陳飛伶+張維忠

數(shù)學(xué)是一種文化，是人做出來的，數(shù)學(xué)教育要恢復(fù)其本來面貌，揭示其人文背景，讓學(xué)生親近數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)，欣賞數(shù)學(xué)[1].讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)新課程改革的出發(fā)點之一，要讓學(xué)生學(xué)會欣賞數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的源與流，體會數(shù)學(xué)的真善美.而數(shù)學(xué)的美，不僅體現(xiàn)在美觀，更在于“美妙”.數(shù)學(xué)中有很多精品，閃爍著智慧的文明之光，給人一種心靈的愉悅.本文將通過一則教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生通過折紙盒子活動，并挖掘其中的數(shù)學(xué)元素，讓學(xué)生在活動中欣賞數(shù)學(xué)智慧之美妙.

1折紙

折紙是一種起源于中國的古老藝術(shù)，在日本得到發(fā)展形成一種文化，并走向了世界.20世紀(jì)50年代，折紙藝術(shù)在西方引起轟動，“現(xiàn)代折紙藝術(shù)之父”吉澤章（Akira Yoshizawa）引發(fā)這次“折紙潮”.他創(chuàng)立了國際折紙研究會，并于20世紀(jì)60年代成為折紙藝術(shù)和文化的全球傳播者.他利用線、點、箭頭創(chuàng)造了一種可以交換技法的語言，使得紙作品的制作方式被廣泛交流分享.在當(dāng)今，折紙不僅僅是一種藝術(shù)形式，它在科學(xué)上也有廣泛的應(yīng)用.例如，汽車安全氣囊的設(shè)計、降落傘的折疊等等.

折紙在數(shù)學(xué)課堂的使用已經(jīng)并不新鮮了.折紙可以用于課堂實現(xiàn)許多理想的學(xué)習(xí)成果.例如，折紙幫助學(xué)生實現(xiàn)空間可視化和更好的交流；幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)不僅僅是公式和計算，還可以源于各種文化活動.恰當(dāng)?shù)恼奂埬Ｐ停ㄏ窈凶樱┛梢詭椭鷮W(xué)生探索重要的數(shù)學(xué)觀點，如具體的體積和表面積.折紙可以讓我們創(chuàng)建我們自己的教具，使學(xué)習(xí)具有更加的視覺體驗.此外，手工折紙也可以很漂亮，有的精致的折紙模型甚至可以是一件藝術(shù)品，這個藝術(shù)方面特點可以幫助教師激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)具有的美學(xué)價值.

2課堂構(gòu)想——折紙盒子過程

教學(xué)流程

（1）課堂導(dǎo)入

（2）提出問題

現(xiàn)在如果我們用一張長方形紙折疊成一個底面是正方形的盒子，那么大家猜想一下，紙盒的表面積和這張長方形紙的長和寬有什么關(guān)系呢？

（3）實驗活動

引導(dǎo)學(xué)生跟隨步驟1-9（見圖1-8）仔細(xì)折紙盒.這個過程不需要必須有折紙的經(jīng)驗，但在折疊的過程中必須要有耐心，并且需要在折疊的過程中使折痕盡可能的鋒利和精確.

步驟如下：

步驟1（見圖1）：準(zhǔn)備一張長方形紙（任何長度小于寬的兩倍的長方形紙都可以，最好是85cm×11cm）.將長方形紙折疊，使點A和點B重合，得到水平折痕如如所示，點C和點B重合得到豎直方向折痕如圖所示.折痕將長方形紙分為四個全等的矩形.

步驟2（見圖2）：把長方形紙沒有折痕的一面朝上.對準(zhǔn)長方形紙中間的實線，將左上角和右上角的三角形折疊下來，然后展開，得到的折痕如圖所示虛線.同樣，對準(zhǔn)長方形紙中間的實線，將左下角和右下角的三角形折疊上去，然后展開，得到的折痕如圖所示虛線.

步驟3（見圖3）：沿著圖1中左上角的虛線折疊.然后把矩形的右下角向上折疊，使右下角的點對準(zhǔn)左上角的點，展開得到的折痕如圖所示粗虛線.現(xiàn)在已經(jīng)把矩形折疊成六邊形，如圖所示.

步驟4（見圖4）：重復(fù)步驟3三次，得到折痕如圖所示.

步驟5（見圖5）：按照箭頭的指示折疊，沿著虛線標(biāo)記折痕.標(biāo)記好后，展開紙片.

