姜翠翠，儲茂權(quán)

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241003)

子環(huán)擴張的G-Morphic性

姜翠翠，儲茂權(quán)

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241003)

主要研究了環(huán)C∝R的G-morphic性，證明了如下結(jié)果：(1)環(huán)C∝R是左G-morphic的，則C和R也是左G-morphic的.(2)設(shè)R是環(huán)，則a∈R是左G-morphic的?(a,0)∈R∝R是左G-morphic的?(0，a)∈R∝R是左G-morphic的.

子環(huán)的擴張；左G-morphic環(huán)；π-正則環(huán)

1 預(yù)備知識

本文中的環(huán)均是指有單位元的結(jié)合環(huán).對于環(huán)R,lR(a),rR(a)分別表示R中元素a在R中的左零化子和右零化子，U(R)，C(R)分別表示R中的可逆元之集和中心元之集.

2004年，W.K.Nicholsom, E. Sánchez Campós在文[1]中引入了Morphic環(huán)，此后，許多學(xué)者對該類環(huán)進(jìn)行了研究，得到了深入的研究結(jié)果(參見文[2-6]).2005年，凌燈榮等在Morphic環(huán)的基礎(chǔ)上引入G-morphic的概念[7].環(huán)R中的元素a稱為左(右)G-morphic的，若存在正整數(shù)n，使得R/Ran?l(an)(R/anR?r(an)).若環(huán)R中每個元素均是左(右)G-morphic的，則稱R是左(右)G-morphic的.同年，陳建龍等在文[2]中研究了平凡擴張的Morphic性.2011年，不同于文[2]中的平凡擴張，張雨婷在文[8]中討論了子環(huán)擴張的Morphic性.設(shè)R是環(huán)，C是R的子環(huán)，1R∈C.令C∝R={(c,r)|c∈C,r∈R}，定義其加法和乘法分別為(c1,r1)+(c2,r2)=(c1+c2,r1+r2),(c1,r1)·(c2,r2)=(c1c2,c1r2+r1c2+r1r2)，則C∝R是環(huán)，且單位元為(1R,0)，稱C∝R為R的子環(huán)擴張.特別地，當(dāng)子環(huán)C=R時，稱R∝R為R的平凡子環(huán)擴張.本文是在這些結(jié)果的基礎(chǔ)上，討論了R的子環(huán)擴張的G-morphic性，得出如下結(jié)果：(1)環(huán)C∝R是左G-morphic的，則C和R也是左G-morphic的.(2)設(shè)R是環(huán)，且a∈R，則a是左G-morphic的?(a,0)∈R∝R是左G-morphic的?(0,a)∈R∝R是左G-morphic的.

2 主要結(jié)果

引理2.1[2]對于環(huán)R中的元素a，下列命題等價：

(1)a是左G-morphic的；

(2) 存在n∈Z+，b∈R，使得Ran=l(b)且l(an)=Rb；

(3) 存在n∈Z+，b∈R，使得Ran=l(b)且l(an)?Rb.

定理2.2設(shè)R是環(huán)，C是R的子環(huán)，1R∈C.若S=C∝R是左G-morphic的，則C和R也是左G-morphic的.

證明(1)對任意a∈C，有(a,0)∈S是左G-morphic的.故存在n∈Z+，(b,c)∈S，使得lS(an,0)=S(b,c),lS(b,c)=S(an,0).由于S(b,c)(an,0)=(0,0),S(an,0)(b,c)=(0,0),可知Cb?lC(an),Can?lC(b).下證lC(an)?Cb,lC(b)?Can.對任意x∈lC(an),有(x,0)∈lS(an,0)=S(b,c).故存在(m,h)∈S,使得(x,0)=(m,h)(b,c)=(mb,mc+hb+hc).因此x=mb∈Cb.對任意y∈lC(b),有(y,-y)∈lS(b,c)=S(an,0).故存在(s,t)∈S，使得(y,-y)=(s,t)(an,0)=(san,tan).

因此y=san∈Can.故lC(an)=Cb,lC(b)=Can.從而C是左G-morphic的.

(2)對任意r∈R，有(0，r)∈S是左G-morphic的.故存在k∈Z+，(d,e)∈S，使得lS(0,rk)=S(d,e),lS(d,e)=S(0,rk).由于S(d,e)(0,rk)=(0,0),S(0,rk)(d,e)=(0,0)，可知R(d+e)?lR(rk),Rrk?lR(d+e).下證lR(rk)?R(d+e),lR(d+e)?Rrk.對任意h∈lR(rk),有(0，h)∈lS(0,rk)=S(d,e).故存在(g,l)∈S,(0,h)=(g,l)(d,e)=(gd,ge+ld+le).則h=ge+ld+le=gd+ge+ld+le=(g+l)(d+e)∈R(d+e).對任意q∈lR(d+e),有(0，q)∈lS(d,e)=S(0,rk).故存在(z,w)∈S,(0,q)=(z,w)(0,rk)=(0,zrk+wrk).因此q=zrk+wrk=(z+w)rk∈Rrk.故lR(rk)=R(d+e),lR(d+e)=Rrk.從而R是左G-morphic的.

推論2.3設(shè)R是環(huán)，若R∝R是左G-morphic的，則R是左G-morphic的.特別的，R是右GP-內(nèi)射環(huán).

證明由定理2.2可知，R是左G-morphic的.再根據(jù)[7，定理11]，得R是右GP-內(nèi)射環(huán).

