姚志敏+虞青

“什么是好的教育？系統(tǒng)地給學(xué)生提供自己發(fā)現(xiàn)問題的機會.”這是問題解決教學(xué)的積極倡導(dǎo)者波利亞對“好教育”提出的一個重要評價指標(biāo).在這里他強調(diào)了好的教育的評價標(biāo)準(zhǔn)就是能夠讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，因此“問題解決”教學(xué)作為一種模式，它與我國的基礎(chǔ)教育課程改革的理念是相通的，它是“問題解決”教學(xué)的一個重要操作依據(jù)和思路.

我們看到無論是“問題解決”教學(xué)理念還是“綜合與實踐”課程，兩者都把著陸點放在“問題”上.課程改革所要建構(gòu)的課程目標(biāo)是：“改變課程過于注重知識傳授的傾向，強調(diào)形成積極主動的學(xué)習(xí)態(tài)度，使獲得基礎(chǔ)知識與基本技能的過程同時成為學(xué)會學(xué)習(xí)和形成正確價值觀的過程.”該目標(biāo)表明新課程摒棄以往單一的課程目標(biāo)，倡導(dǎo)一種綜合的課程目標(biāo)，即在重視學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能的基礎(chǔ)上，著眼于學(xué)生能力、情感、態(tài)度和價值觀等的整體發(fā)展.“問題解決”教學(xué)的終極目標(biāo)是培養(yǎng)有效的問題解決者.

在“問題解決”教學(xué)中，由于問題是系列的多類型的體系，它把基礎(chǔ)知識基本技能的掌握與能力培養(yǎng)結(jié)合起來，把書本只是與經(jīng)驗的改造或生長結(jié)合起來，把一般能力與創(chuàng)造能力結(jié)合起來，這正是我國基礎(chǔ)教育課程改革所孜孜追求的目標(biāo).

下面以筆者最近在杭州、寧波、成都與青島等地的“全國初中數(shù)學(xué)名師課堂教學(xué)展示”活動中所執(zhí)教的一節(jié)綜合實踐課“探索三角形可以被分割成兩個等腰三角形的條件”為例，說明在“問題解決”理念下課堂模式的運用.這節(jié)課研究活動的開展主要依賴于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，研究的結(jié)果具有一般借鑒性.下面以此案例為著落點，分析數(shù)學(xué)綜合實踐課的課堂結(jié)構(gòu).

圖1教學(xué)實錄

一、創(chuàng)設(shè)情境明確問題主體

1.教師出示一張普通三角形圖片，提出問題1：“如圖1，你能把這張三角形圖片分成兩個三角形，并涂上不同顏色嗎？”

學(xué)生1：能，只要畫一條線就可以.

教師：這條線從哪里出發(fā)呢？隨便都可以嗎？

學(xué)生1：不是的，必須從頂點出發(fā)，但是可以從任意一個頂點出發(fā).

教師：回答得非常好，抓住了分割的特點“從頂點出發(fā)引一條線段就可以把一個三角形分成兩個三角形”.那么如果老師想要大家把這個三角形分割成兩個等腰三角形，你能做到嗎？

學(xué)生都說：不行，因為沒有具體的角度就沒有辦法操作.

教師：沒錯，這個三角形的內(nèi)角度數(shù)都是未知的，我們無從下手.那么老師給你一個知道內(nèi)角度數(shù)的三角形，大家來試試.

設(shè)計意圖課堂伊始，教師提出的問題不宜太難，這樣就會打擊學(xué)生聽課的熱情.故設(shè)置起點較低的問題，讓每一個學(xué)生都有回答的欲望.但正是借助于這樣一個簡單的問題將學(xué)生的思路引向正確的方向.

提出問題2：“小區(qū)內(nèi)有一個三角形小花壇（如圖2），現(xiàn)在想把它分割成兩個等腰三角形，使之可以種上不同的花.已知花壇的三個角分別為36°、72°、72°，你可以幫忙辦到嗎？”

學(xué)生2（立刻舉手）：可以.

教師：你為什么這么快就能回答這個問題？

學(xué)生2：看角的度數(shù)就知道一定可以辦到，只要把其中一個72°的角平分就可以了.

教師：哦，為什么這樣分就一定是兩個等腰三角形了？

學(xué)生2，因為∠A是36°，如果平分∠B，那么就會和∠A相等，出現(xiàn)一個等腰三角形.