步驟6（見圖6）：圖5顯示了所需要的所有折痕.觀察到的中間的陰影部分是紙盒的底部，四個陰影矩形是盒子的四個側(cè)面.這四個側(cè)面將垂直于底部.長方形紙的陰影三角形部分將被折疊和隱藏在四個側(cè)面之間.

步驟7（見圖7）：首先提起陰影三角形旁邊的兩個側(cè)面（如下圖所示）.折疊的部分用陰影三角形代表，如下面第二個圖所示.把上面的角折下來，如第三個圖所示.

步驟8（見圖8）：提起旁邊的側(cè)面（順時針移動）和用右手邊的陰影三角形代表折疊的部分（第一張圖片所示），把頂端折疊下來.

步驟9（見圖9）：在另外兩個側(cè)面重復(fù)步驟7和8.紙盒的模型應(yīng)該像第一張圖片所示.你會注意到在頂部有兩個大的部分和兩個小的部分.把兩個大的部分放下形成盒子的頂部，把兩個小的部分放在兩個較大的部分里面完成你的箱子.結(jié)果將會看起來像盒子，如第二個所示的畫面.

（4）得到結(jié)論

引導(dǎo)學(xué)生討論結(jié)果.現(xiàn)在假設(shè)構(gòu)建盒子的矩形薄板的長度和寬度的分別是x和y.此外，假設(shè)2y>x>y.圖10顯示了通過折疊標(biāo)記的折痕.打開盒子觀察折痕.此時，引導(dǎo)學(xué)生使用基本的歐幾里得幾何構(gòu)造和構(gòu)造的盒子得出以下結(jié)論：盒子正方形底部的長度=x8，構(gòu)造的盒子的高=18y2-x4，如圖11所示.

（5）小結(jié)

通過這盒子這個活動，你有何感受與體會？

在折盒子過程中，經(jīng)過教師的啟發(fā)誘導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)折紙過程中蘊含的數(shù)學(xué)元素.學(xué)生通過計算會發(fā)現(xiàn)盒子的表面積恰好是紙片面積的一半，而另一半則被“隱藏”了，真是奇妙極了！

這是學(xué)生出乎“意料之外”的結(jié)果！但通過學(xué)生自己計算證明，卻又在“情理之中”.這時候，教師再進(jìn)一步強調(diào)，數(shù)學(xué)中的許多結(jié)果往往是“意料之外，卻又在情理之中”.例如，三角形重心、垂心、內(nèi)心等概念的形成.兩條直線交于一點無可厚非，到了第三條中線，或第三條高、第三條角平分線也不偏不倚地與前面兩條正好交于同一點，造物的安排竟如此之巧.這里教師不妨先不告訴學(xué)生結(jié)果，讓學(xué)生自己作圖，自己發(fā)現(xiàn)這些一下子看不出的“真理”.[2]讓學(xué)生親自動手體驗，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)智慧的美妙，欣賞數(shù)學(xué)的美妙！同時，教師可以讓學(xué)生課外尋找體現(xiàn)數(shù)學(xué)智慧美妙的例子，共同建設(shè)一個美妙的數(shù)學(xué)花園，共同欣賞數(shù)學(xué)的美妙！

學(xué)生也會發(fā)現(xiàn)，在看不見數(shù)學(xué)的地方竟然也用上了數(shù)學(xué)，它具有不可思議的有效性.這種數(shù)學(xué)智慧，也體現(xiàn)了一種美麗的創(chuàng)新思維，令人叫絕.古人說，天不生仲尼，萬古如長夜.其實，天不生數(shù)學(xué)，萬古也長如夜.數(shù)學(xué)的作用無所不在，但又不顯山不露水，它是一個“無名英雄”.牛頓發(fā)明了微積分，它就能計算曲線運動的軌道和速度.沒有微積分，怎么會有神七、神九的返回？這個過程中，充滿了數(shù)學(xué)，但又看不見數(shù)學(xué).因為許多數(shù)學(xué)的運算和結(jié)果已經(jīng)變成固定的工程標(biāo)準(zhǔn)和程序.

