朱建良

［摘要］ 教學(xué)時，教師應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律，感受到數(shù)學(xué)的魅力，在探究的體驗中加深對幾何變換的理解.

［關(guān)鍵詞］ 類比；探究；拓展

隨著新課改的進行，各地中考數(shù)學(xué)試卷異彩紛呈，尤其是動態(tài)問題的數(shù)學(xué)壓軸題，題型新穎，設(shè)計精巧，既繼承傳統(tǒng)又勇于創(chuàng)新，以一些基本圖形、核心概念為基礎(chǔ)展開問題探究，體現(xiàn)能力立意和學(xué)科本質(zhì)，具有典型性、示范性和遷移性，這些試題體現(xiàn)了命題者對于數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)教學(xué)的一些認識和理念，對廣大一線數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)起到非常好的導(dǎo)向作用．

本文對一道中考動態(tài)數(shù)學(xué)試題探索分析，期與同仁相互切磋，為推動數(shù)學(xué)教研活動盡微薄之力．

■ 試題呈現(xiàn)

（2013江蘇蘇州）如圖1所示，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB＝10 cm，BC＝12 cm. 點E，F(xiàn)，G分別從A，B，C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1 cm/s，點F的運動速度為3 cm／s，點G的運動速度為1.5 cm／s. 當(dāng)點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動. 在運動過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是△EB′F，設(shè)點E，F(xiàn)，G運動的時間為t（單位：s）.

■

（1）當(dāng)t＝______s時，四邊形EBFB′為正方形.

（2）若以點E，B，F(xiàn)為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，求t的值.

（3）是否存在實數(shù)t，使得點B′與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

■ 解法探究

（1） 2.5.

（2）由題意得AE=t，BF=3t，CG=1.5t，BE=10－t，F(xiàn)C=12－3t，因為點F在BC上運動，所以0≤t≤4. ①當(dāng)△EBF∽△FCG時，■=■，解得t=■；②當(dāng)△EBF∽△GCF時，■=■，化簡得t 2+28t－80=0，解得t■= －14+2■，t■=－14－2■（舍去）. 因為0≤t≤4，所以t=■或t=－14+2■，符合題意．

（3）不存在．理由如下：如圖2所示，連結(jié)BD，因為點O為矩形ABCD的對稱中心，所以點O為BD的中點. 假設(shè)存在實數(shù)t，使得點B′與點O重合，EF垂直平分OB于點H，則易知BD=2■，BH=■=■. 易證△EHB∽△BHF∽△BCD，所以BF=■，BE=■. 所以AE=10－BE=■. 因為■≠3，所以不存在實數(shù)t使得點B′與點O重合.

■

■ 追根溯源

（2006河北）如圖3所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，動點P從點A出發(fā)，沿AC邊向點C以每秒3個單位長度的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，沿CB邊向點B以每秒4個單位長度的速度運動. P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動. 在運動過程中，△PCQ關(guān)于直線PQ對稱的圖形是△PDQ，設(shè)運動時間為t（s）.

■

（1）設(shè)四邊形PCQD的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式.

（2）t為何值時，四邊形PQBA是梯形？

（3）是否存在時刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

（4）通過觀察、畫圖或折紙等方法，猜想——是否存在時刻t使得PD⊥AB？若存在，請估計t的值在下面哪個時間段內(nèi)：0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4. 若不存在，請簡要說明理由．

解析?搖 （1）因為CQ=4t，PC=12－3t，所以S△PCQ=－6t 2+24t. 所以y=2S△PCQ=－12t 2+48t.

（2）如圖4所示，因為PQ∥AB，所以△CPQ∽△CAB. 因為PC=12-3t，CQ=4t，■=■，所以t=2.

■

（3）如圖5所示，延長PD交CB于點E，要使PD∥AB，則必有△PCE∽△ACB，△QDE∽△ACB，所以■=■=■. 所以PE=20-5t，CE=16-4t，DE=8-2t. 所以■=■. 所以t=■.