教師：很好，上面的三角形已經(jīng)是等腰三角形了，可是怎么說明下面這個三角形也是等要三角形呢？

學(xué)生2：可以用三角形內(nèi)角和為180°來說明還有一個角也是72°.

教師：恩，你是用內(nèi)角和來說明，還有其他方法嗎？

學(xué)生3：還可以用外角與內(nèi)角和之間的關(guān)系說明.因為上面已經(jīng)有2個36°的內(nèi)角，那么這個三角形的外角恰好是72°，與∠C相等.

教師：同學(xué)們真是非常聰明.這兩位同學(xué)用不同的方法解決了問題.現(xiàn)在我們回過頭來看看這個問題解決的過程（教師總結(jié)方法）：“①從某個項點出發(fā)引一條線段先畫出一個等腰三角形，然后證明余下的這個三角形也是一個等腰三角形”.這是我們的第一個共識.現(xiàn)在老師再問一下，這條分割的線段能不能從別的頂點出發(fā)？

學(xué)生4：還可以從C點出發(fā)作一條角平分線，道理跟剛才一樣.

教師：那能從A出發(fā)嗎？

學(xué)生4：不能，因為∠A在三個內(nèi)角中是最小的一個角，再分割的話不可能跟其他兩個內(nèi)角度數(shù)相等.

教師：分析的很有道理，這位同學(xué)其實幫我們說出了分割的第二個共識：“②最小角不再分割”.

設(shè)計意圖在“問題解決”中，問題的提出不是任意的，而是“有目的的”，要有恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)目標(biāo)定向.在“問題解決”中所提出的問題會是系列問題，但起始問題從學(xué)生比較熟悉的圖形入手，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)把一個本身是等腰的三角形分割成兩個等腰三角形是比較容易的，教師及時總結(jié)概括分割時的共同特征，這樣就為本節(jié)課的后續(xù)發(fā)展打好基礎(chǔ).

教師：剛才大家分割的三角形是等腰三角形，那如果不是一個等腰三角形，你還能辦到嗎？提出問題3：“如圖3，如果三角形的三個內(nèi)角改成25°、50°、105°，你還能分嗎？”

學(xué)生5：可以.

教師：今天我們班的學(xué)生真的很棒，老師的問題剛出來，立刻就被同學(xué)們“消滅”.我們請這位同學(xué)到講臺上來講解一下.

學(xué)生5（走上臺去）：只要從105°這個角里面先分出一個25°的小角，使左邊構(gòu)成一個等腰三角形，再驗證一下右邊的也是等要三角形就可以了.

教師：那么大家看看右邊的是嗎？

學(xué)生：是的，因為兩個25°相加剛好是等于∠C.

教師：果然如此，看來難不到大家，我再換一個三角形試試.再提出問題4“如圖4，如果三角形的三個內(nèi)角改成20°、60°、100°，你還能分嗎？”

學(xué)生6：那不是一樣嗎？只要從60°角中分一個20°就行了.endprint

教師：我們班同學(xué)的反應(yīng)實在太快.我們來看一下這樣分可以嗎？

學(xué)生集體驗證發(fā)現(xiàn)分割的正確性.

設(shè)計意圖從特殊三角形改成一般三角形，學(xué)生的思維更進(jìn)一層，并且能讓學(xué)生在實踐過程中學(xué)會分類討論.

3.教師：兩個都順利完成了分割，接下去老師要出難題了.我不再給大家提供三角形了，提出問題5：“請你自己來設(shè)計一個三角形，使這個三角形都可以被分割成兩個等腰三角形.現(xiàn)在你還能很快完成嗎？”

學(xué)生：陷入短暫沉思后開始動手嘗試操作設(shè)計.

幾分鐘后，學(xué)生一一舉手發(fā)言，教師把每一位發(fā)言同學(xué)發(fā)現(xiàn)的三角形的三個內(nèi)角度數(shù)在黑板上板書，并注明發(fā)現(xiàn)者的姓氏.

（1）蘇同學(xué)：45°、45°、90°；

（2）褚同學(xué)：30°、60°、90°；

（3）鄭同學(xué)：36°、36、108°；

（4）劉同學(xué)：20°、40°、120°

（5）張同學(xué)：10°、30°、140°；

（6）郁同學(xué)：24°、72°、84°.

