司徒麗波

【摘 要】夯實化歸思想，有助于探討圓的面積計算方法。通過“激活經(jīng)驗，孕伏滲透，有序點撥，拓展延伸”，有助于轉(zhuǎn)化思想的升華運用，更有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

【關(guān)鍵詞】圓的面積；轉(zhuǎn)化

圓是一種由曲線圍成的圖形，其面積的計算涉及化曲為直的思想、極限思想。那么，哪種面積計算公式的推導(dǎo)方法讓學(xué)生最容易理解并接受？其余幾種方法要不要讓學(xué)生感受？許多老師對本節(jié)課做出了嘗試探索。

A老師：從圓內(nèi)接正方形起，隨著正多邊形的邊數(shù)增多，面積越接近圓的面積。把圓沿著直徑分割成若干份，把圓的面積轉(zhuǎn)化為若干個近似三角形的面積，通過三角形的面積公式推導(dǎo)出圓的面積計算公式。

B老師：將圓轉(zhuǎn)化為三角形、梯形展開教學(xué)，對促進學(xué)生的數(shù)學(xué)思考具有積極作用。但找圖形轉(zhuǎn)化前后的聯(lián)系，比“圓與平行四邊形”的聯(lián)系難度要大，給公式的推導(dǎo)帶來了極大的挑戰(zhàn)，不利于學(xué)生理解。

如何讓這些不同的轉(zhuǎn)化方法融合運用，突出基本方法，讓學(xué)生既容易理解，又能發(fā)展求異思維？筆者認為，教師應(yīng)將圓的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形的面積作為最基本的推導(dǎo)方法，只有夯實這一轉(zhuǎn)化過程，學(xué)生才能積累探究的經(jīng)驗，才有可能創(chuàng)造出不同的轉(zhuǎn)化方法，解釋并概括出圓的面積計算公式。因此，教學(xué)時，教師要夯實基本方法，讓學(xué)生不斷感受多元“轉(zhuǎn)化”，開拓思維，提高數(shù)學(xué)思考能力。

一、激活經(jīng)驗，明確研究方法

圓的面積計算方法與學(xué)生的已有知識經(jīng)驗有密切的聯(lián)系，因此，在本課的教學(xué)中，教師應(yīng)充分喚醒學(xué)生已有的化歸經(jīng)驗，為新知的探究做好準(zhǔn)備。

（課件出示長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓形）

師：回憶一下，這些直線圖形的面積是怎樣推導(dǎo)的？以平行四邊形為例，誰能幫大家回憶一下？

生：平行四邊形沿著高，剪下一個三角形，平移到右邊，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，平行四邊形的底相當(dāng)于長方形的長，平行四邊形的高相當(dāng)于長方形的寬，因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

師：當(dāng)時為什么要把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形？

生：當(dāng)時長方形的面積已經(jīng)會求了，這樣能把新知轉(zhuǎn)化為舊知。

師：像這樣，通過先分割再拼補的方法叫做割補法。

師：那么三角形和梯形的面積又是怎么推導(dǎo)的？（生回答略）用兩個完全相同的圖形拼組的方法，叫倍拼法。不管采用哪種方法，都是將未知轉(zhuǎn)化為已知，找到兩者之間的聯(lián)系，從而推導(dǎo)出計算公式。其實，這種方法對于今天要研究的圓的面積也有幫助。對于我們要研究的圓面積，你打算怎么用哪種方法？

生：割補法。因為倍拼法無法將圓轉(zhuǎn)化為我們已學(xué)的舊知。

教師借助課件，讓學(xué)生回憶平行四邊形面積計算公式的推導(dǎo)過程，通過觀察圖形轉(zhuǎn)化前后的變化，喚醒了學(xué)生記憶中“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。分析梳理兩種不同的推導(dǎo)方法，在回顧與辨析中，確定本課研究的基本方法即割補法，讓學(xué)生對新知的探究有了明確的方向。

