楊佑發(fā)， 李 帥， 李海龍

(1.重慶大學(xué) 山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400045；2.重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400045)

近年來隨機(jī)狀態(tài)空間理論在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)識(shí)別的應(yīng)用有了很大的發(fā)展，尤其是隨機(jī)子空間辨識(shí)(Stochastic Subspace Identification, SSI)方法的出現(xiàn)使得激勵(lì)未知的系統(tǒng)辨識(shí)(或工作模態(tài)分析)問題成為可能，其優(yōu)點(diǎn)在于無需貴重的激勵(lì)設(shè)別，不需要中斷結(jié)構(gòu)的正常使用[1]。張之穎等[2]利用隨機(jī)減量技術(shù)和ITD方法相結(jié)合，從而有效地識(shí)別環(huán)境激勵(lì)下建筑結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。隨機(jī)子空間法由于其不需要經(jīng)過隨機(jī)減量法或者NExT法得到結(jié)構(gòu)的自由衰減曲線，且識(shí)別精度高等優(yōu)點(diǎn)，得到了國(guó)內(nèi)學(xué)者的廣泛關(guān)注。任偉新[3]對(duì)15層鋼筋混凝土建筑和鋼拱橋進(jìn)行了模態(tài)參數(shù)識(shí)別，通過對(duì)比得出結(jié)論：峰值法簡(jiǎn)單、快捷、適用，但精度不高；隨機(jī)子空間法工作量大、耗時(shí)多，但識(shí)別精度高。徐良等[4]利用隨機(jī)子空間法對(duì)虎門懸索橋進(jìn)行了模態(tài)參數(shù)識(shí)別。章國(guó)穩(wěn)等[5]提出了一種基于特征值分解的隨機(jī)子空間算法，解決了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)隨機(jī)子空間法計(jì)算效率低下的問題，通過重慶朝天門大橋模型分析驗(yàn)證了該方法的計(jì)算效率。

隨機(jī)子空間法[6-7]是一種時(shí)域模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法。其主要思想是以狀態(tài)空間模型為識(shí)別模型，以協(xié)方差為統(tǒng)計(jì)量，利用信號(hào)和噪聲的不相關(guān)性來去除噪聲，最后采用奇異值分解法來識(shí)別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。隨機(jī)子空間法的識(shí)別精度高，但計(jì)算效率不高。ITD 法[8-9]是 S.R.Ibrahim 提出的一種利用結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)響應(yīng)的位移、速度或加速度時(shí)域信號(hào)來進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別的方法。運(yùn)用ITD法進(jìn)行參數(shù)識(shí)別時(shí)必須先采用隨機(jī)減量法或者自然激勵(lì)技術(shù)(NExT法)得到數(shù)據(jù)的自由衰減曲線，而此過程會(huì)產(chǎn)生一定的誤差，且這兩種前處理方法的輸出長(zhǎng)度的取值方面有一定的人為主觀影響，有時(shí)也會(huì)使得衰減曲線產(chǎn)生偏差。在這個(gè)情況下采用ITD法進(jìn)行參數(shù)識(shí)別必然會(huì)產(chǎn)生誤差。本文基于隨機(jī)子空間算法和ITD 法的原理，提出了環(huán)境激勵(lì)下結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的改進(jìn)ITD法。

1 改進(jìn)的ITD法

(1)ITD法的基本理論

一個(gè)多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)微分方程的解可以表示為：

{x(t)}N×1=[Φ]N×2N{est}2N×1

(1)

其中

{x(t)}=[x1(t),x2(t),…,xN(t)]T

(2)

[Φ]=[{φ1},{φ2},…,{φ2N}]

(3)

{est}=[es1t,es2t,…,es2Nt]T

(4)

(2)改進(jìn)ITD法

隨機(jī)子空間法中數(shù)據(jù)的協(xié)方差計(jì)算可以保留原始數(shù)據(jù)中的所有信息，同時(shí)去除了噪聲，因此得到的Toeplitz矩陣中的數(shù)據(jù)可以作為ITD法的輸入數(shù)據(jù)。這樣不再需要進(jìn)行隨機(jī)減量法或者自然激勵(lì)技術(shù)(NExT法)前處理，從而避免了這兩種前處理方法的不準(zhǔn)確性帶來的誤差。一般的隨機(jī)子空間法的原理[10]，先是構(gòu)造Hankel矩陣，然后定義輸出協(xié)方差矩陣，再是對(duì)Hankel矩陣變換構(gòu)建Toeplitz矩陣，即：

