蔣會兵　張定強(qiáng)

幾何直觀是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中明確提出的十大核心概念之一，并將其界定為：“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果.幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用.”[1]新一輪基礎(chǔ)教育課程改革一直都把重視學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一，在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中將幾何直觀作為空間觀念的一部分，而在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中明確提出培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力[2-3].為了進(jìn)一步解析幾何直觀內(nèi)涵及教育價值，探究培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的策略，一些專家、學(xué)者以及一線教師對幾何直觀進(jìn)行了大量的研究，取得了豐富的研究成果.本文以新課程實(shí)施以來國內(nèi)關(guān)于幾何直觀的文獻(xiàn)為研究對象進(jìn)行文獻(xiàn)綜述，主要對幾何直觀的內(nèi)涵、教育價值、在教學(xué)實(shí)際中的應(yīng)用以及培養(yǎng)策略等方面進(jìn)行綜述，并對幾何直觀研究進(jìn)行簡要述評，進(jìn)而探討幾何直觀未來的研究走向.

1新課程實(shí)施以來國內(nèi)幾何直觀的研究現(xiàn)狀

1.1幾何直觀的內(nèi)涵研究

幾何直觀作為《標(biāo)準(zhǔn)》中的十大核心概念之一，概念本身具有著豐富的內(nèi)涵，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著重要的地位和作用.而對于幾何直觀概念在《標(biāo)準(zhǔn)》中主要是以描述性解釋的方式加以界定，主要體現(xiàn)的是幾何直觀的價值及意義，對幾何直觀概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)揭示還不夠完善.為了對幾何直觀的內(nèi)涵有更深入的理解，研究者們從不同的視角對幾何直觀的內(nèi)涵提出了自己獨(dú)到的見解與看法.

張海生認(rèn)為幾何直觀內(nèi)涵理解主要包含兩個層次：一是幾何；二是直觀.幾何主要是指圖形，直觀就是借助于經(jīng)驗(yàn)、觀測、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生對事物關(guān)系直接感知與認(rèn)識，通過直觀建立起人對自身體驗(yàn)和外部體驗(yàn)的對應(yīng)關(guān)系[4].這種層次視角的理解與《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）解讀》中對幾何直觀的理解相類似，并且特別指出直觀并不是停留在直觀、表面上的初步體驗(yàn)，而是一種通過圖形所展開的想象力，是一種透過現(xiàn)象看本質(zhì)的洞察力.

苑建廣認(rèn)為幾何直觀是以圖形和直觀符號為活動要件，以直觀化的信息加工過程為形態(tài)的一種認(rèn)知方式，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中起著關(guān)鍵作用.并且認(rèn)為學(xué)生形成和使用幾何直觀是有水平和層次差異的.為此，他提出了幾何直觀的三個層次：第一層次，建立和形成敏捷而準(zhǔn)確的幾何直觀——感覺與圖形相隨；第二層次，實(shí)施深入而靈活的幾何探索——視角與思維共行；第三層次，成為分析和解決問題的有效工具——抽象與形象互輔.在每一個層次之下都有三個具體的表現(xiàn)特征，為刻畫和理解幾何直觀的內(nèi)涵提供了更加詳細(xì)的理論框架[5].

孔凡哲，史寧中認(rèn)為幾何直觀是指借助于見得到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系對數(shù)學(xué)的研究對象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知和整體把握的能力.幾何直觀是一種特殊的數(shù)學(xué)直觀，具體可以體現(xiàn)為實(shí)物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、代替物直觀等四種表現(xiàn)形式.為了更好的理解幾何直觀的內(nèi)涵，將幾何直觀與空間觀念、幾何推理、幾何直覺等核心概念進(jìn)行比較分析，從本質(zhì)上理解它們的區(qū)別與聯(lián)系[6].

劉曉玫認(rèn)為幾何直觀是具體的，不是虛無的，它與數(shù)學(xué)內(nèi)容緊密相連，很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容和概念都具有雙重性，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”，必須從這兩個角度認(rèn)識他們，只有這樣才能使這些內(nèi)容、概念變得形象、直觀，變得可以運(yùn)用它們?nèi)ニ伎紗栴}，形成幾何直觀能力.借助圖形描述事物不僅可以把抽象事物直觀化，使人們更容易了解其內(nèi)在的性質(zhì)和規(guī)律，而且還可以找到解決問題的途徑和方法[7].