■

（4）如圖6所示，延長PD交AB于點F，過點Q作QG⊥AB于點G，PC=PD=12-3t，QB=16-4t，又PF⊥AB，所以△APF∽△ABC，△QBG∽△ABC. 所以■=■. 所以PF=■，DF=■-12. 所以■=■. 所以t=■. 時間段為2

■

■ 追蹤類比

（2012湖北天門）如圖7所示，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=8 cm，點E，F(xiàn)，G分別從A，B，C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向移動，點E，G的速度均為2 cm/s，點F的速度為4 cm/s，當(dāng)點F追上點G（即點F與點G重合）時，三個點隨之停止運動. 設(shè)移動開始后第t s時，△EFG的面積為S（cm2）. ?搖?搖

■

（1）當(dāng)t=1 s時，S的值是多少？

（2）寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍．

（3）若點F在矩形的邊BC上移動，當(dāng)t為何值時，以點E，B，F(xiàn)為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似？請說明理由．

■

解析?搖 （1）S=24．

（2）S=8t2-32t+48（0≤t≤2），S=-8t+32（2

（3）t=■時，△EBF∽△FCG；t=■時，△EBF∽△GCF．

■ 研析設(shè)計共性，彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

1.?搖問題搭臺，思維唱戲

河北28題主要考查了圖形對稱性質(zhì)、梯形、相似三角形、勾股定理、方程等知識，在運動狀態(tài)下，建構(gòu)數(shù)學(xué)基本圖形解題．天門市24題分類討論探究運動變化的面積S與t的函數(shù)關(guān)系，考查學(xué)生對基本幾何圖形特征的理解，由特殊到一般設(shè)計題組循序漸進，螺旋上升，以△EFG的面積為切入點，延伸思維觸角． 蘇州市28題以問題（1）（2）由 “以靜制動”到“動靜互化”，使學(xué)生思維由淺入深，拾階而上，化多點運動問題為幾何基本圖形求解，問題（3）另辟蹊徑，問題呈開放性，從假設(shè)兩點重合的結(jié)論展開探究，在對稱變換環(huán)境中進行觀察、猜想、推理計算，讓學(xué)生體會到變化中不變的特殊四邊形和相似三角形的性質(zhì)，有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律，感受到數(shù)學(xué)的魅力，在探究的體驗中加深對幾何變換的理解．三題的問題背景、涉及知識相同，但對主干知識的延伸拓展各有創(chuàng)新，以能力立意，關(guān)注學(xué)生思維品質(zhì)培養(yǎng)．

2.?搖提煉幾何圖形性質(zhì)，揭示內(nèi)在規(guī)律

三題的共性都是先通過對運動圖形涉及問題的特殊情況進行探究求解，通過對復(fù)雜的幾何圖形進行分解，從中找出基本圖形，從中發(fā)現(xiàn)運動變化中幾何圖形的規(guī)律，進而設(shè)置最后一問，引導(dǎo)學(xué)生利用這個規(guī)律，找到解決問題的思路和方法，使學(xué)生的思維發(fā)展螺旋上升，促成學(xué)生的能力生成．河北28題第（4）問，在梯形中添加輔助線轉(zhuǎn)化為矩形及相似的直角三角形，解題過程體現(xiàn)了靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化、建模的數(shù)學(xué)思想方法．天門市24題側(cè)重于引導(dǎo)學(xué)生利用點的運動時間t來表示△EFG的面積，分類討論運動變化的點的特殊位置，將圖形和題目中的條件巧妙結(jié)合，深層次地挖掘各知識點之間的有效聯(lián)系，解法簡捷、流暢．蘇州28題以第（1）問為知識起點，引導(dǎo)學(xué)生思維發(fā)展到一個良好平臺，第（3）問意在運動變化中聚焦矩形對角線的交點問題展開探究，剖析對稱點B′與點O重合的隱含條件，是本題的難點，巧妙利用圖形的軸對稱和中心對稱介入再探究，是本題的點睛之筆，凸現(xiàn)命題設(shè)計的靈活性，第（3）問立意較高，思路靈活，區(qū)分度高，突出選拔功能．