學(xué)生群情激奮，舉手此起彼伏.

教師：我相信每位同學(xué)都有了自己的發(fā)現(xiàn)，由于時間關(guān)系我們不能把每一個三角形都寫在黑板上.特別要表揚這些同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，這幾位同學(xué)真的很了不起，發(fā)現(xiàn)的三角形的內(nèi)角度數(shù)難度這么大，老師很佩服你們，真聰明.

設(shè)計意圖通過舉例培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，學(xué)生在設(shè)計過程中可能有一些盲目性、偶然性，但是教師正好利用學(xué)生偶然設(shè)計出的三角形，作為驗證條件的資源.在這一環(huán)節(jié)有一個細(xì)節(jié)讓筆者印象深刻，筆者在每一組推選出來發(fā)言的同學(xué)舉出的實例旁邊都注上了發(fā)言同學(xué)的名字，這一舉動讓組內(nèi)其他同學(xué)們?nèi)呵榧^，特別是發(fā)言同學(xué)，成就感油然而生.學(xué)生是“問題解決”教學(xué)的主體，教學(xué)目標(biāo)不是依賴教師的傳遞、學(xué)生的被動接受而實現(xiàn)的，而是由學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)、積極探索、實踐體驗、解決問題而實現(xiàn)的.只有當(dāng)學(xué)生全身心投入到解決問題中去，課堂效率就已經(jīng)最大化了.

二、合作交流，經(jīng)歷解決過程

4.教師：剛才我們同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這么多的三角形都可以被分割成兩個等腰三角形，提出問題6：“任何三角形都能被分割成兩個等腰三角形嗎？”

學(xué)生7：不能.

教師：為什么不能，你能舉出反例嗎？

學(xué)生7：等邊三角形就不能分割.

教師（豎起大拇指）：厲害.反應(yīng)如此之快，老師都要跟不上你們的節(jié)奏了.

要說明一個命題是假命題，只要能舉出反例就可以.既然不是所有三角形都能被分割成兩個等腰三角形，那么哪些可以被分割呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的課題.（投影出示課題）：“探索三角形可以被分割成兩個等腰三角形的條件”.

以前我們同學(xué)做數(shù)學(xué)題都是題目給出條件，同學(xué)們來研究結(jié)論.今天我們要反其道而行之，結(jié)論已經(jīng)告訴給大家，分割成兩個等腰三角形，但條件不知道，到底要怎樣的三角形才可以添一條線段后分割成功？

設(shè)計意圖多數(shù)學(xué)生會認(rèn)為不可以，但是不太拿得定結(jié)論的正確性.通過學(xué)生對反例的思考，得出要分割成兩個等腰三角形是有條件的.緊跟著讓學(xué)生產(chǎn)生疑問：可以分割的條件會是什么？這樣一來下一個問題很自然由學(xué)生自己提出，從而問題也由封閉式走向了半開放式.在解決封閉性問題類型時，教師是“聞道在先”、“學(xué)有專攻”的引導(dǎo)者，因此教師的主導(dǎo)作用更為突出一些；但在開放性的問題的解決中，學(xué)生是主宰，教師有時要失去某些優(yōu)勢，只能扮演協(xié)助者、參與者的角色.

教師首先將文字表達(dá)數(shù)學(xué)符號化.出示如圖5，△ABC中，設(shè)∠A=α，∠B=β，∠C=γ.

教師：剛才我們在分割的時候都是先作一個等腰三角形，然后驗證另一個也是等腰三角形，那么現(xiàn)在這種方法還可行嗎？

學(xué)生8：應(yīng)該可以.

教師：那我們來試一下.作∠BAD=β，那么△ABD就已經(jīng)成為一個等腰三角形了，接下來要使△ADC也是一個等腰三角形，要滿足什么條件呢？

學(xué)生七嘴八舌在下面討論，教師適時點撥分類思想后請學(xué)生總結(jié)發(fā)現(xiàn)如下.

△ACD為等腰三角形的各種情況：∠ADC=2β，∠DAC=α-β.

（1）∠ADC=∠C，即γ=2β，原三角形有一個角為另一個角的2倍；

（2）∠ADC=∠CAD，即α=3β，原三角形有一個角為另一個角的3倍；

（3）∠C=∠CAD，即α=90°，原三角形是直角三角形.