二、孕伏滲透，探尋化歸目標(biāo)

從課前學(xué)生的前測中發(fā)現(xiàn)，80%的學(xué)生沿著圓的半徑分割，通過進一步訪談，得知是受到學(xué)習(xí)分數(shù)時平均分圓形的直觀圖的影響。當(dāng)問及這樣分割的理據(jù)時，僅有10%的同學(xué)能說出拼成平行四邊形?？梢?，學(xué)生缺乏“圖形展合”拼補、化曲為直、極限思想等經(jīng)驗。因此，在圓的面積教學(xué)時，教師就要有意識地滲透化圓為方、化曲為直的思想。

如在圓的認識時，讓學(xué)生直觀感受從圓內(nèi)接三角形開始，一步步變化，從形狀大小差異明顯的正三角形和圓形到差異微小的正二十邊形和圓形，引導(dǎo)學(xué)生想象正五十邊形、正一百邊形……邊越來越多，越來越短，會變成怎么樣的圖形？再利用課件的優(yōu)勢彌補想象的不足，讓學(xué)生真切地看到自己想象的過程。在直觀圖像支撐下，學(xué)生初悟“圓始于方”以及極限的思想。

經(jīng)過前期的滲透，在圓的面積教學(xué)時，教師可以嘗試讓學(xué)生用手中的圓片畫一畫分割線，想一想為什么這樣分割。通過學(xué)生自我體驗→交流各自的想法→展示分割作品→觀察比較近似三角形邊的特點→利用課件展開想象，讓學(xué)生進一步感受到均分的份數(shù)越多，每一份越接近三角形。在此基礎(chǔ)上，教師幫助學(xué)生理清“轉(zhuǎn)化”的基本要點：把圓看成是由這些近似小三角形構(gòu)成的直線圖形，形狀發(fā)生了變化，圓的面積不變，所以可以用三角形直線圖形的面積來替代圓的面積。接著，引導(dǎo)學(xué)生思考：如果把這些小三角形剪下來，你打算把它們拼組轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的什么圖形呢？

因課前教師有意識地滲透極限思想、曲直轉(zhuǎn)化思想，幫助學(xué)生喚醒了“圖形展合”的活動經(jīng)驗，課中讓學(xué)生通過分割圓，借助動態(tài)直觀感悟了“由曲到直”的變化過程，學(xué)生就能順勢地將圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形了。

三、有序點撥，提煉研究成果

學(xué)生將圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形后，教師應(yīng)遵循從整體到局部的思路，有序地點撥觀察與思考。首先，引導(dǎo)學(xué)生從圖形的拼法上觀察，這些拼法都有什么共同點？即一半拼在上面，一半拼在下面，讓學(xué)生從整體上感知，建立圖像的直觀表象。接著，引導(dǎo)學(xué)生找圖形轉(zhuǎn)化前后的對應(yīng)關(guān)系。這是最關(guān)鍵的一步，要有步驟有順序地進行，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的方法，從位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系兩個方面來對應(yīng)。

第一步，先找圖形轉(zhuǎn)化前后的位置關(guān)系。平行四邊形的底相當(dāng)于圓的哪里？平行四邊形的高相當(dāng)于圓的哪里？讓學(xué)生根據(jù)直觀教具圖，上來指一指。

第二步，根據(jù)位置關(guān)系找數(shù)量關(guān)系。首先，引導(dǎo)學(xué)生邊指著直觀圖邊表達：平行四邊形的底相當(dāng)于圓周長的一半，平行四邊形的高相當(dāng)于圓的半徑，因為平行四邊形的面積=底×高，所以圓的面積=圓的周長的一半×半徑。接著，讓學(xué)生脫離直觀圖，根據(jù)直觀圖的表象，嘗試借助探究表格進行推理表達。

