李玉榮

［摘要］ 本文對(duì)一道折疊問(wèn)題在《寧?kù)o致遠(yuǎn) 另辟蹊徑》一文的基礎(chǔ)上進(jìn)行直接、有效的再解，感悟“通法”的解題價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的多元思維能力.

［關(guān)鍵詞］ 折疊；周長(zhǎng)：解題；思維

題目?搖 如圖1所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，DC上，將正方形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN交DC于點(diǎn)P，隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置（點(diǎn)M不與A，D重合），試求△PDM的周長(zhǎng)．

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《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）2013年第7期朱記松老師的文章《寧?kù)o致遠(yuǎn)，另辟蹊徑》給出了這個(gè)折疊問(wèn)題的三種解法，其中解法1、2并不新鮮，源于下面兩道中考題及其標(biāo)準(zhǔn)答案（限于篇幅，答案略）.

題1（2010江蘇徐州）如圖2所示，將邊長(zhǎng)為4 cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊（點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上），使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P， 連結(jié)EP．

（1）如圖3所示，若M為AD的中點(diǎn)，則：

①△AEM的周長(zhǎng)=______?搖cm；

②求證：EP=AE+DP.

（2）隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置（點(diǎn)M不與A，D重合），△PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．

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題2（2012山東德州）如圖4所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與A，D重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，PG交DC于點(diǎn)H，折痕為EF，連結(jié)BP，BH．

（1）求證：∠APB＝∠BPH.

（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.

（3）設(shè)AP的長(zhǎng)為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式. 試問(wèn)：S是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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朱老師文中提供的解法3是解析法，似乎還用到高中的“斜率”知識(shí)，用解析法處理幾何難題一般比較簡(jiǎn)潔，但朱老師的解法3冗長(zhǎng)煩瑣，教師讀來(lái)也感覺疲憊，不耐心根本看不懂、想不到、算不出，可見，其教學(xué)參考價(jià)值不大，更談不上培養(yǎng)初中生的發(fā)散思維能力. 筆者對(duì)此題很感興趣，也曾有過(guò)研究，現(xiàn)將另兩種解法與讀者分享．

解法1?搖 如圖5所示，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)G，使CG=AM，連結(jié)BG，GM，顯然△BAM≌△BCG，所以BG=BM，∠AMB=∠CGB. 又因?yàn)椤螦MB=∠MBC=∠BMN，所以∠BMN=∠CGB. 因?yàn)锽G=BM，所以∠BGM=∠BMG. 所以∠PMG=∠PGM. 所以PM=PG，即PM=MA+CP. 所以△PDM的周長(zhǎng)為PD＋PM＋DM＝PD＋MA＋CP＋DM＝AD＋CD＝8．

解法2?搖 如圖6所示，延長(zhǎng)DA至點(diǎn)G，使GM=PM，連結(jié)BG，因?yàn)椤螱MB=∠MBC=∠BMP，MB=MB，所以△BMP≌△BMG. 所以BP=BG. 又BA=BC，所以Rt△BGA≌Rt△BPC. 所以GA=CP. 所以PM=MA+CP. 所以△PDM的周長(zhǎng)為PD＋PM＋DM＝PD＋MA＋CP＋DM＝AD＋CD＝8．

評(píng)注?搖 將正方形的一邊適當(dāng)延長(zhǎng)以構(gòu)造全等三角形，是解決和正方形相關(guān)的幾何題常用的有效方法，以上兩種解法都很簡(jiǎn)潔．

波利亞的名言：掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題活動(dòng)是最基本的活動(dòng)形式；學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，關(guān)鍵之一是學(xué)會(huì)解題，解題教學(xué)是教師的基本功. 學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的成長(zhǎng)主要是通過(guò)解題水平來(lái)體現(xiàn)的，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）在第三學(xué)段（7～9年級(jí)）的“學(xué)段目標(biāo)”中提出：經(jīng)歷從不同角度尋求分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法的過(guò)程，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，掌握分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法. 教師通過(guò)采擷典型中考題，多角度探索考題的不同解法，并且引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)各種解法的特點(diǎn)和優(yōu)劣，深入挖掘考題的解題思路，發(fā)揮考題的最大效益，使之有效服務(wù)于教學(xué)，提高教學(xué)效率，促使學(xué)生積累良好的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這才是教師真功夫的體現(xiàn)．