郭欣紅(遼寧金融職業(yè)學(xué)院 素質(zhì)教育學(xué)院， 遼寧 沈陽 110122)

函數(shù)在點x=x0處可導(dǎo)的充分條件

郭欣紅

(遼寧金融職業(yè)學(xué)院 素質(zhì)教育學(xué)院， 遼寧 沈陽 110122)

通過幾個例子指出判斷函數(shù)在一點處是否可導(dǎo)要注意它的充分條件，剖析了錯誤判斷產(chǎn)生的原因.

函數(shù)；可導(dǎo)；充分條件

導(dǎo)數(shù)是微積分中的一個基本概念，關(guān)于函數(shù)f(x)在點x=x0處是否可導(dǎo)，一般是根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義和定理，即函數(shù)y=f(x)在x=x0點可導(dǎo)的充要條件是：左右導(dǎo)數(shù)存在且相等.如果對導(dǎo)數(shù)概念沒有深刻領(lǐng)會和理解，往往會對一些相關(guān)結(jié)論做出錯誤判斷.本文列舉了幾個例子，剖析判斷函數(shù)在x=x0處是否可導(dǎo)應(yīng)注意它的充分條件.

1 函數(shù)y=f(x)在點x=x0處是否可導(dǎo)

例1設(shè)函數(shù)f(x)在x=a的某個鄰域內(nèi)有定義，則f(x)在x=a處可導(dǎo)的一個充分條件是( )[1].

這道題很容易選錯，如果對導(dǎo)數(shù)概念沒有充分理解，會認為4個選項都對，而正確答案是(D)，下面我們來剖析一下其他3個選項錯在哪兒.

1)剖析選項(A)： 如果函數(shù)在點x=a可導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，顯然

可見選項(A)是函數(shù)可導(dǎo)的必要不充分條件.

2 函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)在x=x0處是否可導(dǎo)

例2函數(shù)f(x)和g(x)在點x0處可導(dǎo)是F(x)=f(x)+g(x)在該點處可導(dǎo)的( )[2].

(A) 充分不必要條件； (B) 必要不充分條件 ；(C) 充分必要條件 ；(D) 既不充分也不必要條件.

剖析此題容易錯誤地認為f(x)和g(x)在點x0處可導(dǎo)?F(x)=f(x)+g(x)在x0點可導(dǎo)，從而選(C).

例3函數(shù)f(x)和g(x)在點x0處可導(dǎo)是F(x)=f(x)·g(x)在該點處可導(dǎo)的( ).

(A)充分不必要條件；(B)必要不充分條件；(C)充分必要條件；(D)既不充分也不必要條件.

剖析同理此題也容易錯誤地認為f(x)和g(x)在點x0處可導(dǎo)?F(x)=f(x)·g(x)在x0點可導(dǎo)，從而選(C).

解如果f(x)和g(x)在點x0處可導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)定義可知，F(xiàn)(x)=f(x)·g(x)在x0處也可導(dǎo)；反之，則不一定成立.如f(x)=|x|，g(x)=-|x|，F(xiàn)(x)=f(x)·g(x)=-x2在點x=0處有導(dǎo)數(shù)，且F′(0)=-2x|x=0=0，然而f(x)=|x|，g(x)=-|x|,它們在點x=0處都不可導(dǎo)，因此選擇(A)充分不必要條件.

3 函數(shù)在點x=x0處是否可導(dǎo)

剖析此題可以利用導(dǎo)數(shù)定義，分別求出左右導(dǎo)數(shù)，判斷它們是否相等，也可以利用導(dǎo)數(shù)極限定理解決.

需要注意的是：導(dǎo)數(shù)極限定理只是函數(shù)在一點處可導(dǎo)的充分條件，如果把定理當(dāng)做充要條件，很容易導(dǎo)致錯誤結(jié)果.

通過文中例題的剖析，我們看到，關(guān)注導(dǎo)數(shù)存在的充分條件，能更深入準確掌握導(dǎo)數(shù)的定義，加深對概念的理解.

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M]. 6版.北京: 高等教育出版社, 2009：125

[2]吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解 [M]. 濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社, 2005.

[3]時文俊. 分段函數(shù)分段點處可導(dǎo)性的討論 [J]. 科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2013(15)：168-169.

TheSufficientConditionfortheDerivableFunctionatthePointx=x0

GUO Xin-hong

(CollegeofQualityEducation,LiaoningFinanceVocationalCollege，Shenyang110122，China)

By several examples, it points out that sufficient condition should be paid attention to in judgment of whether the function is derivative and the reason of making error judgment is analyzed.

function; derivable; sufficient condition

2014-01-22

郭欣紅(1969—)，女，遼寧沈陽人，遼寧金融職業(yè)學(xué)院素質(zhì)教育學(xué)院教授，主要研究方向： 高等數(shù)學(xué)教學(xué)教法.

10.3969/j.issn.1007-0834.2014.01.002

O172.1

A

1007-0834(2014)01-0004-03