蔡香偉 方宗德? 蘇進展

(1.西北工業(yè)大學 機電學院，陜西 西安 710072;2.長安大學 道路施工技術與裝備教育部重點實驗室，陜西 西安 710064)

弧齒錐齒輪因具有傳動平穩(wěn)、承載能力強等優(yōu)點，被廣泛應用于航空、車輛及機床的動力系統(tǒng)中.在傳動過程中，兩相互嚙合的輪齒形成的齒面印痕，其位置、大小、形狀對于傳動系統(tǒng)的強度性能等有著極其明顯的影響.實際工況下，由于箱體、軸承、軸系及齒輪本身的變形以及制造誤差、溫度等因素的影響，印痕將偏離理論位置，這種偏離反映為齒輪副的當量安裝錯位［1］.當錯位大到使得印痕超出齒面范圍或靠近齒面邊緣時，將發(fā)生邊緣接觸、撞擊、敲擊等現(xiàn)象，導致傳動系統(tǒng)產(chǎn)生強烈的振動與噪聲，影響齒輪副的正常運轉.因此，對于印痕偏移的傳動系統(tǒng)，首要問題是識別相應的當量安裝錯位(以下簡稱為安裝錯位)，然后可將其反饋到零部件的公差分配及齒面的再設計中，這對提高齒輪副實際工況下的嚙合質量具有重要的工程意義.

國內外學者就安裝錯位與齒面印痕的相互關系進行了研究，包括安裝錯位作用下齒面印痕的變化［2-5］、齒面印痕對安裝錯位的敏感性［6-9］、齒面印痕的穩(wěn)定性設計［10］及安裝錯位的容差性問題等［11-12］;對于安裝錯位的識別，相關研究較少，僅見文獻［13］，通過載荷變化與印痕移動的近似線性關系計算安裝錯位，由于多種安裝錯位的組合可能引起相同的印痕偏移量，即這一問題存在多解性，而該文獻中并未對其進行有效說明.

文中主要探討了安裝錯位存在多解性的原因及相應的識別算法.建立了考慮安裝錯位的弧齒錐齒輪幾何接觸分析模型，基于“空間等效向量”的概念，分析不同錯位組合之間的內部聯(lián)系，說明多解性的產(chǎn)生機理;根據(jù)齒面印痕的數(shù)值特征，以逼近接觸軌跡曲線為目標，建立最小二乘法優(yōu)化模型，識別與當前印痕匹配的當量安裝錯位;通過有限元分析軟件ABAQUS，分別在實際安裝錯位與當量安裝錯位下進行加載接觸分析，比較輪齒的應力過程，驗證識別算法的正確性與可行性.

1 安裝錯位與齒面印痕

根據(jù)GB11365—1989 的規(guī)定，弧齒錐齒輪副在實際的安裝中，需要考慮的錯位因素主要有小輪齒圈軸向錯位ΔP、大輪齒圈軸向錯位ΔG、齒輪副的軸間距錯位ΔE 與軸夾角錯位ΔΣ，如圖1 所示.

圖1 弧齒錐齒輪副的安裝錯位Fig.1 Misalignment of spiral bevel gears

1.1 嚙合坐標變換與幾何接觸分析

由圖1 建立弧齒錐齒輪副的嚙合坐標系，如圖2 所示.坐標系S1和S2分別剛性連接在小輪與大輪上，Sh為固定參考坐標系，添加輔助坐標系Sc用以描述安裝中的錯位，φ1、φ2為小輪與大輪的嚙合轉角.

圖2 嚙合坐標變換Fig.2 Meshing coordinate system conversion

圖中各錯位正方向規(guī)定如下:小輪軸向錯位ΔP 為“+”時移向小輪大端，大輪軸向錯位ΔG 為“+”時移向大輪大端，軸間距錯位ΔE 為“+”時小輪軸線在大輪軸線下方，軸交角錯位ΔΣ 為“+”時軸交角增大.

將小輪與大輪的齒面位矢及法矢分別表示在坐標系Sh中:

式中，ξi為齒面參數(shù)，ξi=［θi，φi］(i=p，g)，小輪與大輪的位矢及法矢具體表達式可參考文獻［14］，Mh1、Mc2、Mhc分別為坐標系S1到Sh、S2到Sc、Sc到Sh的齊次變換矩陣，即

小輪與大輪齒面在固定坐標系Sh中連續(xù)相切接觸，得到輪齒接觸分析(TCA)基本方程為

一般情況下，安裝錯位D=［ΔP ΔG ΔE ΔΣ］已知，由于，式(3)只有5 個獨立的標量方程，未知量有6 個，取小輪嚙合轉角φ1為輸入量，可得齒面上的一個接觸點，然后以一定步長改變φ1，繼續(xù)求解，直至求出的接觸點超出齒面的有效邊界，即可得到齒面的接觸軌跡.在嚙合點處，由齒面參數(shù)確定兩齒面的相對曲率，結合齒面的彈性變形量不大于0.006 35 mm，計算該點處的接觸橢圓，一系列的接觸橢圓將構成齒面的接觸印痕.