3進(jìn)一步的思考

教師需要充分挖掘數(shù)學(xué)美妙智慧的素材，并在教學(xué)中緊密聯(lián)系教材或選擇符合學(xué)生認(rèn)知水平的例子來展示數(shù)學(xué)智慧的美妙，讓學(xué)生震撼：數(shù)學(xué)真奇妙，不可思議，卻又千真萬確.數(shù)學(xué)的這種美妙的智慧能充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，正如龐加萊所說的：“到底什么使我們感到一個解答、一個證明優(yōu)美呢？那就是各部分之間的和諧、對稱，恰當(dāng)好處的平衡……”.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時，常會感受到這樣的美妙時刻：一條輔助線使無處下手的幾何題豁然開朗，一個技巧使百思不得其解的不等式證明順利通過……此刻的快樂與興奮時難以用語言來形容的.這種美妙的意境，能讓學(xué)生感受到造物主安排之巧妙，數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)學(xué)之深邃，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)悟之歡快.

數(shù)學(xué)是美妙的，數(shù)學(xué)的智慧是美妙的！教師需要有一雙數(shù)學(xué)的慧眼，打開學(xué)生的視野，帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、品味、欣賞數(shù)學(xué)的美妙！杜甫詩云：“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”，回顧反思，欣賞數(shù)學(xué)的本真品味，才能全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).

參考文獻(xiàn)

[1]張奠宙、趙小平.會做數(shù)學(xué)，也要會欣賞數(shù)學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2008（8）.

[2]張奠宙.談?wù)n堂教學(xué)中如何進(jìn)行數(shù)學(xué)欣賞[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2010（12）：1-3.

作者簡介陳飛伶，浙江省麗水市人，1990年生，學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)碩士研究生，師從張維忠教授.endprint

數(shù)學(xué)是一種文化，是人做出來的，數(shù)學(xué)教育要恢復(fù)其本來面貌，揭示其人文背景，讓學(xué)生親近數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)，欣賞數(shù)學(xué)[1].讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)新課程改革的出發(fā)點之一，要讓學(xué)生學(xué)會欣賞數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的源與流，體會數(shù)學(xué)的真善美.而數(shù)學(xué)的美，不僅體現(xiàn)在美觀，更在于“美妙”.數(shù)學(xué)中有很多精品，閃爍著智慧的文明之光，給人一種心靈的愉悅.本文將通過一則教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生通過折紙盒子活動，并挖掘其中的數(shù)學(xué)元素，讓學(xué)生在活動中欣賞數(shù)學(xué)智慧之美妙.

1折紙

折紙是一種起源于中國的古老藝術(shù)，在日本得到發(fā)展形成一種文化，并走向了世界.20世紀(jì)50年代，折紙藝術(shù)在西方引起轟動，“現(xiàn)代折紙藝術(shù)之父”吉澤章（Akira Yoshizawa）引發(fā)這次“折紙潮”.他創(chuàng)立了國際折紙研究會，并于20世紀(jì)60年代成為折紙藝術(shù)和文化的全球傳播者.他利用線、點、箭頭創(chuàng)造了一種可以交換技法的語言，使得紙作品的制作方式被廣泛交流分享.在當(dāng)今，折紙不僅僅是一種藝術(shù)形式，它在科學(xué)上也有廣泛的應(yīng)用.例如，汽車安全氣囊的設(shè)計、降落傘的折疊等等.

折紙在數(shù)學(xué)課堂的使用已經(jīng)并不新鮮了.折紙可以用于課堂實現(xiàn)許多理想的學(xué)習(xí)成果.例如，折紙幫助學(xué)生實現(xiàn)空間可視化和更好的交流；幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)不僅僅是公式和計算，還可以源于各種文化活動.恰當(dāng)?shù)恼奂埬Ｐ停ㄏ窈凶樱┛梢詭椭鷮W(xué)生探索重要的數(shù)學(xué)觀點，如具體的體積和表面積.折紙可以讓我們創(chuàng)建我們自己的教具，使學(xué)習(xí)具有更加的視覺體驗.此外，手工折紙也可以很漂亮，有的精致的折紙模型甚至可以是一件藝術(shù)品，這個藝術(shù)方面特點可以幫助教師激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)具有的美學(xué)價值.

2課堂構(gòu)想——折紙盒子過程

教學(xué)流程

（1）課堂導(dǎo)入

（2）提出問題

現(xiàn)在如果我們用一張長方形紙折疊成一個底面是正方形的盒子，那么大家猜想一下，紙盒的表面積和這張長方形紙的長和寬有什么關(guān)系呢？

（3）實驗活動

引導(dǎo)學(xué)生跟隨步驟1-9（見圖1-8）仔細(xì)折紙盒.這個過程不需要必須有折紙的經(jīng)驗，但在折疊的過程中必須要有耐心，并且需要在折疊的過程中使折痕盡可能的鋒利和精確.