蔡宏圣認(rèn)為對于幾何直觀的理解可以從以下幾個方面進(jìn)行：（1）幾何直觀基于“圖形與幾何”而又超越“圖形與幾何”；（2）對圖形的理解可以寬泛一些；（3）圖形更為重要的是表達(dá)關(guān)系；（4）要看到圖形直觀性，更要看到圖形的抽象性；（5）幾何直觀是種意識，也是種技能與能力，更是種思維方式[8].

1.2幾何直觀的教育價值研究

關(guān)于幾何直觀教育價值問題的探討，我國學(xué)者普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)中重視幾何直觀的培養(yǎng)有助于學(xué)生更好地理解概念本質(zhì)及探索規(guī)律，有助于將抽象的數(shù)學(xué)對象直觀化、顯性化，有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力及創(chuàng)新能力等.

許新征認(rèn)為幾何直觀的教育價值主要表現(xiàn)為：（1）借助幾何圖形，理解數(shù)學(xué)概念；（2）借助幾何圖形，分析數(shù)學(xué)問題；（3）借助幾何圖形，探索數(shù)學(xué)規(guī)律[9].

黃國洪認(rèn)為小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，首先，從直觀教學(xué)開始，注重操作，引導(dǎo)學(xué)生把圖形畫出來；其次，重視變換，讓圖形動起來；再次，借助幾何直觀培養(yǎng)推理能力；最后，逐步引導(dǎo)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，感悟數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，使學(xué)生的認(rèn)知多元化，以更好發(fā)揮幾何直觀的教學(xué)價值[10].

劉愛東認(rèn)為幾何直觀在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中具有不可替代的作用：一方面，可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，借助圖形，使得抽象的概念、算理、法則、公式變得形象簡明；另一方面，也能培養(yǎng)學(xué)生利用幾何直觀發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、簡化思路，尋求個性化數(shù)學(xué)思考的能力.并將幾何直觀教育價值進(jìn)一步細(xì)化為：依托直觀支持，深化概念理解；把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，優(yōu)化思維表達(dá)；完善數(shù)學(xué)建構(gòu)，引領(lǐng)顯性建模[11].

劉新敏認(rèn)為幾何直觀在學(xué)生日常學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)理解過程中具有重要的作用，主要表現(xiàn)為以下幾個方面：（1）借助幾何直觀可以幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念；（2）借助幾何直觀可以幫助學(xué)生理解算理；（3）借助幾何直觀可以幫助學(xué)生更好的實(shí)現(xiàn)理解和記憶；（4）借助幾何直觀可以幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系；（5）借助幾何直觀可以幫助學(xué)生認(rèn)識圖形的特征[12].

1.3幾何直觀在教學(xué)實(shí)際中的應(yīng)用研究

幾何直觀在數(shù)學(xué)教學(xué)中的教育價值已得到大家認(rèn)可，但如何在數(shù)學(xué)課堂中滲透幾何直觀卻讓很多教師犯難.為此，一些教師結(jié)合自己的課堂教學(xué)內(nèi)容將幾何直觀滲透到實(shí)際的教學(xué)內(nèi)容之中，為一線課堂教學(xué)如何滲透幾何直觀提供了具有可操作性的理論借鑒.endprint

劉善娜通過小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算概念的教學(xué)片斷，詳細(xì)論述運(yùn)算概念教學(xué)中如何滲透幾何直觀.她認(rèn)為，幾何直觀可以借助形與數(shù)的對應(yīng)幫助學(xué)生理解形與數(shù)的關(guān)聯(lián)，有助于運(yùn)算概念的引入；可以借助形的表象來幫助學(xué)生理解抽象的運(yùn)算算理，有助于運(yùn)算方法的理解和掌握；可以借助形的幾何推算激發(fā)學(xué)生對運(yùn)算規(guī)律的探究欲望，有助于運(yùn)算規(guī)律的運(yùn)用[13].