推論2.4設(shè)R是左GPP-環(huán)，且R∝R是左G-morphic的.則R是π-正則的.特別的，R是幺π-正則的.

證明由于R∝是左G-morphic的，由推論2.3可知，R是左G-morphic的.而R又是左GPP-環(huán)，根據(jù)[9，命題8]可知，R是π-正則的.再根據(jù)[10，定理2.2]知，R是幺π-正則的.

定理2.6設(shè)R是環(huán)，a∈R，下列命題等價：

(1) a∈R是左G-morphic的；

(2) (a,0)∈R∝R是左G-morphic的；

(3) (0，a)∈R∝Rj daG-morphicr.

證明令S=R∝R.

(1)?(2)由于a∈R是左G-morphic的，則存在n∈Z+，b∈R使得lR(an)=Rb,lR(b)=Ran.易證lS(an,0)=S(b,0),lS(b,0)=S(an,0).故(a,0)在R∝R中是左G-morphic的.

(2)?(1)由于(a,0)∈S是左G-morphic的，則存在n∈Z+，(b,c)∈S使得lS(an,0)=S(b,c),lS(b,c)=S(an,0).易證lR(an)=Rb,lR(b)=Ran.故a在R中是左G-morphic的.

(1)?(3)由于a∈R是左G-morphic的，則存在n∈Z+，b∈R使得lR(an)=Rb,lR(b)=Ran.下證lS(0,an)=S(1,b-1),lS(1,b-1)=S(0,an).由于S(1,b-1)(0,an)=(0,0),S(0,an)(1,b-1)=(0,0),可知S(1,b-1)?lS(0,an),S(0,an)?lS(1,b-1).下證lS(0,an)?S(1,b-1),lS(1,b-1)?S(0,an).對任意(s,t)∈lS(0,an),有(s,t)(0,an)=(0,(s+t)an)=(0,0).故s+t∈lR(an)=Rb,存在r1∈R，使得s+t=r1b.那么t=r1b-s.則(s,t)=(s,r1b-s)=(s,r1-s)(1,b-1)∈S(1,b-1).對任意(p,q)∈lS(1,b-1),有(p,q)(1,b-1)=(p,pb-p+qb)=(0,0).因此p=0,qb=0.從而q∈lR(b)=Ran,存在r2∈R，使得q=r2an.故(p,q)=(0,r2an)=(0,r2)(0,an)∈S(0,an),(0,a)在R∝中是左G-morphic的.

(3)?(1)由于(0，a)∈R∝R是左G-morphic的，則存在n∈Z+，(b,c)∈S使得lS(0,an)=S(b,c),lS(b,c)=S(0,an).易證lR(an)=R(b+c),lR(b+c)=Ran.故a在R中是左G-morphic的.

在文[8]中給出了當(dāng)R是半單環(huán)時，R∝R是強Morphic的.而強Morphic?Morphic?G-morphic，故可得當(dāng)R是半單環(huán)時，有R∝R是G-morphic的.

(1) a∈R是左G-morphic的；

(2) (a,0)∈R∝R是左G-morphic的；

(3) (0,a)∈R∝R是左G-morphic的；

(4) (a,a)∈R∝R是左G-morphic的.

證明令S=R∝R.

由定理2.6可知，只需證(1)?(4)即可.利用數(shù)學(xué)歸納法易證，(a,a)∈R∝R有(a,a)n=(an,(2n-1)an).

(4)?(1)設(shè)(a,a)∈R∝R是左G-morphic的，則存在n∈Z+，(b,c)∈S使得lS(a,a)n=S(b,c),lS(b,c)=S(a,a)n.易證lR(an)=Rb,lR(b)=Ran.故a∈R是左G-morphic的.

引理2.8[2]設(shè)R是交換環(huán)，a∈R.若a是左G-morphic的，則對任意u∈U(R)，ua是左G-morphic的.

注：引理2.8中的條件“R是交換環(huán)”可以弱化為“R是環(huán)，u∈U(R)∩C(R)”.

推論2.9設(shè)R是交換環(huán)，S=R∝R.若a∈R是左G-morphic的，且u∈U(R).則(0,au)和(au,0)在S中均是左G-morphic的.

證明由R是交換環(huán)，易知S也是交換環(huán).a∈R是左G-morphic的，由定理2.6知，(a,0)和(0,a)在S中是左G-morphic的.而(0,au)=(0,a)(u,0),(au,0)=(a,0)(u,0),(u,0)∈U(S),故(0,au)和(au,0)在S中均是左G-morphic的.

注：推論2.9中的條件“R是交換環(huán)”可以弱化為“R是環(huán)，u∈U(R)∩C(R)”.

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TheG-morphicPropertyofSubring-Extension

JIANG Cui-cui, CHU Mao-quan

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241003, China)

In this paper, the G-morphic property of the subring-extensionC∝Ris studied. The following results are obtained: (1) ifC∝Ris left G-morphic, then bothCandRare left G-morphic. (2) For a ringR， an elementainRis left G-morphic ? (a,0) inR∝Ris left G-morphic ?(0,a) inR∝Ris left G-morphic.

subring-extension; left G-morphic ring; π-regular ring

2013-09-15

姜翠翠(1989-)，女，安徽阜陽人，碩士研究生；通訊作者：儲茂權(quán)，男，安徽岳西人，碩士生導(dǎo)師，研究方向：代數(shù)學(xué).

姜翠翠，儲茂權(quán).子環(huán)擴張的G-morphic性[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，37(1)：30-32.

O153.3

A

1001-2443(2014)01-0030-03