jié)果，建立懸臂式壓電發(fā)電實驗裝置，如圖7所示．主要參數(shù)值見表1．

圖7 實驗裝置圖Fig．7 Experimental setup

表1 壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Geometrical parameters of piezoelectric cantilever

實驗裝置主要包括PolytecPSV－400激光測振儀、YE5871功率放大器、激振器、INV306DF智能信號采集處理分析儀等．激光測振儀內(nèi)置信號發(fā)生器，可輸出掃頻信號以及頻率、幅值可調(diào)的正弦信號．激勵信號經(jīng)功率放大器對激振器進行振動控制，并采用加速度傳感器測得激勵幅值的大小，為懸臂式壓電發(fā)電裝置提供激勵源．利用激光測振儀獲得梁的振動響應(yīng)，同時利用數(shù)據(jù)采集器采集電壓響應(yīng)數(shù)據(jù)．

選取外激勵幅值為 1．5g(g=9．8m/s2)，頻率為8．2Hz測得壓電發(fā)生裝置的響應(yīng)特性如圖8所示，系統(tǒng)做周期運動．不改變激勵的幅值，逐漸增大激勵頻率，測量系統(tǒng)在不同激勵頻率下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性，如圖9所示．

從圖9可以看出，穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)的峰值有向左偏移的趨勢，實驗結(jié)果定性反映出壓電發(fā)電系統(tǒng)的軟非線性特性，與數(shù)值模擬結(jié)果的結(jié)論一致．綜上分析表明，壓電結(jié)構(gòu)固有的材料非線性特性能有效降低結(jié)構(gòu)的共振頻率，這一點更有利于結(jié)構(gòu)適應(yīng)具有寬、低頻特點的環(huán)境振動．非線性是壓電材料的固有特性，在對壓電結(jié)構(gòu)的設(shè)計中，考慮這一特性有利于優(yōu)化結(jié)構(gòu)工作頻帶與環(huán)境振動頻帶的吻合性，從而提高發(fā)電效率．

圖8 時域圖(a)及相圖(b)Fig．8 time domain graph(a)and phase diagram(b)

圖9 不同激勵頻率下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)幅值Fig．9 the amplitude－frequency response with different excitation frequency

4 結(jié)論

本文建立了帶有集中質(zhì)量的懸臂式壓電發(fā)電系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型．通過數(shù)值和實驗研究了不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)及外激勵參數(shù)下系統(tǒng)響應(yīng)特性．結(jié)果表明，壓電結(jié)構(gòu)主共振狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)具有較大的振動幅值，可從外界提取更多的能量．此時壓電材料固有的非線性特性對結(jié)構(gòu)主共振響應(yīng)的影響較為突出．系統(tǒng)的響應(yīng)共振峰向左偏移，對應(yīng)外激勵頻率小于系統(tǒng)的固有頻率．當(dāng)外激勵頻率變化時響應(yīng)振幅發(fā)生跳躍現(xiàn)象，響應(yīng)解的真正實現(xiàn)取決于解的穩(wěn)定性條件及初始條件的選?。?/p>

本文結(jié)論為研究壓電懸臂式發(fā)電系統(tǒng)的非線性動力學(xué)機理奠定了一定的基礎(chǔ)，為結(jié)構(gòu)設(shè)計中參數(shù)的選擇及發(fā)電性能的優(yōu)化提供一定的理論依據(jù)．

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15 Gao J，Cao S Q．Second－order approximation of primary resonance of a disk－type piezoelectric stator for traveling wave vibration．Nonlinear Dynamics，2010，61:591～603

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11172199)and the Key Project of Tianjin Municipal Natural Science Foundation(11JCZDJC25400)

? Corresponding author E－mail:sqcao@tju．edu．cn

NONLINEAR MODELING AND ANALYSIS OF PIEZOELECTIC CANTILEVER ENERGY HARVESTER*

Guo Kangkang1，2Cao Shuqian1，2?
(1．School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin300072，China)(2．Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Chaos Control，Tianjin300072，China)

The electromechanical coupling model of cantilevered piezoelectric harvester was developed by considering the nonlinearities of piezoelectric material，based on Hamilton theory，Rayleigh－Ritz method，Euler－Bernoulli beam theory and constant electrical field across the piezoelectric element．The response characteristics of the system were investigated numerically，and the influences of piezoelectric material nonlinear coefficient on the system response were analyzed．By exploring the nonlinear characteristics of the piezoelectric vibrator near the resonant frequency，the nature of the multi－solutions and jump phenomena in the resonance region was revealed．The results were verified experimentally．which provides a theoretical basis for the study of nonlinear mechanism of piezoelectric power generation system．

piezoelectric cantilever for power generation， nonlinearity， primary resonance， jump phenomena

2 June 2013，

1 October 2013．

10．6052/1672－6553－2013－068

2013－06－02 收到第 1 稿，2013－10－01 收到修改稿．

*國家自然科學(xué)基金資助項目(11172199)和天津市自然科學(xué)基金重點項目(11JCZDJC25400)

E－mail:sqcao@tju．edu．cn