曹軍結(jié)合自己日常教學(xué)中教學(xué)片斷，例舉了具體的教學(xué)片斷來呈現(xiàn)教學(xué)過程中如何滲透幾何直觀，并進(jìn)一步分析幾何的教學(xué)價值.通過“認(rèn)識公倍數(shù)”的教學(xué)片斷，借助幾何直觀性和圖形之間的聯(lián)系，有效的闡明了數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，將抽象的數(shù)學(xué)概念形象化、簡單化，使學(xué)生對公倍數(shù)的概念有了清晰的認(rèn)識.通過“分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘”教學(xué)片斷，詳細(xì)介紹如何借助幾何直觀理解計(jì)算算理.最后，通過“有關(guān)面積計(jì)算的實(shí)際問題”的教學(xué)片斷，提出通過“獨(dú)立畫圖——交流畫法”的學(xué)習(xí)模式，使學(xué)生利用幾何直觀解決實(shí)際問題[14].

姚高文通過幾何直觀在問題表征中的應(yīng)用舉例，認(rèn)為幾何直觀在問題表征中的應(yīng)用主要體現(xiàn)為四個方面：（1）依托實(shí)物模型進(jìn)行問題表征；（2）依托抽象模型進(jìn)行問題表征；（3）依托簡約示意圖進(jìn)行問題表征；（4）依托線段圖進(jìn)行問題表征[15].

許冰彬認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀的滲透應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)：（1）強(qiáng)化用圖意識，建立抽象與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系；（2）善用讀圖能力，實(shí)現(xiàn)表象與語言的轉(zhuǎn)化；（3）關(guān)注運(yùn)動想象，貫徹表征與概念的統(tǒng)一；（4）巧于構(gòu)造圖形，尋求代數(shù)與幾何的平衡[16].

1.4幾何直觀能力的培養(yǎng)策略研究

幾何直觀能力的培養(yǎng)對數(shù)學(xué)教學(xué)以及學(xué)生個體的發(fā)展都有著重要的價值和意義.在幾何直觀能力培養(yǎng)策略研究方面，我國學(xué)者從不同的視角提出了不同的觀點(diǎn)及看法，為培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力提供了有價值的理論指導(dǎo)和實(shí)踐參考.

黃偉星、顧曉華認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力首先要從直觀教學(xué)入手，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用畫圖的策略分析題意，解決簡單的實(shí)際問題，逐步上升到能將直觀圖與數(shù)學(xué)語言、符號語言進(jìn)行合情轉(zhuǎn)化，并逐步在解決數(shù)學(xué)問題的過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想.感悟數(shù)與形、形與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化.具體表現(xiàn)為：（1）重視直觀感知，突出畫圖策略的培養(yǎng)；（2）重視直觀圖形與數(shù)學(xué)符號的合情轉(zhuǎn)化；（3）重視數(shù)與形的結(jié)合[17].

石麗輝認(rèn)為培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的有效途徑主要有：第一，注重模型的作用，讓學(xué)生參與模型的制作；第二，培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力；第三，多進(jìn)行文字語言、符號語言和圖形語言之間的互譯訓(xùn)練[18].

苑建廣認(rèn)為，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該準(zhǔn)確把握以下幾個方面：第一，在內(nèi)容學(xué)習(xí)方面，應(yīng)借助實(shí)物或者實(shí)物直觀引入幾何概念，幫助學(xué)生深化對幾何命題的理解；第二，在知識應(yīng)用方面，應(yīng)幫助學(xué)生樹立應(yīng)用幾何直觀的意識，養(yǎng)成借助幾何推理的習(xí)慣；第三，從教學(xué)評價方面看，應(yīng)改進(jìn)評價方法，實(shí)施多元評價[5].

楊孝斌、任勁松認(rèn)為學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)的策略主要有：（1）重視幾何直觀教學(xué)與學(xué)生實(shí)際生活的聯(lián)系；（2）重視學(xué)生對幾何對象的觀察與操作；（3）重視幾何教學(xué)與其他知識教學(xué)的聯(lián)系；（4）重視學(xué)生用語言表述對幾何問題的直觀感受；（5）重視幾何直觀的合情推理教學(xué)；（6）重視現(xiàn)代信息技術(shù)在幾何直觀教學(xué)中的應(yīng)用[19].