設(shè)計意圖數(shù)學(xué)建模對于八年級的學(xué)生來說，是有一定的困難的，教師如果說成“把文字語言變成符號語言”學(xué)生可能更能接受些.結(jié)合圖形，與學(xué)生一起分析如何把文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，讓學(xué)生了解建模的意義和重要性.對照圖形，學(xué)生應(yīng)該可以比較容易得出其他相關(guān)內(nèi)角的表示法，在教師的引導(dǎo)下用希臘字母表示其他幾個內(nèi)角.通過角度的表示，把重心逐步轉(zhuǎn)到證明△ACD是等腰三角形的條件上來，讓學(xué)生明白并不需要證兩個等腰，只要先畫一個等腰三角形、再證另一個也是等腰三角形即可.判定等腰三角形的條件學(xué)生比較熟悉，但是學(xué)生可能會只考慮圖上看起來象的一種情況，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生不要被圖形所左右，要作分類討論，學(xué)生可以得出△ACD為等腰三角形的三種情況.

6.教師：條件已經(jīng)成功探索出來，這也可以說使我們大膽的猜想.猜想要變成正確的結(jié)論，還需要嚴(yán)密的驗證工作.下面我們一一來驗證一下這三個條件是否都是正確的.其實聰明的同學(xué)可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了換一下條件和結(jié)論的順序，這個問題就是我們上課開始時候在談?wù)摰膯栴}.

驗證發(fā)現(xiàn)問題7：“如圖6，已知△ABC中，∠B=β，∠C=2β，問：△ABC一定能夠被分割成兩個等腰三角形嗎？”

學(xué)生9：只要從∠C中分出一個β就可以了.

教師示范第一個條件的驗證正確性的說明方法，在教師的啟發(fā)下，又有了前面的一系列探究活動，學(xué)生對于驗證已經(jīng)得心應(yīng)手，很快兩個條件的正確性都驗證完成：（2）中的猜想是直接分3倍角、（3）中的猜想是直接分直角.為此學(xué)生心中喜悅之情溢于言表，課堂氣氛達(dá)到高潮.endprint

設(shè)計意圖等腰三角形的證明對許多學(xué)生而言是比較簡單的，只是這里可能有聰明的學(xué)生會想產(chǎn)生質(zhì)疑，即萬一α<β怎么辦？如果學(xué)生提出來這個問題，教師可以將鈍角三角形的情形作展開，如果學(xué)生不質(zhì)疑，則教師應(yīng)在此地埋下伏筆.

7.繼續(xù)追問題8：“如圖7，在△ABC中，∠A=36°，∠B=96°，∠C=48°，可以分割成兩個等腰三角形嗎？”，請試一試.

很多學(xué)生比較容易用剛才得到的結(jié)論對號入座，可是動手畫線實踐卻發(fā)現(xiàn)不能分兩個等腰三角形，心里會比較疑惑.

設(shè)計意圖本題的設(shè)置是為了說明在“一個角為另一個角的2倍”這個條件下的一種特殊情況.這樣的設(shè)計，讓學(xué)生體驗探究是一個逐步深入的過程.

教師進(jìn)一步啟發(fā)：問題在哪里呢？條件還缺點什么呢？

這時多數(shù)學(xué)生產(chǎn)生了頓感：“三角形有一個角是另一個角的2倍時，不一定能夠被分割成兩個等腰三角形.”

教師再啟發(fā)性追問：需要增加什么條件呢？這個角有什么限制呢？

8.提出問題9：“你會計算“當(dāng)原三角形一個角為另一個角2倍時，若分割成兩個等腰三角形”，第三角的取值范圍嗎？”

教師作適當(dāng)?shù)奶崾?，如圖8，在△ABC中，因為x+3β=180，由作圖知∠A>∠B，學(xué)生通過解不等式x>180-x3，很快就計算出x>45，這樣學(xué)生探究出這個第三角的限制條件是一定要大于45.

設(shè)計意圖讓學(xué)生在質(zhì)疑之后產(chǎn)生學(xué)習(xí)的強烈愿望，更讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)推理的樂趣，體會數(shù)學(xué)的美.