第三步，抽象概括圓的面積計算字母表達式。學(xué)生經(jīng)歷了對應(yīng)找聯(lián)系的過程，啟發(fā)他們用字母表示各部分名稱，在教師的引導(dǎo)幫助下，逐漸概括出字母表達式。學(xué)生經(jīng)歷了概括抽象的過程，能為下面自主探究圓的面積計算公式積累經(jīng)驗，使之順利完成自主探究。

在操作的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生有序觀察、思考，分析梳理圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，逐步歸納出抽象公式，使學(xué)生的思維實現(xiàn)由直觀向抽象的飛躍。通過觀察與表達，也讓學(xué)生的思維更加條理、清晰、深刻，為進一步研究打好基礎(chǔ)。

四、拓展延伸，提升數(shù)學(xué)思考

數(shù)學(xué)是思維的體操。數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)之一是使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，增強自主解決問題的本領(lǐng)。如果在得到圓的面積計算方法后，急于用統(tǒng)一的、抽象的公式去練習(xí)，學(xué)生只會套用公式求圓的面積，這樣會使學(xué)生的思維單一，對“轉(zhuǎn)化”思想的體驗不深刻，也享受不到自主求異求新帶來的成功體驗。因此，在得到圓的面積計算公式后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進一步探究：還可以怎樣轉(zhuǎn)化？

師：一個圓等分成16份，如果不把它剪開，你還能有什么辦法推導(dǎo)出圓的面積計算方法？

生1：每一份看成近似的三角形，這16個近似三角形的面積總和就是圓的面積。只要求出每個近似三角形的面積，再乘16就行了。

生3：還可以把圓轉(zhuǎn)化為三角形來推導(dǎo)。

……

學(xué)生在經(jīng)歷了初步探索并獲得了研究發(fā)現(xiàn)后，教師再次搭建創(chuàng)新的舞臺，拓展了把圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形的方法，打開了學(xué)生的思路，學(xué)生經(jīng)歷了更多的轉(zhuǎn)化過程，創(chuàng)造出多種轉(zhuǎn)化方法。這對于他們的數(shù)學(xué)思考和培養(yǎng)創(chuàng)新意識等都很有意義，學(xué)生參與探究的熱情和信心也大為提升。同時，加深了學(xué)生對“轉(zhuǎn)化思想”的本質(zhì)理解和“轉(zhuǎn)化”經(jīng)驗的積累。

在圓的面積計算方法的探究中，化歸思想的運用是一次提升，需要教師根據(jù)學(xué)生的思維設(shè)計教學(xué)，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷化歸的過程中體會“化曲為直”。放慢教學(xué)步伐，夯實基本的轉(zhuǎn)化方法，不斷突破化歸思想的策略空間，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。endprint

【摘 要】夯實化歸思想，有助于探討圓的面積計算方法。通過“激活經(jīng)驗，孕伏滲透，有序點撥，拓展延伸”，有助于轉(zhuǎn)化思想的升華運用，更有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

【關(guān)鍵詞】圓的面積；轉(zhuǎn)化

圓是一種由曲線圍成的圖形，其面積的計算涉及化曲為直的思想、極限思想。那么，哪種面積計算公式的推導(dǎo)方法讓學(xué)生最容易理解并接受？其余幾種方法要不要讓學(xué)生感受？許多老師對本節(jié)課做出了嘗試探索。

A老師：從圓內(nèi)接正方形起，隨著正多邊形的邊數(shù)增多，面積越接近圓的面積。把圓沿著直徑分割成若干份，把圓的面積轉(zhuǎn)化為若干個近似三角形的面積，通過三角形的面積公式推導(dǎo)出圓的面積計算公式。

B老師：將圓轉(zhuǎn)化為三角形、梯形展開教學(xué)，對促進學(xué)生的數(shù)學(xué)思考具有積極作用。但找圖形轉(zhuǎn)化前后的聯(lián)系，比“圓與平行四邊形”的聯(lián)系難度要大，給公式的推導(dǎo)帶來了極大的挑戰(zhàn)，不利于學(xué)生理解。