步驟如下：

步驟1（見圖1）：準(zhǔn)備一張長方形紙（任何長度小于寬的兩倍的長方形紙都可以，最好是85cm×11cm）.將長方形紙折疊，使點A和點B重合，得到水平折痕如如所示，點C和點B重合得到豎直方向折痕如圖所示.折痕將長方形紙分為四個全等的矩形.

步驟2（見圖2）：把長方形紙沒有折痕的一面朝上.對準(zhǔn)長方形紙中間的實線，將左上角和右上角的三角形折疊下來，然后展開，得到的折痕如圖所示虛線.同樣，對準(zhǔn)長方形紙中間的實線，將左下角和右下角的三角形折疊上去，然后展開，得到的折痕如圖所示虛線.

步驟3（見圖3）：沿著圖1中左上角的虛線折疊.然后把矩形的右下角向上折疊，使右下角的點對準(zhǔn)左上角的點，展開得到的折痕如圖所示粗虛線.現(xiàn)在已經(jīng)把矩形折疊成六邊形，如圖所示.

步驟4（見圖4）：重復(fù)步驟3三次，得到折痕如圖所示.

步驟5（見圖5）：按照箭頭的指示折疊，沿著虛線標(biāo)記折痕.標(biāo)記好后，展開紙片.

步驟6（見圖6）：圖5顯示了所需要的所有折痕.觀察到的中間的陰影部分是紙盒的底部，四個陰影矩形是盒子的四個側(cè)面.這四個側(cè)面將垂直于底部.長方形紙的陰影三角形部分將被折疊和隱藏在四個側(cè)面之間.

步驟7（見圖7）：首先提起陰影三角形旁邊的兩個側(cè)面（如下圖所示）.折疊的部分用陰影三角形代表，如下面第二個圖所示.把上面的角折下來，如第三個圖所示.

步驟8（見圖8）：提起旁邊的側(cè)面（順時針移動）和用右手邊的陰影三角形代表折疊的部分（第一張圖片所示），把頂端折疊下來.

步驟9（見圖9）：在另外兩個側(cè)面重復(fù)步驟7和8.紙盒的模型應(yīng)該像第一張圖片所示.你會注意到在頂部有兩個大的部分和兩個小的部分.把兩個大的部分放下形成盒子的頂部，把兩個小的部分放在兩個較大的部分里面完成你的箱子.結(jié)果將會看起來像盒子，如第二個所示的畫面.

（4）得到結(jié)論

引導(dǎo)學(xué)生討論結(jié)果.現(xiàn)在假設(shè)構(gòu)建盒子的矩形薄板的長度和寬度的分別是x和y.此外，假設(shè)2y>x>y.圖10顯示了通過折疊標(biāo)記的折痕.打開盒子觀察折痕.此時，引導(dǎo)學(xué)生使用基本的歐幾里得幾何構(gòu)造和構(gòu)造的盒子得出以下結(jié)論：盒子正方形底部的長度=x8，構(gòu)造的盒子的高=18y2-x4，如圖11所示.

（5）小結(jié)

通過這盒子這個活動，你有何感受與體會？

在折盒子過程中，經(jīng)過教師的啟發(fā)誘導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)折紙過程中蘊含的數(shù)學(xué)元素.學(xué)生通過計算會發(fā)現(xiàn)盒子的表面積恰好是紙片面積的一半，而另一半則被“隱藏”了，真是奇妙極了！

這是學(xué)生出乎“意料之外”的結(jié)果！但通過學(xué)生自己計算證明，卻又在“情理之中”.這時候，教師再進(jìn)一步強調(diào)，數(shù)學(xué)中的許多結(jié)果往往是“意料之外，卻又在情理之中”.例如，三角形重心、垂心、內(nèi)心等概念的形成.兩條直線交于一點無可厚非，到了第三條中線，或第三條高、第三條角平分線也不偏不倚地與前面兩條正好交于同一點，造物的安排竟如此之巧.這里教師不妨先不告訴學(xué)生結(jié)果，讓學(xué)生自己作圖，自己發(fā)現(xiàn)這些一下子看不出的“真理”.[2]讓學(xué)生親自動手體驗，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)智慧的美妙，欣賞數(shù)學(xué)的美妙！同時，教師可以讓學(xué)生課外尋找體現(xiàn)數(shù)學(xué)智慧美妙的例子，共同建設(shè)一個美妙的數(shù)學(xué)花園，共同欣賞數(shù)學(xué)的美妙！

