王蓮花， 王 萍(.北京物資學院 信息學院，北京 通州049； .孔集鄉(xiāng)第一中學 數(shù)學組，河南 寧陵 4767)

不可逆矩陣的伴隨矩陣的特征值與特征向量的求法

王蓮花1， 王 萍2

(1.北京物資學院 信息學院，北京 通州101149； 2.孔集鄉(xiāng)第一中學 數(shù)學組，河南 寧陵 476712)

給出矩陣A不可逆時，其伴隨矩陣A*的特征值和特征向量的簡便求法，即當r(A*)=0時，A*的所有的特征值都為零，任一非零向量都是其特征向量；當r(A*)=1時，A*有n-1個特征值為0，另一個特征值為A11+A22+…+Ann，此時，若A11+A22+…+Ann=0，則A*的屬于特征值為0的所有特征向量由A的n-1個線性無關(guān)的列向量生成；若A11+A22+…+Ann≠0，A*的屬于特征值為0的所有特征向量由A的n-1個線性無關(guān)的列向量生成，屬于A11+A22+…+Ann的特征向量由A*的行元素的比例系數(shù)組成.

不可逆矩陣；伴隨矩陣；特征值；特征向量

0 引言

我們知道，如果n階可逆矩陣A的特征值為λ1,λ2,…,λn，相應(yīng)的特征向量分別為α1,α2,…,αn，則伴隨矩陣A*的特征值為μi=|A|/λi(i=1,2,…,n)，相應(yīng)的特征向量也分別為α1,α2,…,αn，即A*αi=μiαi(i=1,2,…,n).那么，如果矩陣A不可逆，其伴隨矩陣A*的特征值和特征向量除常規(guī)求法外，有沒有其他簡便快捷的方法呢？本文從理論上給出當A不可逆時，不需要解線性方程組，只需要利用矩陣A本身并通過簡單的計算，就能很快寫出A*的特征值和特征向量的方法.

1 相關(guān)引理

引理2[1]設(shè)矩陣A=(aij)n×n的特征值為λ1,λ2,…,λn，則λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann.

引理3設(shè)A是n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，Aij為A中元素aij對應(yīng)的代數(shù)余子式. 若μ1,μ2,…,μn是A*的特征值，則μ1+μ2+…+μn=A11+A22+…+Ann.

引理3顯然可以直接由引理2得出.

2 主要結(jié)論

定理設(shè)A是n階不可逆矩陣，A*是A的伴隨矩陣，Aij為A中元素aij對應(yīng)的代數(shù)余子式，記μ1,μ2,…,μn是A*的特征值，則

(1)若r(A*)=0，則μ1=μ2=…=μn=0，此時，任一非零列向量均為A*的特征向量.

(2)若r(A*)=1，則μ1=μ2=…=μn-1=0，μn=A11+A22+…+Ann[2].

1) 若A11+A22+…+Ann=0，則A*的特征向量由A的n-1線性無關(guān)的列向量生成；

2)若A11+A22+…+Ann≠0，則A*的屬于特征值0的特征向量由A的n-1個線性無關(guān)的列向量生成；如果A11,A21,…,An1不全為零，則屬于μn的線性無關(guān)的特征向量為αn=(1,b2,…,bn)Τ，其中1,b2,…,bn為實數(shù).

一般地，若A1i,A2i,…,Ani不全為零，則屬于μn的線性無關(guān)的特征向量為αn=(b1,…,bi-1,1,bi+1,…,bn)Τ，其中bi(i=1,…,i-1,i+1,…,n)為實數(shù).

證明當A不可逆時，由引理1知，r(A*)≤1.

(1)若r(A*)=0，則A*=0，則μ1=μ2=…=μn=0，顯然，任一非零列向量均為A*的特征向量.

1)若A11+A22+…+Ann=0，此時，A*的特征值全為零，而由A*A=0，因r(A)=n-1，故A的列向量組的秩為n-1，而A的n-1個線性無關(guān)的列向量組為A*的特征向量，對應(yīng)的特征值為0. 由A*X=0的解空間為n-1維的，因而A*的特征向量由A的n-1線性無關(guān)的列向量生成.