三、應(yīng)用新知，品嘗探索成果

教師再讓學(xué)生應(yīng)用新知（用新的眼光）來驗證上面六位同學(xué)發(fā)現(xiàn)……

9.出示拓展性問題10：（2008年寧波市中考題）

（1）如圖9中，∠C=90°.請用直尺和圓規(guī)作一條直線，把△ABC分割成兩個等腰三角形（不寫作法，但須保留作圖痕跡）.

（2）已知內(nèi)角度數(shù)的兩個三角形如圖10、圖11所示.請你判斷，能否分別畫一條直線把它們分割成兩個等腰三角形？若能，請寫出分割成的兩個等腰三角形頂角的度數(shù).

設(shè)計意圖經(jīng)過剛才的一番探索，同學(xué)們對新知識的應(yīng)用已成竹在胸.就連平時看上去有畏懼情緒的中考題也似乎變得親切了.有了知識的積累，解決相應(yīng)的問題就變成了學(xué)生的快樂.

教學(xué)思考

首先，教師要關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的“問題化”.美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說過，問題數(shù)學(xué)的心臟，有了問題，思維才有了方向；有了問題，思維才有了動力；有了問題，思維才有了創(chuàng)新.而且教學(xué)內(nèi)容“問題化”是把“內(nèi)容本位”教學(xué)轉(zhuǎn)化為“學(xué)生本位”教學(xué)的一個有效策略.在整個授課過程中，學(xué)生由于受到未知領(lǐng)域的挑戰(zhàn)，思維始終處于活躍的狀態(tài).

其次，教師要處理好教學(xué)內(nèi)容與“問題連續(xù)體”的關(guān)系.因為在問題解決教學(xué)中，問題的分類是一個值得重視的關(guān)鍵成分.不同的問題具有不同的功能，提出什么類型的問題可以體現(xiàn)什么樣的教學(xué)價值觀.在本案例中，我們發(fā)現(xiàn)問題呈現(xiàn)遞進(jìn)式、連貫式，這正是著名學(xué)者梅克所提出的“問題連續(xù)體”的運用.隨著探究的深入，學(xué)生漸漸習(xí)慣提出問題，解決問題.無論在哪個環(huán)節(jié)，教師始終把“探究”放到了學(xué)習(xí)的首位.一個個大大小小問題的解決，都由學(xué)生親自動手操作、動腦驗證而解決.古語說的好：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”.因此，學(xué)生，可以說每一個學(xué)生在歷經(jīng)起初面對課題時的無知懵懂，到逐漸清晰，再到豁然開朗的各個階段后，所獲得的成功并非僅僅局限在課題解決方案，這一區(qū)區(qū)數(shù)學(xué)味道很濃的成果上.解決問題過程本身，留給學(xué)生的恐怕比這一課題結(jié)果來得更有意義，印象更深刻.

培養(yǎng)學(xué)生的“問題解決”能力是教育的核心目標(biāo)，新課程改革的目的和宗旨都離不開學(xué)生問題解決能力的培養(yǎng)，缺乏了這一基礎(chǔ)性能力的培養(yǎng)，新課程改革很可能陷入一種“鐘擺”狀態(tài)，得不到持續(xù)和深入的發(fā)展.對廣大一線教師而言，如何把新課程的理念轉(zhuǎn)化為具體的教育實踐，需要各種行動策略，而“問題解決”教學(xué)模式正是為這種轉(zhuǎn)化指明了一個方向，即任何教學(xué)策略最終目的之一都是要實現(xiàn)學(xué)生的問題意識和問題解決能力的培養(yǎng).它關(guān)注學(xué)生對問題解決的過程以及這一過程中學(xué)生能力、態(tài)度和情感的培養(yǎng).

作者簡介姚志敏，浙江紹興市柯橋區(qū)初中數(shù)學(xué)教研員，正教授級中學(xué)高級教師、浙江省特級教師、浙江省優(yōu)秀教研員、浙派名師首批導(dǎo)師、杭州市與紹興市等地名師班導(dǎo)師等.主要研究方向是新理念下的初中數(shù)學(xué)核心概念課、高效復(fù)習(xí)課與探究活動課課例研究.有30多篇教科研論文、案例發(fā)表在國家級及國家級核心期刊上，多篇論文被人民大學(xué)報刊復(fù)印資料轉(zhuǎn)載.endprint

設(shè)計意圖等腰三角形的證明對許多學(xué)生而言是比較簡單的，只是這里可能有聰明的學(xué)生會想產(chǎn)生質(zhì)疑，即萬一α<β怎么辦？如果學(xué)生提出來這個問題，教師可以將鈍角三角形的情形作展開，如果學(xué)生不質(zhì)疑，則教師應(yīng)在此地埋下伏筆.