1.2 錯位多解性分析

由式(1)、(2)可知，小輪、大輪齒面上的點在固定坐標系中的位置是由齒面參數(shù)ξi、安裝錯位D 及各自的嚙合轉角φ1、φ2確定的，齒面上任意兩點的相對位矢

不同的錯位組合作用下，嚙合的每一瞬時兩齒輪在固定坐標系Sh中的絕對坐標是不同的，但相對坐標如果相同，即小輪與大輪齒面上任意兩點的相對位矢Δr 一致，存在唯一的“空間等效向量”，則齒輪副的嚙合狀態(tài)是等價的，這將產(chǎn)生相同的齒面印痕.

由于“空間等效向量”的唯一性，在進行錯位識別時，只需根據(jù)實際齒面印痕的偏移確定一組滿足“空間等效向量”的當量錯位即可，無需精確計算出真實的錯位，錯位的識別由尋找“真解”轉換為尋找“等效解”，避免了從結構、受力等方面分析產(chǎn)生印痕偏移的原因，大大降低了問題的研究難度.

2 安裝錯位識別

2.1 齒面印痕的數(shù)值描述

實際齒面印痕的物理資源為印痕拓片或照片，必須提取其數(shù)值特征，才能進行后續(xù)處理.圖3 為齒面印痕參數(shù)化示意圖，數(shù)值特征包括印痕中心坐標、印痕面積、印痕方向角.其中印痕方向角為接觸軌跡曲線上進入嚙合點與退出嚙合點連線與節(jié)錐的夾角.從圖中可以看出，中心點坐標x、y 代表齒面印痕的整體位置，印痕面積s 反映了輪齒的承載情況，印痕方向角α 表示嚙合點在齒面的運動方向.

圖3 齒面印痕參數(shù)化Fig.3 Parameterization of contact pattern

2.2 優(yōu)化模型

有效的算法是保證錯位識別精度的關鍵因素.由于齒面接觸軌跡代表了輪齒從進入嚙合到退出嚙合的完整過程，這里通過對接觸軌跡曲線的控制，可以實現(xiàn)高精度的錯位識別.

給定一組安裝錯位D，由幾何嚙合仿真得到齒面上的接觸點，擬合成接觸軌跡曲線記為ld，ld上離散點的位置矢量與法線矢量分別表示為

式中，m 為離散點的個數(shù).

根據(jù)實際齒面印痕擬合的接觸軌跡曲線記為lt，lt與ld的偏差如圖4 所示，優(yōu)化的目標是尋求一組錯位，使得ld逼近于lt.

圖4 接觸軌跡偏差Fig.4 Deviation of contact path

lt上的離散點可表示如下:

將上式代入lt的曲線方程中，求解非線性方程即可計算當前離散點的偏差hi.

以兩曲線偏差的平方和最小，建立最小二乘法目標函數(shù)模型

由于多解性的存在，為保證所求安裝錯位的量值合理，需對D=［ΔP ΔG ΔE ΔΣ］進行約束:選擇一個分量，作為優(yōu)化常值，其余3 個分量作為優(yōu)化變量，并對其取值范圍進行限制，算例中對位移分量取值“- 1.0～ + 1.0 mm”，角度分量取值“-1.0～+1.0 deg”.Cp與Cg為加權系數(shù)，分別表示與小輪和大輪接觸軌跡曲線逼近的重要程度，可根據(jù)實際情況取值，這里均為0.5.

3 算例

以一對弧齒錐齒輪(大輪展成法加工，小輪變性法加工)為例說明上述方法，輪坯參數(shù)見表1，假定大輪凸面與小輪凹面嚙合，機床參數(shù)分別列于表2、3.

表1 輪坯參數(shù)Table 1 Blank data

表2 大輪機床參數(shù)Table 2 Machine-tool settings for gear

表3 小輪機床參數(shù)Table 3 Machine-tool settings for pinion

齒輪副的標準安裝位置為D0，仿真分析中，人為擬定錯位量Dt作為實際錯位(安裝錯位的真值)，以大輪的軸向位移分量ΔG 作為不變量，給定初值為-0.05 mm，優(yōu)化得到1 組當量安裝錯位De，3 組錯位的分量見表4.