學(xué)生也會發(fā)現(xiàn)，在看不見數(shù)學(xué)的地方竟然也用上了數(shù)學(xué)，它具有不可思議的有效性.這種數(shù)學(xué)智慧，也體現(xiàn)了一種美麗的創(chuàng)新思維，令人叫絕.古人說，天不生仲尼，萬古如長夜.其實，天不生數(shù)學(xué)，萬古也長如夜.數(shù)學(xué)的作用無所不在，但又不顯山不露水，它是一個“無名英雄”.牛頓發(fā)明了微積分，它就能計算曲線運動的軌道和速度.沒有微積分，怎么會有神七、神九的返回？這個過程中，充滿了數(shù)學(xué)，但又看不見數(shù)學(xué).因為許多數(shù)學(xué)的運算和結(jié)果已經(jīng)變成固定的工程標(biāo)準(zhǔn)和程序.

3進(jìn)一步的思考

教師需要充分挖掘數(shù)學(xué)美妙智慧的素材，并在教學(xué)中緊密聯(lián)系教材或選擇符合學(xué)生認(rèn)知水平的例子來展示數(shù)學(xué)智慧的美妙，讓學(xué)生震撼：數(shù)學(xué)真奇妙，不可思議，卻又千真萬確.數(shù)學(xué)的這種美妙的智慧能充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，正如龐加萊所說的：“到底什么使我們感到一個解答、一個證明優(yōu)美呢？那就是各部分之間的和諧、對稱，恰當(dāng)好處的平衡……”.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時，常會感受到這樣的美妙時刻：一條輔助線使無處下手的幾何題豁然開朗，一個技巧使百思不得其解的不等式證明順利通過……此刻的快樂與興奮時難以用語言來形容的.這種美妙的意境，能讓學(xué)生感受到造物主安排之巧妙，數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)學(xué)之深邃，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)悟之歡快.

數(shù)學(xué)是美妙的，數(shù)學(xué)的智慧是美妙的！教師需要有一雙數(shù)學(xué)的慧眼，打開學(xué)生的視野，帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、品味、欣賞數(shù)學(xué)的美妙！杜甫詩云：“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”，回顧反思，欣賞數(shù)學(xué)的本真品味，才能全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).

參考文獻(xiàn)

[1]張奠宙、趙小平.會做數(shù)學(xué)，也要會欣賞數(shù)學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2008（8）.

[2]張奠宙.談?wù)n堂教學(xué)中如何進(jìn)行數(shù)學(xué)欣賞[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2010（12）：1-3.

作者簡介陳飛伶，浙江省麗水市人，1990年生，學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)碩士研究生，師從張維忠教授.endprint

數(shù)學(xué)是一種文化，是人做出來的，數(shù)學(xué)教育要恢復(fù)其本來面貌，揭示其人文背景，讓學(xué)生親近數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)，欣賞數(shù)學(xué)[1].讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)新課程改革的出發(fā)點之一，要讓學(xué)生學(xué)會欣賞數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的源與流，體會數(shù)學(xué)的真善美.而數(shù)學(xué)的美，不僅體現(xiàn)在美觀，更在于“美妙”.數(shù)學(xué)中有很多精品，閃爍著智慧的文明之光，給人一種心靈的愉悅.本文將通過一則教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生通過折紙盒子活動，并挖掘其中的數(shù)學(xué)元素，讓學(xué)生在活動中欣賞數(shù)學(xué)智慧之美妙.

1折紙

折紙是一種起源于中國的古老藝術(shù)，在日本得到發(fā)展形成一種文化，并走向了世界.20世紀(jì)50年代，折紙藝術(shù)在西方引起轟動，“現(xiàn)代折紙藝術(shù)之父”吉澤章（Akira Yoshizawa）引發(fā)這次“折紙潮”.他創(chuàng)立了國際折紙研究會，并于20世紀(jì)60年代成為折紙藝術(shù)和文化的全球傳播者.他利用線、點、箭頭創(chuàng)造了一種可以交換技法的語言，使得紙作品的制作方式被廣泛交流分享.在當(dāng)今，折紙不僅僅是一種藝術(shù)形式，它在科學(xué)上也有廣泛的應(yīng)用.例如，汽車安全氣囊的設(shè)計、降落傘的折疊等等.