2“幾何直觀”研究現(xiàn)狀評述

自新課程實(shí)施以來，國內(nèi)學(xué)者對幾何直觀的四個方面進(jìn)行了較多的探索和研究，使得幾何直觀成為了一個新的研究熱點(diǎn).已有的研究在理論和實(shí)踐層面都取得了一定的研究成果，具有一定的研究價值.但從定量分析和客觀角度來看，關(guān)于幾何直觀的研究仍然存在有待改進(jìn)和提升之處.

2.1對幾何直觀內(nèi)涵理解不清

幾何直觀作為《標(biāo)準(zhǔn)》中提出的十大核心概念之一，其內(nèi)涵是豐富多樣的.由于研究者理解視角和水平的差異，使得在研究過程中對幾何直觀內(nèi)涵的理解存在以下不足：大部分學(xué)者對幾何直觀沒有給出確切的涵義，只是引用《標(biāo)準(zhǔn)》中給出的描述性解釋或是將幾何直觀分為“幾何”與“直觀”兩個方面進(jìn)行解釋，沒有從本質(zhì)上解釋他們之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián).因此，對幾何直觀內(nèi)涵理解不清，就會導(dǎo)致在研究或教學(xué)中出現(xiàn)含混不清、模棱兩可的現(xiàn)象.

2.2幾何直觀教育價值認(rèn)識不到位

幾何直觀在數(shù)學(xué)教學(xué)以及學(xué)生能力培養(yǎng)方面有著重要的價值及意義，但在教學(xué)和研究過程中存在對幾何直觀教育價值認(rèn)識不到位的現(xiàn)象.現(xiàn)有的研究只是從理論分析視角闡述了幾何直觀的“應(yīng)然價值”，沒有結(jié)合教學(xué)實(shí)際從教學(xué)過程中分析幾何直觀在數(shù)學(xué)教學(xué)和培養(yǎng)學(xué)生能力方面的“實(shí)然價值”.為此，只有通過結(jié)合實(shí)際的教學(xué)，從幾何直觀的本質(zhì)及教學(xué)實(shí)際出發(fā)，將二者有機(jī)結(jié)合到一起，才能真正發(fā)揮幾何直觀的教育價值.

2.3幾何直觀在教學(xué)中應(yīng)用研究不深入

幾何直觀在數(shù)學(xué)教學(xué)的很多地方都可以體現(xiàn)，將幾何直觀應(yīng)用到實(shí)際的教學(xué)中，通過幾何直觀的滲透來完成教學(xué)任務(wù)，這是幾何直觀研究的重要內(nèi)容.但通過已有研究發(fā)現(xiàn)：幾何直觀的數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)際應(yīng)用的研究相對較少，通過具體的實(shí)例來體現(xiàn)幾何直觀在教學(xué)中的應(yīng)用也相對缺乏.另外，在已有的研究中多以幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用為主，對初、高中幾何直觀在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用研究匱乏.

2.4缺乏對幾何直觀能力的實(shí)證研究，培養(yǎng)策略實(shí)際操作性不強(qiáng)

幾何直觀能力的培養(yǎng)是教學(xué)的主要目的，通過在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透幾何直觀，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.通過對已有研究成果分析發(fā)現(xiàn)：幾何直觀能力培養(yǎng)策略的研究中缺乏實(shí)證性研究，對學(xué)生幾何直觀能力的具體水平劃分不清楚.因此，提出的幾何直觀能力培養(yǎng)策略不切合實(shí)際，可操作性不強(qiáng)，缺乏針對性.并且研究的對象主要是以小學(xué)生為主，對中學(xué)生幾何直觀能力水平缺乏實(shí)證研究.