7.繼續(xù)追問題8：“如圖7，在△ABC中，∠A=36°，∠B=96°，∠C=48°，可以分割成兩個等腰三角形嗎？”，請試一試.

很多學(xué)生比較容易用剛才得到的結(jié)論對號入座，可是動手畫線實踐卻發(fā)現(xiàn)不能分兩個等腰三角形，心里會比較疑惑.

設(shè)計意圖本題的設(shè)置是為了說明在“一個角為另一個角的2倍”這個條件下的一種特殊情況.這樣的設(shè)計，讓學(xué)生體驗探究是一個逐步深入的過程.

教師進(jìn)一步啟發(fā)：問題在哪里呢？條件還缺點什么呢？

這時多數(shù)學(xué)生產(chǎn)生了頓感：“三角形有一個角是另一個角的2倍時，不一定能夠被分割成兩個等腰三角形.”

教師再啟發(fā)性追問：需要增加什么條件呢？這個角有什么限制呢？

8.提出問題9：“你會計算“當(dāng)原三角形一個角為另一個角2倍時，若分割成兩個等腰三角形”，第三角的取值范圍嗎？”

教師作適當(dāng)?shù)奶崾?，如圖8，在△ABC中，因為x+3β=180，由作圖知∠A>∠B，學(xué)生通過解不等式x>180-x3，很快就計算出x>45，這樣學(xué)生探究出這個第三角的限制條件是一定要大于45.

設(shè)計意圖讓學(xué)生在質(zhì)疑之后產(chǎn)生學(xué)習(xí)的強烈愿望，更讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)推理的樂趣，體會數(shù)學(xué)的美.

三、應(yīng)用新知，品嘗探索成果

教師再讓學(xué)生應(yīng)用新知（用新的眼光）來驗證上面六位同學(xué)發(fā)現(xiàn)……

9.出示拓展性問題10：（2008年寧波市中考題）

（1）如圖9中，∠C=90°.請用直尺和圓規(guī)作一條直線，把△ABC分割成兩個等腰三角形（不寫作法，但須保留作圖痕跡）.

（2）已知內(nèi)角度數(shù)的兩個三角形如圖10、圖11所示.請你判斷，能否分別畫一條直線把它們分割成兩個等腰三角形？若能，請寫出分割成的兩個等腰三角形頂角的度數(shù).

設(shè)計意圖經(jīng)過剛才的一番探索，同學(xué)們對新知識的應(yīng)用已成竹在胸.就連平時看上去有畏懼情緒的中考題也似乎變得親切了.有了知識的積累，解決相應(yīng)的問題就變成了學(xué)生的快樂.

教學(xué)思考

首先，教師要關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的“問題化”.美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說過，問題數(shù)學(xué)的心臟，有了問題，思維才有了方向；有了問題，思維才有了動力；有了問題，思維才有了創(chuàng)新.而且教學(xué)內(nèi)容“問題化”是把“內(nèi)容本位”教學(xué)轉(zhuǎn)化為“學(xué)生本位”教學(xué)的一個有效策略.在整個授課過程中，學(xué)生由于受到未知領(lǐng)域的挑戰(zhàn)，思維始終處于活躍的狀態(tài).