如何讓這些不同的轉(zhuǎn)化方法融合運用，突出基本方法，讓學(xué)生既容易理解，又能發(fā)展求異思維？筆者認為，教師應(yīng)將圓的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形的面積作為最基本的推導(dǎo)方法，只有夯實這一轉(zhuǎn)化過程，學(xué)生才能積累探究的經(jīng)驗，才有可能創(chuàng)造出不同的轉(zhuǎn)化方法，解釋并概括出圓的面積計算公式。因此，教學(xué)時，教師要夯實基本方法，讓學(xué)生不斷感受多元“轉(zhuǎn)化”，開拓思維，提高數(shù)學(xué)思考能力。

一、激活經(jīng)驗，明確研究方法

圓的面積計算方法與學(xué)生的已有知識經(jīng)驗有密切的聯(lián)系，因此，在本課的教學(xué)中，教師應(yīng)充分喚醒學(xué)生已有的化歸經(jīng)驗，為新知的探究做好準(zhǔn)備。

（課件出示長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓形）

師：回憶一下，這些直線圖形的面積是怎樣推導(dǎo)的？以平行四邊形為例，誰能幫大家回憶一下？

生：平行四邊形沿著高，剪下一個三角形，平移到右邊，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，平行四邊形的底相當(dāng)于長方形的長，平行四邊形的高相當(dāng)于長方形的寬，因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

師：當(dāng)時為什么要把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形？

生：當(dāng)時長方形的面積已經(jīng)會求了，這樣能把新知轉(zhuǎn)化為舊知。

師：像這樣，通過先分割再拼補的方法叫做割補法。

師：那么三角形和梯形的面積又是怎么推導(dǎo)的？（生回答略）用兩個完全相同的圖形拼組的方法，叫倍拼法。不管采用哪種方法，都是將未知轉(zhuǎn)化為已知，找到兩者之間的聯(lián)系，從而推導(dǎo)出計算公式。其實，這種方法對于今天要研究的圓的面積也有幫助。對于我們要研究的圓面積，你打算怎么用哪種方法？

生：割補法。因為倍拼法無法將圓轉(zhuǎn)化為我們已學(xué)的舊知。

教師借助課件，讓學(xué)生回憶平行四邊形面積計算公式的推導(dǎo)過程，通過觀察圖形轉(zhuǎn)化前后的變化，喚醒了學(xué)生記憶中“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。分析梳理兩種不同的推導(dǎo)方法，在回顧與辨析中，確定本課研究的基本方法即割補法，讓學(xué)生對新知的探究有了明確的方向。

二、孕伏滲透，探尋化歸目標(biāo)

從課前學(xué)生的前測中發(fā)現(xiàn)，80%的學(xué)生沿著圓的半徑分割，通過進一步訪談，得知是受到學(xué)習(xí)分數(shù)時平均分圓形的直觀圖的影響。當(dāng)問及這樣分割的理據(jù)時，僅有10%的同學(xué)能說出拼成平行四邊形。可見，學(xué)生缺乏“圖形展合”拼補、化曲為直、極限思想等經(jīng)驗。因此，在圓的面積教學(xué)時，教師就要有意識地滲透化圓為方、化曲為直的思想。

如在圓的認識時，讓學(xué)生直觀感受從圓內(nèi)接三角形開始，一步步變化，從形狀大小差異明顯的正三角形和圓形到差異微小的正二十邊形和圓形，引導(dǎo)學(xué)生想象正五十邊形、正一百邊形……邊越來越多，越來越短，會變成怎么樣的圖形？再利用課件的優(yōu)勢彌補想象的不足，讓學(xué)生真切地看到自己想象的過程。在直觀圖像支撐下，學(xué)生初悟“圓始于方”以及極限的思想。