折紙在數(shù)學(xué)課堂的使用已經(jīng)并不新鮮了.折紙可以用于課堂實現(xiàn)許多理想的學(xué)習(xí)成果.例如，折紙幫助學(xué)生實現(xiàn)空間可視化和更好的交流；幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)不僅僅是公式和計算，還可以源于各種文化活動.恰當(dāng)?shù)恼奂埬Ｐ停ㄏ窈凶樱┛梢詭椭鷮W(xué)生探索重要的數(shù)學(xué)觀點，如具體的體積和表面積.折紙可以讓我們創(chuàng)建我們自己的教具，使學(xué)習(xí)具有更加的視覺體驗.此外，手工折紙也可以很漂亮，有的精致的折紙模型甚至可以是一件藝術(shù)品，這個藝術(shù)方面特點可以幫助教師激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)具有的美學(xué)價值.

2課堂構(gòu)想——折紙盒子過程

教學(xué)流程

（1）課堂導(dǎo)入

（2）提出問題

現(xiàn)在如果我們用一張長方形紙折疊成一個底面是正方形的盒子，那么大家猜想一下，紙盒的表面積和這張長方形紙的長和寬有什么關(guān)系呢？

（3）實驗活動

引導(dǎo)學(xué)生跟隨步驟1-9（見圖1-8）仔細(xì)折紙盒.這個過程不需要必須有折紙的經(jīng)驗，但在折疊的過程中必須要有耐心，并且需要在折疊的過程中使折痕盡可能的鋒利和精確.

步驟如下：

步驟1（見圖1）：準(zhǔn)備一張長方形紙（任何長度小于寬的兩倍的長方形紙都可以，最好是85cm×11cm）.將長方形紙折疊，使點A和點B重合，得到水平折痕如如所示，點C和點B重合得到豎直方向折痕如圖所示.折痕將長方形紙分為四個全等的矩形.

步驟2（見圖2）：把長方形紙沒有折痕的一面朝上.對準(zhǔn)長方形紙中間的實線，將左上角和右上角的三角形折疊下來，然后展開，得到的折痕如圖所示虛線.同樣，對準(zhǔn)長方形紙中間的實線，將左下角和右下角的三角形折疊上去，然后展開，得到的折痕如圖所示虛線.

步驟3（見圖3）：沿著圖1中左上角的虛線折疊.然后把矩形的右下角向上折疊，使右下角的點對準(zhǔn)左上角的點，展開得到的折痕如圖所示粗虛線.現(xiàn)在已經(jīng)把矩形折疊成六邊形，如圖所示.

步驟4（見圖4）：重復(fù)步驟3三次，得到折痕如圖所示.

步驟5（見圖5）：按照箭頭的指示折疊，沿著虛線標(biāo)記折痕.標(biāo)記好后，展開紙片.

步驟6（見圖6）：圖5顯示了所需要的所有折痕.觀察到的中間的陰影部分是紙盒的底部，四個陰影矩形是盒子的四個側(cè)面.這四個側(cè)面將垂直于底部.長方形紙的陰影三角形部分將被折疊和隱藏在四個側(cè)面之間.

步驟7（見圖7）：首先提起陰影三角形旁邊的兩個側(cè)面（如下圖所示）.折疊的部分用陰影三角形代表，如下面第二個圖所示.把上面的角折下來，如第三個圖所示.

步驟8（見圖8）：提起旁邊的側(cè)面（順時針移動）和用右手邊的陰影三角形代表折疊的部分（第一張圖片所示），把頂端折疊下來.

步驟9（見圖9）：在另外兩個側(cè)面重復(fù)步驟7和8.紙盒的模型應(yīng)該像第一張圖片所示.你會注意到在頂部有兩個大的部分和兩個小的部分.把兩個大的部分放下形成盒子的頂部，把兩個小的部分放在兩個較大的部分里面完成你的箱子.結(jié)果將會看起來像盒子，如第二個所示的畫面.

（4）得到結(jié)論

引導(dǎo)學(xué)生討論結(jié)果.現(xiàn)在假設(shè)構(gòu)建盒子的矩形薄板的長度和寬度的分別是x和y.此外，假設(shè)2y>x>y.圖10顯示了通過折疊標(biāo)記的折痕.打開盒子觀察折痕.此時，引導(dǎo)學(xué)生使用基本的歐幾里得幾何構(gòu)造和構(gòu)造的盒子得出以下結(jié)論：盒子正方形底部的長度=x8，構(gòu)造的盒子的高=18y2-x4，如圖11所示.