2)若A11+A22+…+Ann≠0，這時，A*有n-1個特征值為0，另一個特征值是μn=A11+A22+…+Ann≠0. 由A*A=0，則A中有n-1個線性無關(guān)的列向量均為A*的屬于特征值0的特征向量.下求A*的對應(yīng)于特征值μn=A11+A22+…+Ann的特征向量.

對應(yīng)的同解線性方程組為

注意：由μn=A11+A22+…+Ann=A11+b2A21+…+bnAn1，得一個基礎(chǔ)解系，即屬于μn的線性無關(guān)的特征向量為αn=(1,b2,…,bn)Τ.

類似可證：A1i,A2i,…,Ani不全為零時，屬于μn=A11+A22+…+Ann的線性無關(guān)的特征向量為αn=(b1,b2,…,bi-1,1,bi+1,…,bn)Τ. 只不過，在證明過程中設(shè)A*如下即可.

3 應(yīng)用舉例

解因為r(A)=2，所以r(A*)=1，A*中每行元素對應(yīng)成比例，且A中元素a11=3,a22=-3,a33=-2的代數(shù)余子式分別為A11=6,A22=-6,A33=0，因此A*的特征值為λ1=λ2=0,λ3=A11+A22+A33=6-6+0=0，由定理知，A的兩個線性無關(guān)的列向量α1=(3,-3,4)Τ,α2=(0,0,-2)Τ是屬于λ1=λ2=λ3=0的線性無關(guān)的特征向量.

因此A*的屬于λ1=λ2=λ3=0的特征向量為k1α1+k2α2(k1,k2為任意常數(shù)).

解因為r(A)=2，所以r(A*)=1，A*中每行元素對應(yīng)成比例，且A中元素a11=1,a22=-5,a33=1的代數(shù)余子式分別為A11=4,A22=-3,A33=1，因此A*的特征值為λ1=λ2=0,λ3=A11+A22+A33=4-3+1=2，由定理知，A的兩個線性無關(guān)的列向量α1=(1,-2,2)Τ,α2=(3,-5,3)Τ是屬于λ1=λ2=0的線性無關(guān)的特征向量.

又由r(A*)=1知，A*的矩陣的3行是成比例的，由A11=4,A21=3,A31=1和A11=4,A22=-3,A33=1知，b2=-1,b3=1，因此，屬于λ3=2的線性無關(guān)的特征向量為α3=(1,-1,1)Τ.

因此A*的屬于λ1=λ2=0的特征向量為k1α1+k2α2(k1,k2為任意常數(shù))；屬于λ3=2的特征向量為kα3(k為不等于零的任意常數(shù)).

[1]北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組. 高等代數(shù)[M]．王萼芳，石生明，修訂．北京：高等教育出版社，2003．

[2]王品超. 高等代數(shù)新方法[M].徐州：中國礦業(yè)大學出版社，2003.

TheMethodofEigenvaluesandEigenvectorsaboutAdjoin
MatrixofIrreversibleMatrix

WANG Lian-hua1, WANG Pin2
(1.CollegeofInformation,BeijingWuziUniversity,Beijing101149,China;
2.MathematicsGroup,FirstMiddleSchoolofKongjiTownship,Ningling476712,China)

The simple and convenient method of eigenvalues and eigenvectors about adjoint matrix of irreversible matrix is given when the matrixAis irreversible matrix. That is, ifr(A*)=0, then all the eigenvalues ofA*is zero. Ifr(A*)=1,n-1 eigenvalues ofA*are zero, and another eigenvalue isA11+A22+…+Ann. At this time, ifA11+A22+…+Ann=0, all the eigenvectors ofA*belonging to zero eigenvalue are generated fromn-1 linearly independent columnA. IfA11+A22+…+Ann≠0, the eigenvectors ofA*belonging to zero eigenvalue are generated ofn-1 linearly independent columnA, and the linearly independent eigenvectors ofA*belonging toA11+A22+…+Annare composed by matrixAline element proportionality coefficient.

irreversible matrix; adjoint matrix; eigenvalue; eigenvector

2013-08-14

北京物資學院專業(yè)建設(shè)——信息類專業(yè)群建設(shè)(PXM2012_014214_000022)

王蓮花(1964—)，女，河南寧陵人，北京物資學院信息學院副教授，主要研究方向：代數(shù)及其應(yīng)用.

10.3969/j.issn.1007-0834.2014.01.001

O172.2

A

1007-0834(2014)01-0001-03