經(jīng)過前期的滲透，在圓的面積教學(xué)時，教師可以嘗試讓學(xué)生用手中的圓片畫一畫分割線，想一想為什么這樣分割。通過學(xué)生自我體驗→交流各自的想法→展示分割作品→觀察比較近似三角形邊的特點→利用課件展開想象，讓學(xué)生進一步感受到均分的份數(shù)越多，每一份越接近三角形。在此基礎(chǔ)上，教師幫助學(xué)生理清“轉(zhuǎn)化”的基本要點：把圓看成是由這些近似小三角形構(gòu)成的直線圖形，形狀發(fā)生了變化，圓的面積不變，所以可以用三角形直線圖形的面積來替代圓的面積。接著，引導(dǎo)學(xué)生思考：如果把這些小三角形剪下來，你打算把它們拼組轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的什么圖形呢？

因課前教師有意識地滲透極限思想、曲直轉(zhuǎn)化思想，幫助學(xué)生喚醒了“圖形展合”的活動經(jīng)驗，課中讓學(xué)生通過分割圓，借助動態(tài)直觀感悟了“由曲到直”的變化過程，學(xué)生就能順勢地將圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形了。

三、有序點撥，提煉研究成果

學(xué)生將圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形后，教師應(yīng)遵循從整體到局部的思路，有序地點撥觀察與思考。首先，引導(dǎo)學(xué)生從圖形的拼法上觀察，這些拼法都有什么共同點？即一半拼在上面，一半拼在下面，讓學(xué)生從整體上感知，建立圖像的直觀表象。接著，引導(dǎo)學(xué)生找圖形轉(zhuǎn)化前后的對應(yīng)關(guān)系。這是最關(guān)鍵的一步，要有步驟有順序地進行，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的方法，從位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系兩個方面來對應(yīng)。

第一步，先找圖形轉(zhuǎn)化前后的位置關(guān)系。平行四邊形的底相當(dāng)于圓的哪里？平行四邊形的高相當(dāng)于圓的哪里？讓學(xué)生根據(jù)直觀教具圖，上來指一指。

第二步，根據(jù)位置關(guān)系找數(shù)量關(guān)系。首先，引導(dǎo)學(xué)生邊指著直觀圖邊表達：平行四邊形的底相當(dāng)于圓周長的一半，平行四邊形的高相當(dāng)于圓的半徑，因為平行四邊形的面積=底×高，所以圓的面積=圓的周長的一半×半徑。接著，讓學(xué)生脫離直觀圖，根據(jù)直觀圖的表象，嘗試借助探究表格進行推理表達。

第三步，抽象概括圓的面積計算字母表達式。學(xué)生經(jīng)歷了對應(yīng)找聯(lián)系的過程，啟發(fā)他們用字母表示各部分名稱，在教師的引導(dǎo)幫助下，逐漸概括出字母表達式。學(xué)生經(jīng)歷了概括抽象的過程，能為下面自主探究圓的面積計算公式積累經(jīng)驗，使之順利完成自主探究。

在操作的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生有序觀察、思考，分析梳理圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，逐步歸納出抽象公式，使學(xué)生的思維實現(xiàn)由直觀向抽象的飛躍。通過觀察與表達，也讓學(xué)生的思維更加條理、清晰、深刻，為進一步研究打好基礎(chǔ)。

四、拓展延伸，提升數(shù)學(xué)思考

數(shù)學(xué)是思維的體操。數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)之一是使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，增強自主解決問題的本領(lǐng)。如果在得到圓的面積計算方法后，急于用統(tǒng)一的、抽象的公式去練習(xí)，學(xué)生只會套用公式求圓的面積，這樣會使學(xué)生的思維單一，對“轉(zhuǎn)化”思想的體驗不深刻，也享受不到自主求異求新帶來的成功體驗。因此，在得到圓的面積計算公式后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進一步探究：還可以怎樣轉(zhuǎn)化？