（5）小結(jié)

通過這盒子這個活動，你有何感受與體會？

在折盒子過程中，經(jīng)過教師的啟發(fā)誘導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)折紙過程中蘊含的數(shù)學(xué)元素.學(xué)生通過計算會發(fā)現(xiàn)盒子的表面積恰好是紙片面積的一半，而另一半則被“隱藏”了，真是奇妙極了！

這是學(xué)生出乎“意料之外”的結(jié)果！但通過學(xué)生自己計算證明，卻又在“情理之中”.這時候，教師再進(jìn)一步強調(diào)，數(shù)學(xué)中的許多結(jié)果往往是“意料之外，卻又在情理之中”.例如，三角形重心、垂心、內(nèi)心等概念的形成.兩條直線交于一點無可厚非，到了第三條中線，或第三條高、第三條角平分線也不偏不倚地與前面兩條正好交于同一點，造物的安排竟如此之巧.這里教師不妨先不告訴學(xué)生結(jié)果，讓學(xué)生自己作圖，自己發(fā)現(xiàn)這些一下子看不出的“真理”.[2]讓學(xué)生親自動手體驗，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)智慧的美妙，欣賞數(shù)學(xué)的美妙！同時，教師可以讓學(xué)生課外尋找體現(xiàn)數(shù)學(xué)智慧美妙的例子，共同建設(shè)一個美妙的數(shù)學(xué)花園，共同欣賞數(shù)學(xué)的美妙！

學(xué)生也會發(fā)現(xiàn)，在看不見數(shù)學(xué)的地方竟然也用上了數(shù)學(xué)，它具有不可思議的有效性.這種數(shù)學(xué)智慧，也體現(xiàn)了一種美麗的創(chuàng)新思維，令人叫絕.古人說，天不生仲尼，萬古如長夜.其實，天不生數(shù)學(xué)，萬古也長如夜.數(shù)學(xué)的作用無所不在，但又不顯山不露水，它是一個“無名英雄”.牛頓發(fā)明了微積分，它就能計算曲線運動的軌道和速度.沒有微積分，怎么會有神七、神九的返回？這個過程中，充滿了數(shù)學(xué)，但又看不見數(shù)學(xué).因為許多數(shù)學(xué)的運算和結(jié)果已經(jīng)變成固定的工程標(biāo)準(zhǔn)和程序.

3進(jìn)一步的思考

教師需要充分挖掘數(shù)學(xué)美妙智慧的素材，并在教學(xué)中緊密聯(lián)系教材或選擇符合學(xué)生認(rèn)知水平的例子來展示數(shù)學(xué)智慧的美妙，讓學(xué)生震撼：數(shù)學(xué)真奇妙，不可思議，卻又千真萬確.數(shù)學(xué)的這種美妙的智慧能充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，正如龐加萊所說的：“到底什么使我們感到一個解答、一個證明優(yōu)美呢？那就是各部分之間的和諧、對稱，恰當(dāng)好處的平衡……”.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時，常會感受到這樣的美妙時刻：一條輔助線使無處下手的幾何題豁然開朗，一個技巧使百思不得其解的不等式證明順利通過……此刻的快樂與興奮時難以用語言來形容的.這種美妙的意境，能讓學(xué)生感受到造物主安排之巧妙，數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)學(xué)之深邃，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)悟之歡快.

數(shù)學(xué)是美妙的，數(shù)學(xué)的智慧是美妙的！教師需要有一雙數(shù)學(xué)的慧眼，打開學(xué)生的視野，帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、品味、欣賞數(shù)學(xué)的美妙！杜甫詩云：“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”，回顧反思，欣賞數(shù)學(xué)的本真品味，才能全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).

參考文獻(xiàn)

[1]張奠宙、趙小平.會做數(shù)學(xué)，也要會欣賞數(shù)學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2008（8）.

[2]張奠宙.談?wù)n堂教學(xué)中如何進(jìn)行數(shù)學(xué)欣賞[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2010（12）：1-3.

作者簡介陳飛伶，浙江省麗水市人，1990年生，學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）專業(yè)碩士研究生，師從張維忠教授.endprint