(5)

(6)

(7)

兩者相除后，有：

(8)

為了降低噪聲的影響，現(xiàn)將矩陣[A]采用雙最小二乘解方法，即兩種單邊最小二乘法的平均值：

(9)

式中,[A]正是ITD法所要求解的特征矩陣。頻率和阻尼比的求解就和ITD法完全相同了，即只要對(duì)[A]進(jìn)行特征值分解：

[A][Φ]=[Φ][α]

(10)

式(10)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的特征值方程，矩陣[A]的第r階特征值為esrΔt，相應(yīng)的特征向量為特征向量矩陣[Φ]的第r列。設(shè)求的的特征值Vr為

(11)

從而可以求得系統(tǒng)的模態(tài)頻率和阻尼比分別為：

(12)

為計(jì)算系統(tǒng)的模態(tài)振型，需要先按式(13)求出測(cè)點(diǎn)p的第r階模態(tài)留數(shù)為Arp：

(13)

2 改進(jìn)的ITD法數(shù)值計(jì)算

圖1 框架模型

表1 改進(jìn)ITD法頻率識(shí)別值與理論值比較

表2 改進(jìn)ITD法阻尼比識(shí)別值與理論值比較

從表1和表2可以看出，用本文提出的改進(jìn)ITD法識(shí)別頻率值的精度非常高，加噪20%后的識(shí)別精度也能達(dá)到4%以內(nèi)，識(shí)別的阻尼比值的精度也較高，說明此種方法的抗噪性能比較好，從而證明了改進(jìn)ITD法理論的適用性。

3 框架結(jié)構(gòu)模態(tài)辨識(shí)實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑?層的剪切型鋼框架結(jié)構(gòu)，如圖2所示，結(jié)構(gòu)的外形尺寸為650(長(zhǎng))×400(寬)×1 700(高)mm，層高均為400 mm，1～4層樓板采用650×400×25 mm的鋼板，底部連接鋼板的尺寸為850×600×10 mm，每層柱采用4根375×60×5 mm(長(zhǎng)×寬×厚)的扁鐵。為了保證試驗(yàn)?zāi)Ｐ桶惭b的可靠和連接的足夠牢固，使用6根M12×60 mm的螺栓將模型底板錨固于實(shí)驗(yàn)室的鋼梁上，柱和板之間焊接。實(shí)驗(yàn)所用的鋼材的彈性模量為2.0×107N/m2，密度為7.85×103kg/m3。

圖2 四層鋼框架模型圖

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

主要的實(shí)驗(yàn)設(shè)備有：由揚(yáng)州晶明科技有限公司生產(chǎn)的JM5840型號(hào)無線環(huán)境激勵(lì)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試分析系統(tǒng)，主要用于動(dòng)態(tài)信息的采集和分析。該儀器有三部分組成：即JM1801無線網(wǎng)卡、JM5840無線加速度傳感器與JM5841無線振動(dòng)節(jié)點(diǎn)和實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析軟件組成。

3.2 實(shí)驗(yàn)過程及數(shù)據(jù)采集

力錘錘擊方向?yàn)檠匕宓拈L(zhǎng)邊方向，即沿Y向，現(xiàn)只記錄Y方向的加速度響應(yīng)信號(hào)， 35 s以后的響應(yīng)信號(hào)可看作環(huán)境激勵(lì)下的情況。采用一個(gè)傳感器跑點(diǎn)的測(cè)量方法。具體操作流程是：

①先將傳感器放到第四層，用力錘沿Y方向錘擊第四層，測(cè)得加速度響應(yīng)信號(hào)y44(第一個(gè)下標(biāo)表示測(cè)點(diǎn)位置所在的樓層號(hào)，第二個(gè)下標(biāo)表示激勵(lì)所在的樓層號(hào))；