師：一個圓等分成16份，如果不把它剪開，你還能有什么辦法推導(dǎo)出圓的面積計算方法？

生1：每一份看成近似的三角形，這16個近似三角形的面積總和就是圓的面積。只要求出每個近似三角形的面積，再乘16就行了。

生3：還可以把圓轉(zhuǎn)化為三角形來推導(dǎo)。

……

學(xué)生在經(jīng)歷了初步探索并獲得了研究發(fā)現(xiàn)后，教師再次搭建創(chuàng)新的舞臺，拓展了把圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形的方法，打開了學(xué)生的思路，學(xué)生經(jīng)歷了更多的轉(zhuǎn)化過程，創(chuàng)造出多種轉(zhuǎn)化方法。這對于他們的數(shù)學(xué)思考和培養(yǎng)創(chuàng)新意識等都很有意義，學(xué)生參與探究的熱情和信心也大為提升。同時，加深了學(xué)生對“轉(zhuǎn)化思想”的本質(zhì)理解和“轉(zhuǎn)化”經(jīng)驗的積累。

在圓的面積計算方法的探究中，化歸思想的運用是一次提升，需要教師根據(jù)學(xué)生的思維設(shè)計教學(xué)，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷化歸的過程中體會“化曲為直”。放慢教學(xué)步伐，夯實基本的轉(zhuǎn)化方法，不斷突破化歸思想的策略空間，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。endprint

【摘 要】夯實化歸思想，有助于探討圓的面積計算方法。通過“激活經(jīng)驗，孕伏滲透，有序點撥，拓展延伸”，有助于轉(zhuǎn)化思想的升華運用，更有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

【關(guān)鍵詞】圓的面積；轉(zhuǎn)化

圓是一種由曲線圍成的圖形，其面積的計算涉及化曲為直的思想、極限思想。那么，哪種面積計算公式的推導(dǎo)方法讓學(xué)生最容易理解并接受？其余幾種方法要不要讓學(xué)生感受？許多老師對本節(jié)課做出了嘗試探索。

A老師：從圓內(nèi)接正方形起，隨著正多邊形的邊數(shù)增多，面積越接近圓的面積。把圓沿著直徑分割成若干份，把圓的面積轉(zhuǎn)化為若干個近似三角形的面積，通過三角形的面積公式推導(dǎo)出圓的面積計算公式。

B老師：將圓轉(zhuǎn)化為三角形、梯形展開教學(xué)，對促進學(xué)生的數(shù)學(xué)思考具有積極作用。但找圖形轉(zhuǎn)化前后的聯(lián)系，比“圓與平行四邊形”的聯(lián)系難度要大，給公式的推導(dǎo)帶來了極大的挑戰(zhàn)，不利于學(xué)生理解。

如何讓這些不同的轉(zhuǎn)化方法融合運用，突出基本方法，讓學(xué)生既容易理解，又能發(fā)展求異思維？筆者認為，教師應(yīng)將圓的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形的面積作為最基本的推導(dǎo)方法，只有夯實這一轉(zhuǎn)化過程，學(xué)生才能積累探究的經(jīng)驗，才有可能創(chuàng)造出不同的轉(zhuǎn)化方法，解釋并概括出圓的面積計算公式。因此，教學(xué)時，教師要夯實基本方法，讓學(xué)生不斷感受多元“轉(zhuǎn)化”，開拓思維，提高數(shù)學(xué)思考能力。

一、激活經(jīng)驗，明確研究方法

圓的面積計算方法與學(xué)生的已有知識經(jīng)驗有密切的聯(lián)系，因此，在本課的教學(xué)中，教師應(yīng)充分喚醒學(xué)生已有的化歸經(jīng)驗，為新知的探究做好準(zhǔn)備。

（課件出示長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓形）

師：回憶一下，這些直線圖形的面積是怎樣推導(dǎo)的？以平行四邊形為例，誰能幫大家回憶一下？

生：平行四邊形沿著高，剪下一個三角形，平移到右邊，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，平行四邊形的底相當(dāng)于長方形的長，平行四邊形的高相當(dāng)于長方形的寬，因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