3“幾何直觀”研究展望

幾何直觀對教師的教學(xué)以及學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都有著重要意義，它可以看做是一項(xiàng)基本的能力.為此，我們應(yīng)該給予其高度的重視，通過相關(guān)研究為教師教學(xué)和學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)提供有價值的理論指導(dǎo)和實(shí)踐參考.筆者認(rèn)為未來幾何直觀研究應(yīng)重視以下四個方面：endprint

3.1進(jìn)一步明晰幾何直觀內(nèi)涵

盡管研究者對幾何直觀的內(nèi)涵有了一些認(rèn)識，但是大多數(shù)都是基于《標(biāo)準(zhǔn)》基礎(chǔ)之上的理解及解釋，沒有從數(shù)學(xué)本質(zhì)對幾何直觀內(nèi)涵進(jìn)行深入的理解.幾何直觀的內(nèi)涵是進(jìn)行幾何直觀教學(xué)、培養(yǎng)幾何直觀能力的基礎(chǔ)，所以深入理解幾何直觀內(nèi)涵具有十分重要的意義.未來研究中需結(jié)合數(shù)學(xué)哲學(xué)，數(shù)學(xué)史從幾何直觀的發(fā)展演變過程對幾何直觀進(jìn)行理解，并結(jié)合相關(guān)概念，如“幾何直覺”、“空間觀念”等.從概念的區(qū)別和聯(lián)系進(jìn)一步明晰幾何直觀內(nèi)涵.

3.2強(qiáng)化對幾何直觀教育價值的認(rèn)識

幾何直觀的教育價值是寬泛的，不僅對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有重要的意義，而且對學(xué)生思維能力、創(chuàng)新能力的發(fā)展也具有重要的價值.為此，不管是在研究過程還是教學(xué)過程中都應(yīng)高度重視幾何直觀在教學(xué)以及學(xué)生能力培養(yǎng)方面的重要作用.通過實(shí)際的教學(xué)過程將幾何直觀的“應(yīng)然價值”轉(zhuǎn)化為適合學(xué)生發(fā)展的“實(shí)然價值”.

3.3深化幾何直觀在教學(xué)中的應(yīng)用研究

很多的教學(xué)內(nèi)容、概念、定理等都具有“數(shù)”與“形”兩個方面的本質(zhì)特征，這些內(nèi)容的教學(xué)過程中幾何直觀具有重要的作用.為此，幾何直觀在教學(xué)中的應(yīng)用就成為了研究的重點(diǎn).未來幾何直觀在教學(xué)中應(yīng)用研究應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)：（1）多以具體的教學(xué)內(nèi)容為載體，通過巧妙的設(shè)計(jì)，在教學(xué)過程中充分體現(xiàn)幾何直觀；（2）加強(qiáng)幾何直觀在中學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的應(yīng)用研究.

3.4大力開展實(shí)證性量化研究，提出具有實(shí)踐性、可操作性的培養(yǎng)策略

幾何直觀能力是學(xué)生能力發(fā)展的重要組成部分之一，是學(xué)生要求具備的基本能力之一.了解和掌握學(xué)生幾何直觀能力水平，對學(xué)生幾何直觀能力培養(yǎng)策略的提出有著重要意義.因此，未來研究中需要大力開展幾何直觀能力的實(shí)證性量化研究，通過具體的實(shí)證研究結(jié)合學(xué)生的發(fā)展特點(diǎn)，有針對性的提出具有實(shí)踐性、可操作性的培養(yǎng)策略.進(jìn)而在日常教學(xué)中幫助學(xué)生不斷提高自己的幾何直觀能力，促進(jìn)學(xué)生能力全面發(fā)展.

4結(jié)束語

幾何直觀是影響中小學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展的重要因素之一，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，是數(shù)學(xué)課程“圖形與幾何”領(lǐng)域的核心目標(biāo)之一[6].幾何直觀的研究對數(shù)學(xué)教學(xué)以及學(xué)生能力的發(fā)展都有著重要的意義.為此，研究過程應(yīng)選擇適切的問題，采用科學(xué)的方法，找準(zhǔn)切入口，以綜合系統(tǒng)的觀點(diǎn)分析現(xiàn)象，并通過實(shí)證性的比較分析，提出具有實(shí)踐性、可操作性的幾何直觀能力培養(yǎng)策略.

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