②保持傳感器放在第四層，用力錘沿Y方向錘擊第三層，測(cè)得加速度響應(yīng)信號(hào)y43，以此類推，得到y(tǒng)42、y41。

③將傳感器放到第三層，同理分別錘擊第四、三、二、一層，得到加速度響應(yīng)信號(hào)y34、y33、y32、y31。

④同理將傳感器放到第二、一樓層，依次可以得到其他加速度響應(yīng)信號(hào)。

最終得到共計(jì)16條加速度響應(yīng)曲線，限于篇幅所限，這里只給出傳感器在第一層，分別錘擊一、四層時(shí)的加速度響應(yīng)曲線y12、y13如圖3和圖4所示。

3.3 數(shù)據(jù)處理

儀器測(cè)取的全是加速度數(shù)據(jù)，而前面所陳述的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法是針對(duì)位移數(shù)據(jù)的情況，所以先對(duì)加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行兩次積分后得到位移數(shù)據(jù)。以加速度測(cè)量?jī)x在第一層時(shí)的加速度數(shù)據(jù)y12、y13為例，對(duì)其兩次積分后的位移曲線如圖5和圖6所示(z表示位移，第一個(gè)下標(biāo)表示加速度測(cè)量?jī)x所在的樓層號(hào)，第二個(gè)下標(biāo)表示力錘錘擊位置的樓層號(hào))。

圖3 加速度曲線y12

圖4 加速度曲線y13

圖5 位移曲線z12

將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分成三段：第一段為錘擊前的部分，即為鋼框架結(jié)構(gòu)在環(huán)境激勵(lì)下的振動(dòng)，大約在5或6 s以前的階段；中間一段是鋼框架在力錘敲擊下的響應(yīng)，大約在6 s以后到20 s之間的階段；最后一段是20 s以后的階段，仍可以看做是環(huán)境激勵(lì)下的情況，為了完全排除力錘敲擊的影響，結(jié)果分析時(shí)取35 s以后的響應(yīng)信號(hào)。

3.4 環(huán)境激勵(lì)下的模態(tài)參數(shù)識(shí)別

環(huán)境激勵(lì)下鋼框架的振動(dòng)，比如加速度時(shí)程曲線y11的35 s以后的階段，如圖7；對(duì)應(yīng)的位移曲線z11的35 s以后的階段如圖8所示。

圖6 位移曲線z13

圖7 加速度曲線y11的35 s后時(shí)程圖

圖8 位移曲線z11的35 s后時(shí)程圖

將環(huán)境激勵(lì)下加速度儀所測(cè)得的每層樓的加速度時(shí)程曲線(4條)積分后，得到每層樓的位移時(shí)程曲線(4條)，以第一層樓的位移值為參考點(diǎn)，取35 s到50 s間的數(shù)據(jù)，分別得到一二三四層樓對(duì)第一層樓的相關(guān)函數(shù)。限于篇幅所限，這里只給出一、四層樓對(duì)第一層樓的相關(guān)函數(shù)曲線如圖9和圖10所示。

圖9 一、一層位移相關(guān)函數(shù)曲線

圖10 一、四層位移相關(guān)函數(shù)曲線

直接運(yùn)用協(xié)方差驅(qū)動(dòng)SSI法識(shí)別時(shí)，穩(wěn)定圖如圖11所示。當(dāng)加速度儀放置在第一層，錘擊位置為第四層時(shí)的位移響應(yīng)數(shù)據(jù)為z14，取z14中35 s到50 s之間的數(shù)據(jù)作為環(huán)境激勵(lì)下的響應(yīng)，僅用單測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)來識(shí)別。首先組建Hankel矩陣，取矩陣大小為1 000×1 000，再通過變換構(gòu)造Toeplitz矩陣，Toeplitz也是1 000×1 000，取其任意行或列組成行(列)向量，作為ITD法的輸入數(shù)據(jù)，采用改進(jìn) ITD法來進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別,所求得的頻率值與阻尼比值分別如表3和表4所示。

圖11 協(xié)方差驅(qū)動(dòng)SSI法穩(wěn)定圖

表3 環(huán)境激勵(lì)下改進(jìn) ITD法的頻率識(shí)別值比較(Hz)