師：當(dāng)時為什么要把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形？

生：當(dāng)時長方形的面積已經(jīng)會求了，這樣能把新知轉(zhuǎn)化為舊知。

師：像這樣，通過先分割再拼補的方法叫做割補法。

師：那么三角形和梯形的面積又是怎么推導(dǎo)的？（生回答略）用兩個完全相同的圖形拼組的方法，叫倍拼法。不管采用哪種方法，都是將未知轉(zhuǎn)化為已知，找到兩者之間的聯(lián)系，從而推導(dǎo)出計算公式。其實，這種方法對于今天要研究的圓的面積也有幫助。對于我們要研究的圓面積，你打算怎么用哪種方法？

生：割補法。因為倍拼法無法將圓轉(zhuǎn)化為我們已學(xué)的舊知。

教師借助課件，讓學(xué)生回憶平行四邊形面積計算公式的推導(dǎo)過程，通過觀察圖形轉(zhuǎn)化前后的變化，喚醒了學(xué)生記憶中“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。分析梳理兩種不同的推導(dǎo)方法，在回顧與辨析中，確定本課研究的基本方法即割補法，讓學(xué)生對新知的探究有了明確的方向。

二、孕伏滲透，探尋化歸目標(biāo)

從課前學(xué)生的前測中發(fā)現(xiàn)，80%的學(xué)生沿著圓的半徑分割，通過進一步訪談，得知是受到學(xué)習(xí)分數(shù)時平均分圓形的直觀圖的影響。當(dāng)問及這樣分割的理據(jù)時，僅有10%的同學(xué)能說出拼成平行四邊形?？梢?，學(xué)生缺乏“圖形展合”拼補、化曲為直、極限思想等經(jīng)驗。因此，在圓的面積教學(xué)時，教師就要有意識地滲透化圓為方、化曲為直的思想。

如在圓的認識時，讓學(xué)生直觀感受從圓內(nèi)接三角形開始，一步步變化，從形狀大小差異明顯的正三角形和圓形到差異微小的正二十邊形和圓形，引導(dǎo)學(xué)生想象正五十邊形、正一百邊形……邊越來越多，越來越短，會變成怎么樣的圖形？再利用課件的優(yōu)勢彌補想象的不足，讓學(xué)生真切地看到自己想象的過程。在直觀圖像支撐下，學(xué)生初悟“圓始于方”以及極限的思想。

經(jīng)過前期的滲透，在圓的面積教學(xué)時，教師可以嘗試讓學(xué)生用手中的圓片畫一畫分割線，想一想為什么這樣分割。通過學(xué)生自我體驗→交流各自的想法→展示分割作品→觀察比較近似三角形邊的特點→利用課件展開想象，讓學(xué)生進一步感受到均分的份數(shù)越多，每一份越接近三角形。在此基礎(chǔ)上，教師幫助學(xué)生理清“轉(zhuǎn)化”的基本要點：把圓看成是由這些近似小三角形構(gòu)成的直線圖形，形狀發(fā)生了變化，圓的面積不變，所以可以用三角形直線圖形的面積來替代圓的面積。接著，引導(dǎo)學(xué)生思考：如果把這些小三角形剪下來，你打算把它們拼組轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的什么圖形呢？

因課前教師有意識地滲透極限思想、曲直轉(zhuǎn)化思想，幫助學(xué)生喚醒了“圖形展合”的活動經(jīng)驗，課中讓學(xué)生通過分割圓，借助動態(tài)直觀感悟了“由曲到直”的變化過程，學(xué)生就能順勢地將圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形了。

