宋揚

［摘要］ 解方程包含著“解方程”和“檢驗”兩個步驟，并且缺一不可，無論解哪類方程（組）都是如此，本文就解方程（組）的檢驗問題進行一些研討.

［關(guān)鍵詞］ 解方程（組）；檢驗；恒等變形；同解原理

解方程（組）是從已知探求未知的重要途徑，它在中學尤其是初中教學里所占比重較大. 盡管在方程（組）的教學中，無論對概念、解法還是應(yīng)用似乎感到問題不大，但從理論上講還有許多問題需要加以研究. 本文就解方程（組）的檢驗問題進行一些研討.

在解一元一次方程時，初中課本對“檢驗”有不同的提法：先提出“檢驗”的步驟，這時是把檢驗作為解方程的步驟之一；然后提出“自己檢驗最好用口算”，這里對檢驗好像還作要求，只不過對檢驗方式作了改進；最后連檢驗提都不提了. 那么究竟要不要檢驗？在解二元一次方程組時，有的寫了檢驗，有的不寫；對三元一次方程組又說“檢驗一般不必寫出”；在解一元二次方程和簡單的高次方程時，對“檢驗”只字不提. 這一系列的處理是否妥當？回答是肯定的. 一言蔽之：凡是解整式方程（組）不必檢驗！如果真要檢驗，其作用也只是為驗算正確與否，故這種檢驗可以省略.

解分式方程或無理方程時情況就大不相同了. 解分式方程時，課本對檢驗是這樣要求的：“用同一個整式（各公式的最簡公分母）去乘分式方程的兩邊，約去分母，化為整式方程時，最簡公分母有可能為零，產(chǎn)生增根，所以必須檢驗. 為了簡便起見，通常把求得的整式方程的根，逐一代入變形時所乘的整式（最簡公分母）進行檢驗：如果不使所乘的整式為零，就是原方程的根；如果使所乘的整式為零，就是增根，必須舍去.” 在解無理方程時，課本對檢驗是這樣要求的：“為了把無理方程變形為有理方程，需要將方程的兩邊都乘方相同的次數(shù)，這樣就有產(chǎn)生增根的可能. 因此解無理方程時，必須把變形后得到的有理方程的根逐一代入原方程進行檢驗. 如果適合，就是原方程的根；如果不適合，就是增根.” 那么，不禁要問：①對這兩種情況為什么必須檢驗？②可能產(chǎn)生增根的原因何在？③檢驗時，分式方程和無理方程在提法上又為什么不一樣？

我們都有這樣的經(jīng)驗：一元一次方程的求解，是經(jīng)過一系列變形將其化為最簡方程ax=b（a≠0)而解決的；一元二次方程（以及一些特殊的高次方程）是通過因式分解把它降次化為一元一次方程來求解的；分式方程是通過去分母化為整式方程來求解的；無理方程是經(jīng)過方程兩邊同乘方相同的次數(shù)后，化為有理方程來求解的；二元（多元）一次方程組是通過代入消元或加減消元，將其化為一元一次方程求解；其他方程（組）是通過降次、消元化為一元一次方程求解. 總之，在解各類方程（組）的過程中，總要通過各種變形，最后化歸為一元一次方程求解. 所用的變形有下述兩大類型：

（1）在方程兩邊同加減一個數(shù)或一個整式；同乘一個不等于零的數(shù)或式子；同乘方若干次；代入消元或加減消元等，這類變形稱為等式變形.

（2）在方程的一邊（或兩邊各自）進行的如去括號、合并同類項、約分、通分、分解因式以及利用公式■·■=■，lga 2=2lga等變形，這類變形稱為恒等變形（在方程的定義域內(nèi)）.

這兩類變形對所要解的方程的解到底會不會發(fā)生影響？這就是我們要解決的問題. 研究了方程（組）的同解理論后，對前面的若干問題就會有令人滿意的答案.

先看兩個實例：

例1?搖 解方程：2x+3=1.

方程兩邊同加-3，有2x=-2；方程兩邊同乘■，得x=-1. 于是我們認為x=-1是方程的解. 似乎原方程經(jīng)過變形后，所得方程的解就一定是原方程的解. 其實這種理解是不完全正確的.

例2?搖 解方程：■=－2.

方程兩邊平方，得2x+1=4；方程兩邊同加-1，得2x=3. 方程兩邊同乘■，得x=■. 顯然，該解并不是原方程的解. 因此，不能認為原方程經(jīng)過變形后，所得方程的解就一定是原方程的解.

從邏輯上講，原命題“若a則b”正確，未必其逆命題“若b則a”正確. 落實在例1和例2上，就是這個道理. 就例2而言，第一步推導過程：■=－2?圯2x+1=4?圯2x=3?圯 x=■；第二步推導過程：x=■?圯2x=3?圯2x+1=4，得不出原來的■=－2. 由于不是每一步推導都可逆，于是x=■也不是原方程的解. ?搖?搖

所謂解方程，包含“解方程”和“檢驗”兩個步驟，并且缺一不可，無論解哪類方程（組）都是如此. 如果解了方程就認為，得出的結(jié)果就是原方程的解，那么實際上就是用“若a則b”正確同時代替了“若b則a”也正確. 對于“推導的每一步都可逆”這種可逆性（一種等價關(guān)系），取個名稱，叫做同解.