表4 環(huán)境激勵(lì)下改進(jìn)ITD法的阻尼比識(shí)別值比較

從表3與表4可以看出，與ITD法相比，改進(jìn)的ITD法明顯提高了對(duì)頻率和阻尼比等結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的識(shí)別精度。三種識(shí)別方法對(duì)頻率是可以做到可靠識(shí)別，阻尼的作用機(jī)理很復(fù)雜，一般理論值只是對(duì)結(jié)構(gòu)的阻尼作了近似的假設(shè)，通過試驗(yàn)識(shí)別第一階阻尼比在1%左右。

Toeplitz矩陣中的數(shù)據(jù)可以作為ITD法的輸入數(shù)據(jù)，這樣不再需要采用隨機(jī)減量法或者自然激勵(lì)技術(shù)(NExT法)進(jìn)行前處理，從而避免了兩種前處理方法的不準(zhǔn)確性帶來的誤差。改進(jìn)的ITD法的辨識(shí)計(jì)算時(shí)間約為SSI法計(jì)算時(shí)間的50%，當(dāng)輸出信號(hào)較多時(shí)，這種優(yōu)勢(shì)更明顯。從而可見，基于隨機(jī)子空間法對(duì)ITD法進(jìn)行改進(jìn)后，精度沒有降低，同時(shí)縮短了計(jì)算時(shí)間，這將為該方法應(yīng)用到結(jié)構(gòu)的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)提供了可能。

圖12 環(huán)境激勵(lì)下改進(jìn)ITD法擬合值與輸入數(shù)據(jù)比較

用求得的振型矩陣來反推原始數(shù)據(jù)，求得的擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)對(duì)比圖如圖12所示。可以看出：求得的擬合數(shù)據(jù)與原始相應(yīng)數(shù)據(jù)擬合度非常高，進(jìn)一步證明了改進(jìn)的ITD法所識(shí)別模態(tài)參數(shù)的準(zhǔn)確性和識(shí)別方法的正確性。圖13為該框架結(jié)構(gòu)辨識(shí)出的四階模態(tài)振型。由于將實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)理論計(jì)算模型進(jìn)行反饋修正，使得理論模型基本能反映真實(shí)情況，固有頻率和模態(tài)振型辨識(shí)結(jié)果均與有限元計(jì)算分析結(jié)構(gòu)具有良好的一致性。

圖13 結(jié)構(gòu)的四階模態(tài)振型辨識(shí)結(jié)果

4 結(jié) 論

基于環(huán)境激勵(lì)下的模態(tài)參數(shù)識(shí)別，不需要專門的外界激勵(lì)，而且不影響結(jié)構(gòu)的正常使用。運(yùn)用ITD法進(jìn)行參數(shù)識(shí)別時(shí)必須先采用隨機(jī)減量法或者自然激勵(lì)技術(shù)(NExT法)得到數(shù)據(jù)的自由衰減曲線，而此過程會(huì)產(chǎn)生一定的誤差，且這兩種前處理方法的輸出長(zhǎng)度的取值方面有一定的人為主觀影響，有時(shí)也會(huì)使得衰減曲線產(chǎn)生偏差，因此采用ITD法進(jìn)行參數(shù)識(shí)別必然會(huì)產(chǎn)生誤差。

(1)基于隨機(jī)子空間算法和ITD 法的原理，提出了環(huán)境激勵(lì)下結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的改進(jìn)ITD法。通過數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了改進(jìn)ITD對(duì)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的可行性，與ITD法相比，改進(jìn)的ITD法明顯提高了對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的識(shí)別精度。

(2)改進(jìn)ITD 法的計(jì)算結(jié)果的精度不比SSI法的計(jì)算結(jié)果的精度差，有時(shí)比SSI法的計(jì)算精度要高。同時(shí)改進(jìn)ITD 法的計(jì)算時(shí)間要比SSI法的計(jì)算時(shí)間要短得多。當(dāng)輸出信號(hào)較多時(shí)，這種優(yōu)勢(shì)更明顯。

(3)用求得的振型矩陣陣反推原始數(shù)據(jù)，求得的擬合數(shù)據(jù)與原始相應(yīng)數(shù)據(jù)擬合度非常高，從而進(jìn)一步證明了改進(jìn)ITD法識(shí)別模態(tài)參數(shù)的準(zhǔn)確性和識(shí)別方法的正確性。

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