何玉蘭

（新疆溫宿縣第二中學(xué)，新疆 溫宿 843100）

新課程標(biāo)準(zhǔn)下開展數(shù)學(xué)“反思學(xué)習(xí)法”的探究

何玉蘭

（新疆溫宿縣第二中學(xué)，新疆 溫宿 843100）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實驗）指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一”。為了幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，在高一學(xué)生中嘗試開展“反思學(xué)習(xí)法”，通過實驗，實施在例題的方法規(guī)律處反思，在易錯處反思，解題后反思的策略，促進學(xué)生形成反思習(xí)慣，達(dá)到培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維的目的。

新課程標(biāo)準(zhǔn)；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)反思

一、問題的提出

高中階段的教學(xué)中，我們經(jīng)常會遇到這樣的現(xiàn)象，學(xué)生普遍認(rèn)為，數(shù)學(xué)難學(xué)，盡管他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很努力，但很難有成功的喜悅，一些在初中數(shù)學(xué)成績較好的學(xué)生，甚至在中考中數(shù)學(xué)取得優(yōu)秀成績的學(xué)生，經(jīng)過高中一段時間的學(xué)習(xí)后，數(shù)學(xué)成績卻呈下降趨勢。造成這種現(xiàn)象的原因是多方面的，根據(jù)皮亞杰的“發(fā)生認(rèn)知理論”，我們可以看到一個非常重要的原因，就是從初中到高中的過渡時期正是人的思維由具體運演階段過渡到形式運演階段的時期。在這一時期思維要逐漸由接受具體事物向接受抽象理論過渡，而大部分學(xué)生進入高一以后不能很好地轉(zhuǎn)換思維模式，不能適應(yīng)高中具有高度理性思維的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，他們對老師的例題一聽就懂，可自己解題時，一做就錯或無從下手，他們最愛問的問題是：“老師，你是怎樣想出來的？”這表明學(xué)生思維水平相對還比較薄弱，成為制約學(xué)生高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的瓶頸?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實驗）指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。在數(shù)學(xué)教育教學(xué)實踐中，我們發(fā)現(xiàn)存在這樣的普遍規(guī)律：數(shù)學(xué)學(xué)困生和數(shù)學(xué)優(yōu)秀生在數(shù)學(xué)成績上產(chǎn)生差異的主要原因是對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動缺乏自我意識，對于解決數(shù)學(xué)問題的過程缺少自我檢驗、自我反思，即主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維水平的差異。我們知道，數(shù)學(xué)教學(xué)的一個很重要的任務(wù)，就是教會學(xué)生如何解數(shù)學(xué)題，教會學(xué)生“數(shù)學(xué)的思維”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，給我們印象最深刻的是不斷地提出問題、研究問題、求解問題。衡量我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成效也主要通過解決數(shù)學(xué)問題的水平來評價。數(shù)學(xué)解題活動本質(zhì)上是一種思維活動，它不僅是一個對目標(biāo)、材料信息的認(rèn)定、操作過程，而且也是一個積極、自覺地定向、控制、檢查、調(diào)節(jié)的認(rèn)知過程，這里的檢查和調(diào)節(jié)的過程即對解題過程進行反思的過程。從目前的研究來看，關(guān)于各類型問題的積累、解題的具體過程、技巧的偏多，而對于學(xué)生究竟怎樣思考，他們所遇到的主要困難，學(xué)生解題的思維過程和思維模式的分析相對較少。為了能夠讓學(xué)生盡快完成思維的過渡，幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，筆者在高一學(xué)生中嘗試開展“反思學(xué)習(xí)