三、有序點撥，提煉研究成果

學(xué)生將圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形后，教師應(yīng)遵循從整體到局部的思路，有序地點撥觀察與思考。首先，引導(dǎo)學(xué)生從圖形的拼法上觀察，這些拼法都有什么共同點？即一半拼在上面，一半拼在下面，讓學(xué)生從整體上感知，建立圖像的直觀表象。接著，引導(dǎo)學(xué)生找圖形轉(zhuǎn)化前后的對應(yīng)關(guān)系。這是最關(guān)鍵的一步，要有步驟有順序地進行，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的方法，從位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系兩個方面來對應(yīng)。

第一步，先找圖形轉(zhuǎn)化前后的位置關(guān)系。平行四邊形的底相當(dāng)于圓的哪里？平行四邊形的高相當(dāng)于圓的哪里？讓學(xué)生根據(jù)直觀教具圖，上來指一指。

第二步，根據(jù)位置關(guān)系找數(shù)量關(guān)系。首先，引導(dǎo)學(xué)生邊指著直觀圖邊表達：平行四邊形的底相當(dāng)于圓周長的一半，平行四邊形的高相當(dāng)于圓的半徑，因為平行四邊形的面積=底×高，所以圓的面積=圓的周長的一半×半徑。接著，讓學(xué)生脫離直觀圖，根據(jù)直觀圖的表象，嘗試借助探究表格進行推理表達。

第三步，抽象概括圓的面積計算字母表達式。學(xué)生經(jīng)歷了對應(yīng)找聯(lián)系的過程，啟發(fā)他們用字母表示各部分名稱，在教師的引導(dǎo)幫助下，逐漸概括出字母表達式。學(xué)生經(jīng)歷了概括抽象的過程，能為下面自主探究圓的面積計算公式積累經(jīng)驗，使之順利完成自主探究。

在操作的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生有序觀察、思考，分析梳理圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，逐步歸納出抽象公式，使學(xué)生的思維實現(xiàn)由直觀向抽象的飛躍。通過觀察與表達，也讓學(xué)生的思維更加條理、清晰、深刻，為進一步研究打好基礎(chǔ)。

四、拓展延伸，提升數(shù)學(xué)思考

數(shù)學(xué)是思維的體操。數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)之一是使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，增強自主解決問題的本領(lǐng)。如果在得到圓的面積計算方法后，急于用統(tǒng)一的、抽象的公式去練習(xí)，學(xué)生只會套用公式求圓的面積，這樣會使學(xué)生的思維單一，對“轉(zhuǎn)化”思想的體驗不深刻，也享受不到自主求異求新帶來的成功體驗。因此，在得到圓的面積計算公式后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進一步探究：還可以怎樣轉(zhuǎn)化？

師：一個圓等分成16份，如果不把它剪開，你還能有什么辦法推導(dǎo)出圓的面積計算方法？

生1：每一份看成近似的三角形，這16個近似三角形的面積總和就是圓的面積。只要求出每個近似三角形的面積，再乘16就行了。

生3：還可以把圓轉(zhuǎn)化為三角形來推導(dǎo)。

……

學(xué)生在經(jīng)歷了初步探索并獲得了研究發(fā)現(xiàn)后，教師再次搭建創(chuàng)新的舞臺，拓展了把圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形的方法，打開了學(xué)生的思路，學(xué)生經(jīng)歷了更多的轉(zhuǎn)化過程，創(chuàng)造出多種轉(zhuǎn)化方法。這對于他們的數(shù)學(xué)思考和培養(yǎng)創(chuàng)新意識等都很有意義，學(xué)生參與探究的熱情和信心也大為提升。同時，加深了學(xué)生對“轉(zhuǎn)化思想”的本質(zhì)理解和“轉(zhuǎn)化”經(jīng)驗的積累。

在圓的面積計算方法的探究中，化歸思想的運用是一次提升，需要教師根據(jù)學(xué)生的思維設(shè)計教學(xué)，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷化歸的過程中體會“化曲為直”。放慢教學(xué)步伐，夯實基本的轉(zhuǎn)化方法，不斷突破化歸思想的策略空間，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。endprint