其次，教師要處理好教學(xué)內(nèi)容與“問題連續(xù)體”的關(guān)系.因為在問題解決教學(xué)中，問題的分類是一個值得重視的關(guān)鍵成分.不同的問題具有不同的功能，提出什么類型的問題可以體現(xiàn)什么樣的教學(xué)價值觀.在本案例中，我們發(fā)現(xiàn)問題呈現(xiàn)遞進(jìn)式、連貫式，這正是著名學(xué)者梅克所提出的“問題連續(xù)體”的運用.隨著探究的深入，學(xué)生漸漸習(xí)慣提出問題，解決問題.無論在哪個環(huán)節(jié)，教師始終把“探究”放到了學(xué)習(xí)的首位.一個個大大小小問題的解決，都由學(xué)生親自動手操作、動腦驗證而解決.古語說的好：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”.因此，學(xué)生，可以說每一個學(xué)生在歷經(jīng)起初面對課題時的無知懵懂，到逐漸清晰，再到豁然開朗的各個階段后，所獲得的成功并非僅僅局限在課題解決方案，這一區(qū)區(qū)數(shù)學(xué)味道很濃的成果上.解決問題過程本身，留給學(xué)生的恐怕比這一課題結(jié)果來得更有意義，印象更深刻.

培養(yǎng)學(xué)生的“問題解決”能力是教育的核心目標(biāo)，新課程改革的目的和宗旨都離不開學(xué)生問題解決能力的培養(yǎng)，缺乏了這一基礎(chǔ)性能力的培養(yǎng)，新課程改革很可能陷入一種“鐘擺”狀態(tài)，得不到持續(xù)和深入的發(fā)展.對廣大一線教師而言，如何把新課程的理念轉(zhuǎn)化為具體的教育實踐，需要各種行動策略，而“問題解決”教學(xué)模式正是為這種轉(zhuǎn)化指明了一個方向，即任何教學(xué)策略最終目的之一都是要實現(xiàn)學(xué)生的問題意識和問題解決能力的培養(yǎng).它關(guān)注學(xué)生對問題解決的過程以及這一過程中學(xué)生能力、態(tài)度和情感的培養(yǎng).

作者簡介姚志敏，浙江紹興市柯橋區(qū)初中數(shù)學(xué)教研員，正教授級中學(xué)高級教師、浙江省特級教師、浙江省優(yōu)秀教研員、浙派名師首批導(dǎo)師、杭州市與紹興市等地名師班導(dǎo)師等.主要研究方向是新理念下的初中數(shù)學(xué)核心概念課、高效復(fù)習(xí)課與探究活動課課例研究.有30多篇教科研論文、案例發(fā)表在國家級及國家級核心期刊上，多篇論文被人民大學(xué)報刊復(fù)印資料轉(zhuǎn)載.endprint

設(shè)計意圖等腰三角形的證明對許多學(xué)生而言是比較簡單的，只是這里可能有聰明的學(xué)生會想產(chǎn)生質(zhì)疑，即萬一α<β怎么辦？如果學(xué)生提出來這個問題，教師可以將鈍角三角形的情形作展開，如果學(xué)生不質(zhì)疑，則教師應(yīng)在此地埋下伏筆.

7.繼續(xù)追問題8：“如圖7，在△ABC中，∠A=36°，∠B=96°，∠C=48°，可以分割成兩個等腰三角形嗎？”，請試一試.

很多學(xué)生比較容易用剛才得到的結(jié)論對號入座，可是動手畫線實踐卻發(fā)現(xiàn)不能分兩個等腰三角形，心里會比較疑惑.

設(shè)計意圖本題的設(shè)置是為了說明在“一個角為另一個角的2倍”這個條件下的一種特殊情況.這樣的設(shè)計，讓學(xué)生體驗探究是一個逐步深入的過程.

教師進(jìn)一步啟發(fā)：問題在哪里呢？條件還缺點什么呢？

這時多數(shù)學(xué)生產(chǎn)生了頓感：“三角形有一個角是另一個角的2倍時，不一定能夠被分割成兩個等腰三角形.”

教師再啟發(fā)性追問：需要增加什么條件呢？這個角有什么限制呢？

8.提出問題9：“你會計算“當(dāng)原三角形一個角為另一個角2倍時，若分割成兩個等腰三角形”，第三角的取值范圍嗎？”

教師作適當(dāng)?shù)奶崾荆鐖D8，在△ABC中，因為x+3β=180，由作圖知∠A>∠B，學(xué)生通過解不等式x>180-x3，很快就計算出x>45，這樣學(xué)生探究出這個第三角的限制條件是一定要大于45.

設(shè)計意圖讓學(xué)生在質(zhì)疑之后產(chǎn)生學(xué)習(xí)的強烈愿望，更讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)推理的樂趣，體會數(shù)學(xué)的美.