指導(dǎo)法”，旨在著重訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

二、概念界定與理論綜述

“反思學(xué)習(xí)法”即某節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)后，教師及時引導(dǎo)學(xué)生回憶和反思教和學(xué)的過程，講清教師設(shè)計的每一個例題的用意，指出教師設(shè)計每個（組）練習(xí)題的目的，提出對學(xué)生的要求：每次解題之后都要嘗試“解題回顧”，即對自己的解題過程進行自我檢驗；同時糾正不認(rèn)真反思、不積極思考而等待老師講的壞習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生對自己的解題過程進行反思、做出評價的習(xí)慣。通過培養(yǎng)反思習(xí)慣，使學(xué)生有意識地對自己的學(xué)習(xí)過程進行回顧和檢驗，并逐步形成反思意識，培養(yǎng)學(xué)生的理性精神。為什么反思可以優(yōu)化解題策略，調(diào)控解題過程呢？常識告訴我們，數(shù)學(xué)書不能像小說那樣“看”，而是要邊讀、邊想、邊做，“不拿筆，不讀（數(shù)學(xué)）書”已成為學(xué)數(shù)學(xué)的常識，為什么？原因很簡單：數(shù)學(xué)思維不能總是順暢地進行，而是走走停停，曲折前行。在數(shù)學(xué)解題中，數(shù)學(xué)教育家波利亞在他的“解題表”中把解題分為四步（如圖）

數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜性使解題的每一步都可能“做不下去”，因而形成對前一步的超短反饋回路，而該步“做不下去”，也可能是此前的步驟造成的，因而形成對此前的每一步都可能出現(xiàn)反饋回路，從而形成思維的反復(fù)。由于“檢驗回顧”步驟（即反思）擔(dān)負(fù)著監(jiān)理整個解題過程（思維過程）的任務(wù)，因而形成最多和最好的回路。那么怎樣進行反思呢？對于檢驗回顧步驟，可以就如下一些問題進行反思。這個求解過程是否有問題？有其他解法嗎？有無更好的解法？這種方法或結(jié)果能用在別的題目上嗎？這道題為何總解不出，它的反面如何？什么是好的解法？對解的評價問題，可以用如下的標(biāo)準(zhǔn)：第一，嚴(yán)格的并且是簡單的；第二，初等的并且是富有新意的（即通過求解或證明，對題目有新的認(rèn)識）；第三，盡可能是構(gòu)造性的；第四、自然的，容易想到的；第五，便于推廣使用的（甚至于能概括出新的原則和方法）。

三、培養(yǎng)學(xué)生反思意識的具體實施策略

1.在例題的方法規(guī)律處反思。“例題千萬道，解后拋九霄”是學(xué)生中普遍存在的現(xiàn)象，難以達(dá)到提高解題能力、發(fā)展思維的目的。因此要培養(yǎng)學(xué)生善于在老師的例題解決過程中反思解題的基本方法并予以歸類，總結(jié)規(guī)律，揣摩技巧，再進一步作一題多變，一題多問，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴大例題的輻射面。例如：這道必修1《函數(shù)》一章的例題。已知二次函數(shù)圖像的對稱軸是x=1，圖像經(jīng)過點（-2，-5），且在x軸上所截取的線段長為4，求這個二次函數(shù)的解析式?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生作如下思考：讀完題目后，馬上想到的解決本題的基本方法有哪些；解題過程中，你的頭腦里是否有一個函數(shù)圖像的草圖，你覺得函數(shù)圖像草圖在解題過程中的作用是什么；解答本題最好應(yīng)該用哪種方法；請你檢查解題過程，并把檢查過程寫下來。通過對例題的層層分析，讓學(xué)生明白，問題與問題之間不是孤立的，許多表面上看似無關(guān)的問題卻有內(nèi)在的聯(lián)系，解題不能就題論題，要尋找問題與問題之間本質(zhì)的聯(lián)系，要質(zhì)疑為什么有這樣的問題，它和哪些問題有聯(lián)系。能否受這個問題的啟發(fā)，讓學(xué)生在不斷的知識聯(lián)系和知識整合中，豐富認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容，體驗“反思”帶來的樂趣，有利于培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題。

