周 疆，張超楠

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830046)

1 引言及主要結(jié)果

設(shè)m,n∈, 0<α

(1)

作為經(jīng)典Riesz位勢(shì)的多線性推廣, 式(1)所定義的算子已被廣泛地研究, 可參看文獻(xiàn) [1-6] 及所引文獻(xiàn).

一個(gè)局部可積函數(shù)b屬于 BMO(n)空間, 如果

對(duì)于β>0, 齊次Lipschitz 函數(shù)空間 Lipβ(n) 定義為

(2)

其中：m∈,b=(b1,…,bm)為一族局部可積函數(shù), 且

(3)

定理1 設(shè)ωj:n×+→+的正則函數(shù),m∈,且若是Lp1×…×Lpm→Lp有界的,bj∈Lipβ(n),則是Lp1,ω1×…×Lpm,ωm→Lp,ω有界的, 即存在常數(shù)C, 使得

2 基本引理

首先, 介紹一些將要用到的定義和引理.

定義1[10]設(shè)正則函數(shù)ω:n×+→+, 1

其中:B(x,r)表示以點(diǎn)x為中心且邊長(zhǎng)為r的球體, 則稱(chēng)函數(shù)f屬于廣義 Morrey 空間.

因此廣義的 Morrey 空間是經(jīng)典 Morrey 空間和 Lebesgue 空間的推廣.

以下引理在本文證明中是必要的.

引理1[8]設(shè)Q*?Q,b(x)∈Lloc(n), 則存在常數(shù)C, 使得

|bQ-bQ*|≤C‖b‖Lipβ(n)|Q|β/n.

引理2[8]對(duì)于 0<β<1,1≤p<∞, 有

3 定理的證明

Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ+Ⅳ.

C(‖b1‖Lipβ+‖b2‖Lipβ)‖f1‖Lp1,ω1‖f2‖Lp2,ω2

對(duì)于Ⅱ, 進(jìn)行分解得:

|Ⅱ|≤|(b1(x)-m2B(b1))Iα,2(f1χ(2B)c,f2χ2B)(x)|+

|(b2(x)-m2B(b2))Iα,2(f1χ(2B)c,f2χ2B)(x)|+|Iα,2((b1(y)-m2B(b1))f1χ(2B)c,f2χ2B)(x)|+

|Iα,2(f1χ(2B)c,(b2(y)-m2B(b2))f2χ2B)(x)|:=Ⅱ1+Ⅱ2+Ⅱ3+Ⅱ4.

對(duì)于Ⅱ1,x∈B,y1∈(2B)c,y2∈2B, 有|(x-y1,x-y2)|～|x-y1|+|x-y2|～|x-y1|, 根據(jù) H?lder 不等式, 得

類(lèi)似于Ⅱ1的估計(jì), 對(duì)于Ⅱ2, 有

對(duì)于Ⅱ3, 由引理1,引理2及H?lder 不等式, 得

類(lèi)似于Ⅱ3的估計(jì), 對(duì)于Ⅱ4, 有

綜合以上的估計(jì), 有

同樣, 對(duì)于Ⅲ, 有

下面證明對(duì)Ⅳ也有同樣的估計(jì), 首先對(duì)Ⅳ 進(jìn)行如下分解:

|Ⅳ|≤|(b1(x)-m2B(b1))Iα,2(f1χ(2B)c,f2χ(2B)c)(x)|+

|(b2(x)-m2B(b2))Iα,2(f1χ(2B)c,f2χ(2B)c)(x)|+|Iα,2((b1(y)-m2B(b1))f1χ(2B)c,f2χ(2B)c)(x)|+

|Iα,2(f1χ(2B)c,(b2(y)-m2B(b2))f2χ(2B)c)(x)|:=Ⅳ1+Ⅳ2+Ⅳ3+Ⅳ4.

對(duì)于Ⅳ1,x∈B,y1∈(2B)c,y2∈(2B)c, 有 |x-y1|～|x-y2|, 根據(jù)H?lder 不等式, 得

同理可得:

類(lèi)似的證明方法, 也有

以及

結(jié)合上面對(duì)Ⅳ1,Ⅳ2,Ⅳ3,Ⅳ4的估計(jì), 有

綜上所述, 得

定理證明完畢.

參考文獻(xiàn):

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