根據(jù)循序漸進的教學原則，又涉及學生的知識面的局限性和可接受性，在初中要闡述較多的同解性理論是不符合實際的，課本在具體處理上做到了恰到好處. 對于一元一次方程的解法，課本總結(jié)了五個步驟：（1）去分母，（2）去括號，（3）移項，（4）合并同類項，（5）系數(shù)化為1，而這五個步驟均是方程的同解變形，所有的“檢驗”步驟可以省略，如果檢驗，作用只是為了驗算計算正確與否. 理解了這個道理，就不難理解課本在解一元一次方程時，對檢驗的三種處理辦法：要求詳細檢驗；簡略檢驗（用口算）；不檢驗.

對于一元二次方程的解題方法，課本上介紹了四種，它們的每一個步驟都是同解變形，也就沒有提出檢驗的必要，整式方程（含一元高次方程）都是如此. 然而，在解其他類型的方程（如分式方程、無理方程等）時，未必步步都可逆，出現(xiàn)了非同解變形.

先看一個分式方程的例子，解方程■+■－■=1 ，解得x■=2，x■=1. 當x=2時，原方程的分母為零，顯然不可能是原方程的根，它是增根. 增根產(chǎn)生于何處？按照上述解分式方程的一般步驟，所有的增根（如果有的話）都在去分母時所乘最簡公分母等于零的那些值上，所以檢驗時只需將所求的根逐個代入原分式的最簡公分母看是否為零. 假如使分式方程有意義而方程的兩端不相等，那么一定是計算錯誤.

由此可見，解分式方程可能產(chǎn)生增根有兩種觀點：一種是用一個可能等于零的式子去乘以原方程的兩邊，就沒有同解定理作保證；另一種是由分式方程變?yōu)檎椒匠虝r，對方程的兩側(cè)進行恒等變形，使定義域發(fā)生了改變而引起的.

再看一個無理方程的例子，解方程■=7－x，解得x■=5，x■=10，易知x=10是原方程的增根. 無理方程產(chǎn)生增根的原因之一，是在原方程有理化過程中使所乘式子（此式是由相應(yīng)的乘方而得到的）得零而引起的. 但這是不是無理方程產(chǎn)生增根的唯一原因呢？答案是否定的. 例如，解方程■·■=■①，通過恒等變形，得到■=■②，解得x■=3，x■=-2，經(jīng)檢驗，x=-2是原方程的增根. 方程①的定義域是x∈［1，+∞），而方程②的定義域是x∈［－5，－1］∪［1，+∞），比較方程①②的定義域，方程②的定義域比方程①的定義域擴大了［-5，-1］部分，而增根x=-2恰好就在進行恒等變形時，定義域擴大的那一部分中，這就是解無理方程可能產(chǎn)生增根的第二個原因.

由此可見，解無理方程可能產(chǎn)生增根的原因有兩個：一個是由于乘方運算，把共軛因式的根帶進去了，這時把最后的解代入原方程，表現(xiàn)為左端≠右端；另一個是在進行根式變形時，定義域的擴大所引起的，這時把最后的解代入原方程時，表現(xiàn)為使某個根式無意義. 因而無理方程檢驗的方法和作用都與分式方程不一樣. 在檢驗方法上，分式方程可簡單地代入所乘的最簡公分母，看其是否等于零來判斷是否為增根；而無理方程必須代入原方程檢驗.

非同解變形可能產(chǎn)生增根，但方程的非同解變形也可能引起失根（也稱丟根、減根）. 對于由于方程定義域的變化，而引起根的增減可以總結(jié)為：方程兩端進行恒等變形時，若定義域擴大，則可能產(chǎn)生增根，其增根必在定義域擴大的那一部分里；若定義域縮小，則可能產(chǎn)生失根，所失的根一定在定義域被縮掉的那部分里.

可以以解對數(shù)方程和三角方程為例來分析增減根的情況，其原因往往是在解方程中不可避免地要進行一些恒等變形，隨之引起方程定義域的變化所造成的. 例如lgx2=lg9， lg（x2-4）-lg（x+2）=1，解這類方程，往往不是失根，就是增根，但有時候也可以避免. 如lgx2=lg9，若推出2lgx=2lg3，得到x=3，就將x=-3這一個根丟了；若推出x 2=9，得到x=±3，這就避免了丟根的情況. 至于解三角函數(shù)，也同樣如此.

同解原理是解方程的理論基礎(chǔ)，所以，不管是初中階段的整式方程、分式方程、無理方程，還是高中階段的對數(shù)方程、三角方程，個人認為解方程（組）的兩個步驟缺一不可，特別是“檢驗”的步驟至關(guān)重要.