楊 潔

(聊城大學東昌學院, 山東 聊城 252000)

1 預備知識

陳水利[1]引入了一種具有廣泛意義的L-fuzzy保序算子空間,簡記為L-保序算子空間,并給出ω-閉集,ω-基,ω-子基等概念．文獻[2-4]中將一些常見的算子進行統(tǒng)一,建立了L-保序算子空間的基本理論．文獻[5-6]繼續(xù)在L-保序算子空間中引入基本的基數(shù)函數(shù):ω-權(quán),ω-特征和ω-稠密度并系統(tǒng)地討論了這些概念的基本性質(zhì)及關(guān)系．

在文獻[6]的最后,作者提出了一個問題:點集拓撲學中關(guān)于濃度成立的Hewitt-Marczewski-Pondiczery定理是否關(guān)于ω-稠密度能夠成立?

本文將研究上述問題并給出一個部分解答．L為fuzzy格,M是L中所有分子的集合．LX表示在非空集合X上定義,在L中取值的所有L-fuzzy集合構(gòu)成的集族．1X和0X分別指LX中的最大最小元．LX中的所有分子的集合記為M*(LX)．基數(shù)ω0是指最小無限基數(shù)．本文中的基數(shù)m≥ω0,其它相關(guān)概念和符號可參考文獻[1,5-6]．

定義1[1]設X是一個非空集合,ω:LX→LX是滿足下列條件的算子:(i)ω(1X)=1X,(ii) ?A,B∈LX,A≤B?ω(A)≤ω(B), (iii) ?A∈LX,A≤ω(A)．則定義ω為一個L-fuzzy保序算子．若A=ω(A),稱A為LX的一個ω-集,記Ω={A∈LX:A=ω(A)}．稱(LX,Ω)是L-fuzzy保序算子空間,記為L-保序算子空間．

定義2[6]設(LX,Ω)為L-保序算子空間,xα∈M*(LX),P∈LX．若存在Q∈Ω,使xα>Q并且P≤Q,則稱P為xα的一個ω-遠域．xα的所有ω-遠域組成的集族記作ωη(xα)．若A∈LX且?P∈ωη(xα)有A>P,則稱xα為A的ω-附著點． 定義A的所有ω-附著點之并為A的ω-閉包,記為ωcl(A)．若ωcl(A)=A, 則稱A是LX中的ω-閉集． (LX,Ω)中所有的ω-閉集構(gòu)成的集族記作ωC(A)．若A為ω-閉集,稱A′為LX中的ω-開集．

2 L-保序算子空間的ω-稠密度

L-保序算子空間中ω-稠密度的概念如下:

定義3[6]設(LX,Ω)是L-保序算子空間,A∈LX． 定義LF集A的勢|A|=min{|φ|:φ?M*(LX),∨φ=A}．d(LX,Ω)=ω0+min{|A|:A∈LX,ωcl(A)=1X}記為(LX,Ω)的ω-稠密度．

注:ω為L-fuzzy閉包算子時, 上面的定義即指文獻[7]中的稠密度．

在點集拓撲學中,Hewitt-Marczewski-Pondiczery定理如下:

定理1[8]如果?t∈T,d(Xt)≤m,且|T|≤2m,則有d(∏t∈TXt)≤m．

研究證明HPV的感染是可以預防的，并且宮頸癌可能成為第一個可以用疫苗預防的癌癥。研究發(fā)現(xiàn)，HPV的L1蛋白保守度高，因此可以作為HPV的特異性抗原用來研究制造病毒預防疫苗。目前市面上的預防疫苗都是利用重組的DNA分子所表達的病毒樣顆粒(virus-like particles， VLPs)制成的疫苗。

經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn),在L-保序算子空間中加上一個相關(guān)條件后,關(guān)于ω-稠密度的Hewitt-Marczewski-Pondiczery定理是可以成立的,即:

定理2 設{(LXt,Ωt)}t∈T是一族L-保序算子空間,(LX,Ω)是其積空間．如果(i)?t∈T,d(LXt,Ωt)≤m,(ii)|T|≤2m,且(iii)L中有分子集φ,滿足∨φ=1L,|φ|≤m且φ為定向集合,則d(LX,Ω)≤m．

證明取集合Γ滿足|Γ|=m．對于?α∈Γ,設Tα是由兩個點組成的離散拓撲空間．設S=∏α∈ΤTα,則有|S|=2m．又因為Tα上的拓撲為離散的,故其乘積空間(S,φ)滿足T2分離公理．設S是φ中全部乘積形狀的非空開集,則有|S|=m．設R是S中的有限多個兩兩不相交的非空開集組成的各種子族的全體,則|R|=m．由條件(ii),不妨設T為S的子集．

設?t∈T,d(LXt,Ωt)≤m．取At? LXt, 使得ωclXt(At)=1Xt,并且| At|≤m. 設Yt=suppAt,則有| Yt|≤m. 取集合Z,滿足| Z|=m.則? t ∈ T, 存在滿射ft:Z→Yt．

對于?r∈R,我們將在X=Πt∈TXt中做出不超過m個點,這樣與R中全體r相對應,一共做出不超過m*m=m個點．然后以這m個點為承點,構(gòu)造分子xλ,其高度λ取值于φ,則這種分子的個數(shù)仍然不超過m．我們證明它們并的ω-閉包等于1X,則證明完成．

?r={U1,…,UK}∈R,這里U1,…,UK是S中兩兩不相交的非空開集,做點x={xt}t∈T∈X如下:

其中：z1,…, zk+1是Z中任取的點．

又因為| Z|=m.所以對于某一固定的?r∈R,按此過程可以得到X中不超過m個點,其全體記作E(r),則| E(r) |≤m．令E=∪r∈RE(r)?| E |≤m．令ψ={xλ:x∈E,λ∈φ},則有| ψ |≤m,設A=∨ψ,下證ωcl(A)=1X．

(1)

因為(S,φ)滿足T2分離公理,t1,…,tk是T中從而也是S中兩兩不同的點．所以有

S中存在兩兩互不相交的開集U1,…,UK滿足ti∈Ui(i=1,…,k).

這時有r={U1,…,UK}∈R．并且對于?i≤k, 由于fti:Z→Yti為滿射,可以取Zti∈Z滿足f(Zti)=yti,再任取一點z∈Z,令x={xt}t∈T∈X滿足:

則由x ∈E且xti=f(Zti)=yti可知xλ∈ψ．

注意到上述條件(iii)與條件“1L是L中的并既約元”是等價的,則經(jīng)過類似的證明可以得到定理3.

定理3 設{(LXt,Ωt)}t∈T是一族L-保序算子空間,(LX,Ω)是其積空間．如果(i)?t∈T,d(LXt,Ωt)≤m,(ii)|T|≤2m,且(iii)1L是L中的并既約元,則d(LX,Ω)≤m．

參考文獻:

[1]ChenShuili.OnL-fuzzyorder-preservingoperatorω-spaces[J].TheJournalofFuzzyMathematics, 2006,14(2):481-499.

[2]陳水利,董長清.L-fuzzy保序算子空間中的連續(xù)[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學,2002,16(3): 36-41.

[3]HuangZhaoxia,ChenShuili.ωθ-countabilityinanLω-space[J].AdvancesinIntelligentandSoftComputing,2010,82: 519-526.

[4]黃金蘭,陳水利.Lω-空間中ω-tychonoff的分離性[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學,2012,26(4):43-48.

[5]楊潔.可拓撲生成的L-fuzzy保序算子空間的權(quán)，特征及稠密度[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學,2014,28(1):53-56.

[6]陳斌.L-fuzzy保序算子空間的基數(shù)函數(shù)[J].山東大學學報:理學版,2007, 42(12): 119-122.

[7]王國俊.L-fuzzy拓撲空間論[M].西安:陜西師范大學出版社,1988.

[8]EngelkingR.GeneralTopology[M].Warszawa:PWN-PolishScientificPublishers, 1977.