■ 教學(xué)導(dǎo)向分析

1. 精心設(shè)置問題，彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

本題為運動型綜合問題，主題明確，線索清晰，在點的運動過程中構(gòu)造新的幾何圖形，考查了矩形性質(zhì)、軸對稱、相似三角形的判定性質(zhì)、勾股定理、解方程等知識點，第（1）問結(jié)合正方形的特征求解，第（2）問需分類討論，利用相似三角形的性質(zhì)列出方程求解，第（3）問設(shè)問亮麗，內(nèi)涵深刻，突出對教師教學(xué)行為和學(xué)生學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)的導(dǎo)向，第（3）問先假設(shè)存在，然后根據(jù)圖形的對稱性特點構(gòu)造三角形相似的基本模型，推導(dǎo)出矛盾的結(jié)論，問題環(huán)環(huán)相扣，層層深入，鏈接緊密，強化了學(xué)生對運動變化過程中幾何圖形之間內(nèi)在聯(lián)系的認識，問題設(shè)置有效遵循了學(xué)生已有知識經(jīng)驗與認知規(guī)律，實現(xiàn)了從知識立意向能力立意的轉(zhuǎn)化．

2. 立足方法引領(lǐng)，關(guān)注思維提升

用運動、變化的觀點審視幾何圖形，滲透對稱變換的數(shù)學(xué)思想，第（3）問中點B′與點O是否重合的探究，為學(xué)生提供了外顯的“點”的重合到內(nèi)隱的尋找相似三角形構(gòu)建方程的思維場，幫助學(xué)生深刻理解對稱問題的本質(zhì)，幫助學(xué)生在運動變化的圖形中尋找關(guān)鍵條件，又怎樣挖掘出隱含條件，猜想推理融化一體，調(diào)動腦中的“內(nèi)存”，匯聚題中信息，正確識圖，剖析結(jié)構(gòu)特征，綜合利用軸對稱性質(zhì)及相似三角形性質(zhì)，找到解題的突破口，走向“柳暗花明又一村”的坦途，突破難點，把隱性條件顯性化，提升認知水平，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生思維向縱深發(fā)展．

3. 滲透構(gòu)造思維，力求創(chuàng)新

仔細分析本題的條件，發(fā)現(xiàn)可用來構(gòu)造模型的運動因素，第（3）問首先假設(shè)點B′與點O重合，確定對稱特定的對應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學(xué)相似的模型，再回到原來的問題上，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，著眼點在問題的數(shù)學(xué)機理、機構(gòu)，即相似的三個母子直角三角形模型，轉(zhuǎn)化到探求“BH=■BD”關(guān)系的巧妙應(yīng)用，從陌生到熟悉、從暗到明、從未知到已知的信息轉(zhuǎn)化，領(lǐng)悟其中的思想精髓，使其逐漸內(nèi)化為自己的經(jīng)驗，形成解決問題的自覺意識．深入探究求解過程也是學(xué)生一個再創(chuàng)造過程，需要學(xué)生具有創(chuàng)新思維和開拓精神，同時也正是通過這種學(xué)習(xí)過程培養(yǎng)學(xué)生的開拓意識、創(chuàng)新意識．

■ 借題發(fā)揮，拓展再探究

（1）t為何值時，EF⊥FG？

解析?搖 如圖9所示，由Rt△EBF∽Rt△FCG得■=■，所以t=■．

■

（2）t為何值時，點B關(guān)于EF的對稱點B′在BD邊上？

解析?搖 如圖10所示，此時有EF⊥BB′，于是Rt△EBF∽Rt△BCD，所以■=■，解得t=■．

■

（3）如圖11所示，以點B為原點建立平面直角坐標(biāo)系，雙曲線y=■經(jīng)過矩形ABCD的交點O′和點G時，請判斷點B′是否在該圖象上．

■

解析?搖 可求出O′（6，5），y=■，G12，■，此時t=■. 容易求得BE=■，BF=5，BB′=■■，所以點B′■，■■，所以點B′不在該雙曲線上．

拓展問題表述簡約，自然流暢，設(shè)問角度有新意，翻折后的對稱點位置，帶給人一種意猶未盡卻又綿綿不絕的探究意境，“點動”帶動“線動”，“線動”帶動“形動”，數(shù)形結(jié)合，把觀察、探究、計算推理融于一體，由點B的對稱點B′的位置展開探究，運用通性、通法縱深探究，在平面直角坐標(biāo)系中設(shè)置特殊對稱點位置探究問題，引發(fā)學(xué)生的聯(lián)想，啟迪學(xué)生思維，拓寬學(xué)生思路，以尋找相似三角形基本模型為突破口，綜合運用方程、直角三角形、函數(shù)等核心知識靈活解決問題，揭示解析幾何最本質(zhì)的思想——幾何問題代數(shù)化，關(guān)注了類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法的考查，全面提升學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．