三、應(yīng)用新知，品嘗探索成果

教師再讓學(xué)生應(yīng)用新知（用新的眼光）來驗證上面六位同學(xué)發(fā)現(xiàn)……

9.出示拓展性問題10：（2008年寧波市中考題）

（1）如圖9中，∠C=90°.請用直尺和圓規(guī)作一條直線，把△ABC分割成兩個等腰三角形（不寫作法，但須保留作圖痕跡）.

（2）已知內(nèi)角度數(shù)的兩個三角形如圖10、圖11所示.請你判斷，能否分別畫一條直線把它們分割成兩個等腰三角形？若能，請寫出分割成的兩個等腰三角形頂角的度數(shù).

設(shè)計意圖經(jīng)過剛才的一番探索，同學(xué)們對新知識的應(yīng)用已成竹在胸.就連平時看上去有畏懼情緒的中考題也似乎變得親切了.有了知識的積累，解決相應(yīng)的問題就變成了學(xué)生的快樂.

教學(xué)思考

首先，教師要關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的“問題化”.美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說過，問題數(shù)學(xué)的心臟，有了問題，思維才有了方向；有了問題，思維才有了動力；有了問題，思維才有了創(chuàng)新.而且教學(xué)內(nèi)容“問題化”是把“內(nèi)容本位”教學(xué)轉(zhuǎn)化為“學(xué)生本位”教學(xué)的一個有效策略.在整個授課過程中，學(xué)生由于受到未知領(lǐng)域的挑戰(zhàn)，思維始終處于活躍的狀態(tài).

其次，教師要處理好教學(xué)內(nèi)容與“問題連續(xù)體”的關(guān)系.因為在問題解決教學(xué)中，問題的分類是一個值得重視的關(guān)鍵成分.不同的問題具有不同的功能，提出什么類型的問題可以體現(xiàn)什么樣的教學(xué)價值觀.在本案例中，我們發(fā)現(xiàn)問題呈現(xiàn)遞進(jìn)式、連貫式，這正是著名學(xué)者梅克所提出的“問題連續(xù)體”的運用.隨著探究的深入，學(xué)生漸漸習(xí)慣提出問題，解決問題.無論在哪個環(huán)節(jié)，教師始終把“探究”放到了學(xué)習(xí)的首位.一個個大大小小問題的解決，都由學(xué)生親自動手操作、動腦驗證而解決.古語說的好：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”.因此，學(xué)生，可以說每一個學(xué)生在歷經(jīng)起初面對課題時的無知懵懂，到逐漸清晰，再到豁然開朗的各個階段后，所獲得的成功并非僅僅局限在課題解決方案，這一區(qū)區(qū)數(shù)學(xué)味道很濃的成果上.解決問題過程本身，留給學(xué)生的恐怕比這一課題結(jié)果來得更有意義，印象更深刻.

培養(yǎng)學(xué)生的“問題解決”能力是教育的核心目標(biāo)，新課程改革的目的和宗旨都離不開學(xué)生問題解決能力的培養(yǎng)，缺乏了這一基礎(chǔ)性能力的培養(yǎng)，新課程改革很可能陷入一種“鐘擺”狀態(tài)，得不到持續(xù)和深入的發(fā)展.對廣大一線教師而言，如何把新課程的理念轉(zhuǎn)化為具體的教育實踐，需要各種行動策略，而“問題解決”教學(xué)模式正是為這種轉(zhuǎn)化指明了一個方向，即任何教學(xué)策略最終目的之一都是要實現(xiàn)學(xué)生的問題意識和問題解決能力的培養(yǎng).它關(guān)注學(xué)生對問題解決的過程以及這一過程中學(xué)生能力、態(tài)度和情感的培養(yǎng).

作者簡介姚志敏，浙江紹興市柯橋區(qū)初中數(shù)學(xué)教研員，正教授級中學(xué)高級教師、浙江省特級教師、浙江省優(yōu)秀教研員、浙派名師首批導(dǎo)師、杭州市與紹興市等地名師班導(dǎo)師等.主要研究方向是新理念下的初中數(shù)學(xué)核心概念課、高效復(fù)習(xí)課與探究活動課課例研究.有30多篇教科研論文、案例發(fā)表在國家級及國家級核心期刊上，多篇論文被人民大學(xué)報刊復(fù)印資料轉(zhuǎn)載.endprint