表4 安裝錯位數(shù)值Table 4 Value of misalignment

圖5 -7 是齒輪副在3 種錯位下的齒面印痕(為了定量分析安裝錯位對齒面印痕的影響，依次取接觸橢圓長軸端點相連組成的四邊形區(qū)域作為齒面印痕)，相關數(shù)值特征列于表5，下標p、g 分別表示小輪與大輪，偏差比的計算公式為| (當量值-真值)/真值| ×100%.

從以上計算結果可以看出:標準安裝位置的齒面印痕位于齒寬中部，接觸軌跡曲線呈一定角度的傾斜;在實際錯位下，齒面印痕的形狀改變不大，但印痕中心位置移動明顯，齒面印痕向小端偏移，印痕的面積也有一定程度的減小;當量錯位下的齒面印痕，其大小、方向、位置均與實際錯位下的齒面印痕非常接近，數(shù)值特征的偏差比均處于較小的范圍，說明了識別算法取得了較高的求解精度.

圖5 標準安裝位置D0 下的齒面印痕Fig.5 Contact pattern under misalignment D0

圖6 實際安裝錯位Dt 下的齒面印痕Fig.6 Contact pattern under misalignment Dt

圖7 當量安裝錯位De 下的齒面印痕Fig.7 Contact pattern under misalignment De

上述安裝錯位的識別僅基于幾何接觸分析，需通過加載后的齒面印痕驗證De與Dt的等價性.在一定的載荷、邊界條件下，齒面印痕與輪齒的應力過程有著嚴格的對應關系.因此，這里借助于有限元軟件ABAQUS 分別對在兩組安裝錯位De、Dt下嚙合的齒輪副進行加載接觸分析，通過對比輪齒應力狀態(tài)，以替代加載的齒面印痕實現(xiàn)上述驗證.根據(jù)輪坯設計參數(shù)及機床參數(shù)，生成齒面坐標，按照一定的規(guī)律編排節(jié)點與單元信息，建立齒輪副的網(wǎng)格模型，并在錯位下進行裝配，如圖8 所示.兩組加載接觸分析的條件設置相同［15］，采用隱式、靜力學分析算法，大輪阻力矩為750 N·m，單齒從進入嚙合到退出嚙合分為35 步.

表5 齒面印痕的數(shù)值特征Table 5 Numerical features of contact pattern

圖8 弧齒錐齒輪副的有限元模型Fig.8 Finite element of spiral bevel gear

提取中間齒對的齒面接觸應力(CPRESS)、齒根彎曲應力(Mises)如圖9、10 所示.在當量錯位De與實際錯位Dt作用下應力曲線基本吻合，說明輪齒的受力與變形狀況基本一致，這將導致齒輪副的加載印痕亦基本相同.

圖9 接觸應力比較Fig.9 Comparison of contact stress

圖10 工作面彎曲應力比較Fig.10 Comparison of bending stress for working surfaces

將加工好的試驗件齒輪安裝在著色檢驗機上，如圖11 所示，通過調整兩輪的相對位置，觀察印痕區(qū)域的變化情況以研究安裝錯位對齒面印痕的影響.在檢驗機上，大、小輪的軸向位置變動量ΔG、ΔP以及軸間距變動量ΔE 通過相應的位置調整手輪實現(xiàn);松開鎖緊裝置，轉動托板臺可進行軸夾角變動量ΔΣ的調整;檢驗機的轉速有兩檔，分別為1400 r/min和3 000 r/min;試驗時對大齒輪的加載通過加載手柄實現(xiàn)，所加載荷范圍僅使齒面保持接觸不脫開.

圖11 弧齒錐齒輪滾檢試驗Fig.11 Meshing testing of spiral bevel gears

分別按照錯位Dt和De調整齒輪副的安裝位置，小輪轉速為1 400 r/min，對滾時間為5 min.觀察小輪凹面印跡，如圖12(a)、12(b)所示.由圖可知，在兩組安裝錯位作用下，接觸區(qū)均偏向小端，形狀基本一致，與計算機仿真結果基本相符，驗證了兩組安裝錯位的等價性.

4 結論

(1)不同的安裝錯位可以導致相同的齒面印痕，但這些錯位組合之間存在等價關系，安裝錯位的識別問題由確定真解轉換為計算一組等效解.

(2)提取齒面印痕的數(shù)字化特征，以逼近齒面接觸跡線為優(yōu)化目標，可以高精度地識別與齒面印痕匹配的當量安裝錯位.

(3)以一對弧齒錐齒輪副為例，通過有限元分析軟件，在實際安裝錯位與當量安裝錯位下分別進行加載接觸分析，比較齒輪副的受力狀態(tài)，結合齒輪副的滾檢試驗，驗證兩組錯位的等價性，說明了識別算法的精度及有效性.

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