丁 昊，蔡體菁

（東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096）

關(guān)于檢測質(zhì)量的4旋轉(zhuǎn)加速度計信號疊加的頻域分析

丁 昊，蔡體菁

（東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096）

在旋轉(zhuǎn)圓盤上對稱安裝4只高精度加速度計，加速度計信號兩兩相加再相減，再解調(diào)制就可以得到重力梯度值。針對上述的4旋轉(zhuǎn)加速度計，研究檢測質(zhì)量對其信號疊加的輸出頻域特征，推導(dǎo)的頻域表達(dá)式證明輸出中含有高次諧波，相鄰諧波的頻差是圓盤旋轉(zhuǎn)頻率的4倍，即諧波頻率分別為6倍頻、10倍頻、14倍頻等。利用stirling公式給出了各次諧波分量幅值的近似計算方法，并進(jìn)行了數(shù)值仿真，結(jié)果表明檢測質(zhì)量與圓盤之間的距離越近，諧波分量的幅值越大。

重力梯度儀；旋轉(zhuǎn)加速度計；檢測質(zhì)量；頻域分析；諧波；檢測質(zhì)量.

重力梯度測量在地球物理科學(xué)、資源勘探等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景。國際上正在研制和發(fā)展的各種類型的重力梯度儀，其中旋轉(zhuǎn)加速度計重力梯度儀已成功用于航空/航海資源勘探。上世紀(jì)七十年代，美國Bell Aerospace Textron公司研制開發(fā)了第一臺基于旋轉(zhuǎn)加速度計重力梯度儀的系統(tǒng)樣機(jī)，并進(jìn)行了多項實驗。近年來，美國Lockheed Martin公司基于此項技術(shù)開發(fā)的全張量重力梯度儀Air-FTG以及同澳大利亞BHP Billiton公司共同研制的FALCON航空重力梯度儀已經(jīng)在航空重力勘探領(lǐng)域展現(xiàn)出良好的性能[1-4]。

現(xiàn)在國內(nèi)一些單位也對旋轉(zhuǎn)加速度計重力梯度儀技術(shù)開展了一系列研究[5-7]。為了研究旋轉(zhuǎn)加速度計重力梯度儀信號處理和標(biāo)定，下面將研究檢測質(zhì)量位置變化對旋轉(zhuǎn)圓盤上的4個加速度計輸出信號疊加的頻率特征，建立輸出信號的頻域模型，分析信號和各次諧波分量的幅值關(guān)系。

1 4旋轉(zhuǎn)加速度計信號疊加的頻域特征

4只高精度加速度計對稱安裝在一個半徑為r的圓盤上，加速度計的敏感軸指向圓盤圓周的切線方向，相對兩只加速度計的敏感軸方向相反。當(dāng)圓盤以角速度ω旋轉(zhuǎn)時，4只加速度計的輸出分別兩兩相加再相減，再進(jìn)行解調(diào)就可得到重力梯度分量。如果圓盤外有一檢測質(zhì)量m，當(dāng)其接近或者遠(yuǎn)離圓盤時，研究 4只旋轉(zhuǎn)加速度計信號疊加后的輸出。

圖1 以圓盤圓心O為原點建立坐標(biāo)系Fig.1 The coordinate frame origin at the disc center

如圖1所示，以圓盤圓心O為原點建立坐標(biāo)系，圓盤位于xy平面上，x軸通過質(zhì)點M在xy平面上的投影。如果圓盤圓心O與質(zhì)點M在xy平面上的投影之間的距離為l，則M的坐標(biāo)為(l,0,z0)。t時刻加速度計1旋轉(zhuǎn)到P點，設(shè)圓盤旋轉(zhuǎn)的角速度ω，t時刻圓盤轉(zhuǎn)過的角度為ωt，那么加速度計1所在的P點的坐標(biāo)就是。

質(zhì)點M對空間中(x,y,z)位置的引力加速度，在x軸方向上的分量

在y軸方向上的分量

式中，G是萬有引力常數(shù)。

將P點坐標(biāo)以及分別帶入式(1)和式(2)，可得：位于P點的加速度計 1，把敏感軸方向上的輸入加速度轉(zhuǎn)換成輸出：

式中，K是加速度計1的標(biāo)度因數(shù)。

圓盤上的其它三只加速度計由于安裝位置的對稱性，與上述位于P點的加速度計1轉(zhuǎn)過的角度依次相差π/2。由于重力梯度儀對加速度計標(biāo)度因數(shù)采取在線反饋調(diào)節(jié)技術(shù)，4只加速度計的標(biāo)度因數(shù)差別很小，假設(shè)彼此相等均為K。同理可得到其它三只加速度計由于檢測質(zhì)量產(chǎn)生的輸出。

第2只加速度計：

第3只加速度計：

第4只加速度計：

式中，α=l/r，即質(zhì)點到圓盤中心的距離與圓盤半徑之比。各個加速度計的輸出為：

根據(jù)式(12)得到 4加速度計輸出時域圖。通過FFT，可得到相應(yīng)的頻譜圖，見圖2。

雖然采用這種方法可以計算出4加速度計輸出信號中的頻譜分布的數(shù)值，但是只能針對已知參數(shù)的特定情況來個別求解，對4加速度計輸出的頻域分析存在很大的局限性。

圖2 4加速度計輸出的時域和頻域圖.Fig.2 The output of four accelerometers in time domain and in frequency domain.