2.在易錯處反思。學(xué)生的知識背景、思維方式、情感體驗往往和成人不同，而其表達(dá)方式可能又不準(zhǔn)確，這就難免有“錯”。教學(xué)若能從此切入，進行反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果！比如：必修1《函數(shù)的奇偶性》的教學(xué)中判斷的奇偶性。學(xué)生很容易把函數(shù)化簡為f（x）=x從而判斷函數(shù)為奇函數(shù)。當(dāng)學(xué)生犯了這個錯誤時，請他們反思：這個化簡的思路有什么問題，是等價變形嗎？從而引導(dǎo)學(xué)生挖掘判斷函數(shù)的奇偶性要先從判斷定義域是否關(guān)于原點對稱入手，這正是學(xué)生容易忽略掉的。引導(dǎo)學(xué)生對解錯的問題進行反思，比如：（1）常出現(xiàn)哪些方面的錯誤；（2）出現(xiàn)這些錯誤的原因有哪些；（3）怎樣克服這些錯誤，等等。同學(xué)們各抒己見，針對各種“病因”開出了有效的“方子”。實踐證明，這樣的例題教學(xué)是成功的，學(xué)生在準(zhǔn)確率、速度等個方面都有極大的提高。關(guān)鍵是通過對錯題的反思，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實的作風(fēng)和縝密的理性思維。

3.解題后反思。解數(shù)學(xué)題，有時由于審題不確，概念不清，忽視條件，套用相近知識，考慮不周或計算出錯，難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯誤，即學(xué)生解數(shù)學(xué)題，不能保證一次性正確和完善。所以解題后，必須對解題過程進行回顧和評價，對結(jié)論的正確性和合理性進行驗證?？墒且恍┩瑢W(xué)把完成作業(yè)當(dāng)成是趕任務(wù)，解完題目萬事大吉，頭也不回，揚長而去。由此產(chǎn)生大量謬誤。因此要培養(yǎng)學(xué)生積極反思、系統(tǒng)小結(jié)，使重要數(shù)學(xué)方法、公式、定理的應(yīng)用規(guī)律條理化，在解題中應(yīng)用自如、改進過程，尋找解題方法上的創(chuàng)新。在問題解決之后，要不斷地反思：解題過程是否浪費了重要的信息，能否開辟新的解題通道；解題過程多走了哪些思維回路，思維、運算能否變得簡捷；是否拘泥于思維定式，照搬了熟悉的解法等。通過不斷地質(zhì)疑，不斷改進，讓解題過程更具有合理性、科學(xué)性、簡捷性。解題之后，要不斷地探究問題的知識結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)性。能否對問題蘊含的知識進行縱向深入的探究？能否加強知識的橫向聯(lián)系？把問題所蘊含孤立的知識“點”，擴展到系統(tǒng)的知識“面”。通過不斷地拓展、聯(lián)系，加強對知識結(jié)構(gòu)的理解，進而形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識的系統(tǒng)性。這樣的反思可以使學(xué)生的思維更加系統(tǒng)和深化，對學(xué)生的形式運演階段的思維成熟是大有裨益的。

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：反思是數(shù)學(xué)活動的核心和動力。反思過程是主體自覺地對自身認(rèn)知活動進行回顧、思考、總結(jié)、評價、調(diào)節(jié)的過程。所以反思是認(rèn)知活動中強化自我意識、進行自我檢驗和自我調(diào)節(jié)的重要形式。在教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生及時檢查自己的學(xué)習(xí)過程，增強對學(xué)習(xí)過程和結(jié)果進行反思的意識，提高學(xué)生檢查和反思的技能，使其養(yǎng)成反思的習(xí)慣，能夠自覺地在解題以后總結(jié)解題的關(guān)鍵和成敗得失，將問題進行推廣和引申，培養(yǎng)對題目蘊含的數(shù)學(xué)思想方法進行抽象和概括的能力。在不斷的反思中學(xué)會獨立思考，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維認(rèn)識和解決問題，正如為數(shù)學(xué)思維插上了一雙靈動的翅膀，引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域里振翅飛翔！

[1][美]G.波利亞.怎樣解題[M].北京：科學(xué)出版社，1982.

[2]章建躍.中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科自我監(jiān)控能力[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2003.

[3]董奇，周勇.關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)自我監(jiān)控的實驗研究[J].北京師范大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版），1995，（1）.

[4]潘振嶸.在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的自我監(jiān)控能力[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2002，（11）.

G632.0

A

1674-9324（2014）13-0232-03

何玉蘭，新疆阿克蘇地區(qū)溫宿縣第二中學(xué)，中學(xué)高級教師。