為了對式(12)在頻域上進(jìn)行討論，利用如下的三角函數(shù)乘冪公式：

代入P(ωt)，可得：

令

當(dāng)k=0時，

式(15)變?yōu)椋?/p>

將上述式(18)代入式(12)，整理得：

式中，

令(k=0,1,2,3)，得到前4項倍頻分量sin2ω t、sin6ω t、sin10ω t和sin14ω t的系數(shù)，分別為：

根據(jù)Stirling公式，當(dāng)（n→∞）時，階乘n!可以用冪函數(shù)近似，即：

當(dāng)（n→∞）時，S(0)有如下近似表達(dá)式

類似地，可以得到如S(1)、S(2)和S(3)等其它系數(shù)的近似計算式。計算各個系數(shù)的具體值，即各次諧波分量的幅值大小，列于表1所示。

表1 S(k)系數(shù)的具體值Tab.1 Value ofS(k)coefficient

2 頻域分析

通過表1可以發(fā)現(xiàn)，重力梯度儀輸出中的各次諧波的幅值即系數(shù)S(k)是隨著B取值不同而變化的。引入‘質(zhì)點與圓心距離-圓盤半徑比’，那么式(8)變?yōu)椋?/p>

以α為橫坐標(biāo)，S(k)為縱坐標(biāo)，4加速度計輸出中前四項頻率分量的幅值隨α的變化關(guān)系，如圖3所示。圖中相同α對應(yīng)sin2tω、sin6tω、sin10tω和sin14tω的幅值依次降低，說明 2倍頻率信號始終占據(jù)重力梯度儀輸出中的主要成分。輸出中的諧波分量頻率越高幅值越小，因此在分析中只要考慮前幾項諧波的影響即可。

圖3 輸出中前4項頻率分量的幅值隨α的變化關(guān)系.Fig.3 The relationship between the top 4 frequency components’ amplitudes withα.

同時注意到，當(dāng)α＜1.5左右時，其它諧波分量的幅值均有大幅提高。隨著α的減小，即質(zhì)點M距離圓盤中心越來越近，各次諧波分量相對于信號也變得越來越大，并不可被忽略。

圖4 前3項諧波相對于2倍頻信號隨α的變化關(guān)系.Fig.4 The relationship between the first 3 harmonic components’ amplitudes relative to signal withα.

以α為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，研究 4加速度計輸出中前3項諧波分量的幅值相對于2倍頻信號隨α的變化關(guān)系，如圖4所示。質(zhì)點M貼近圓盤邊緣的極端情況下，sin6tω、sin10tω和sin14tω的諧波分量的幅值分別達(dá)到了sin2tω信號幅值的約80%、33%和9%。因此，必須針對重力梯度儀的輸出信號特點，設(shè)計合適的低通濾波器以濾除諧波分量。

3 結(jié) 論

通過對 4加速度計輸出在頻域展開可以發(fā)現(xiàn)，4加速度計輸出在頻域由倍頻分量構(gòu)成，相鄰分量之間的頻差為2ω/π，即圓盤旋轉(zhuǎn)頻率的4倍，諧波分量不可被忽略。為了得到重力梯度值，設(shè)計合適的低通濾波器，以對信號之外的諧波分量進(jìn)行衰減。

（References）：

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[8]Jeffrey A,Zwillinger D.Table of Integrals,Series,and Products[M].7th ed.New York: Academic Press,2007.

Frequency domain analysis on superposed signal of four rotating accelerometers about proof mass

DING Hao,CAI Ti-jing
(School Of Instrument Science & Engineering,Southeast University,Nanjing 210096,China)

The gravity gradient can be obtained from the output signals of four symmetrically mounted high-precision accelerometers on a rotating disk.For this four rotating accelerometers,the frequency domain characteristics of the superposed signal about proof mass are studied.The deduced expressions of frequency domain prove that certain higher harmonic components exist in addition to the signal,and the harmonic frequency offset is four times that of the disc rotation frequency,while the harmonic frequency is 6 times,10 times or 14 times,etc.,respectively.Then the approximate calculation method of each harmonic coefficient is given by using the stirling formula.The numerical simulation results show that,the closer the distance between the proof mass and the disc,the greater the amplitude of harmonic component.

gravity gradiometer; rotating accelerometer; proof mass; frequency domain analysis; harmonic;filter design.

U666.1

：A

1005-6734(2014)02-0167-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2014.02.005

2013-11-1；

：2014-03-08

“十二五”863主題項目（2011AA060501）

丁昊（1979—），男，博士研究生，從事精密儀器研究。E-mail：dinghao32901@126.com

聯(lián) 系 人：蔡體菁（1961—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail：caitij@seu.edu.cn