莊春明，戴星超

（浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系， 浙江 金華 321004）

關(guān)于多圓盤(pán) Hardy空間上本性正規(guī)的 Beurling型商模的一些探討

莊春明，戴星超

（浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系， 浙江 金華 321004）

本文主要討論了多圓盤(pán) Hardy 空間上本性正規(guī)的 Beurling 型商模，并得到了 Beurling 型商模本性正規(guī)的一個(gè) 必要條件.

Hardy 空間；Beurling 型商模；多圓盤(pán)

0 引言

設(shè) D={z∈C:|z|<1}是復(fù)平面 C中的單位圓盤(pán),Cn是 C上的線性空間,Cn中的單位多圓盤(pán)記為 Dn,設(shè) Tn是 Dn的特征邊界,其中 Dn和 Tn分別是 D和 T的 n重 Descartes乘積.記dσ 是 Tn的正規(guī) Haar測(cè)度,Lp(Tn)=Lp(Tn,dσ)是 Tn的 Le-besgue可測(cè)空間.H2(Dn)表示 L2(Tn)上全體解析多項(xiàng)式的閉包.

Douglas和 Paulsen[1]引入了 Hilbert模的概念,并使用模理論方法研究了算子理論問(wèn)題.Arveson[2]將本性正規(guī) Hilbert模定義為:如果 Hilbert模 N的自伴交換子都是緊的,那么稱(chēng) N是本性正規(guī)的.一個(gè)自然的問(wèn)題是,哪些商模是本性正規(guī)的?人們發(fā)現(xiàn),大部分單位球上的 Hardy模、Bergman模和 d-位移的 Hilbert模甚至一些子模是本性正規(guī)的[1,2].但對(duì)于多圓盤(pán)情形,這方面結(jié)果有很大差異.Douglas和 Misra[3]證明了商模]是本性正規(guī)的.Guo和 Wang[4]后來(lái)刻畫(huà)了雙圓盤(pán)本性正規(guī)的 Beurling型商模.本文將討論該結(jié)果[4]在多圓盤(pán)的情形.首先,簡(jiǎn)單介紹本文涉及到的基礎(chǔ)知識(shí).

設(shè)(Mz1,Mz2,…,Mzn)為 H2(Dn)上的多元坐標(biāo)算子組,則 H2(Dn)在多項(xiàng)式環(huán) C[z1,z2,…,zn]作用下的一個(gè) Hilbert模.設(shè) η 是一個(gè)內(nèi)函數(shù),M=[η]=ηH2(Dn)是由 η 生成的 Guo和 Wang[4]所謂的 Beurling型子模,而商模稱(chēng)為 Beurling型商模.設(shè) Pη是到 N的投影,則,則商模N是一個(gè) Hilbert模,模結(jié)構(gòu)為設(shè)，對(duì)于 i=1,2,…,n,H2(D)在 zi∈D的 正規(guī)再生核 為)在 z的正規(guī)再生核為

1 主要結(jié)果

本節(jié)先介紹三圓盤(pán)上的自伴交換子在 Beurling型商模N為緊算子的性質(zhì),再推廣到多圓盤(pán),最后給出 Beurling型商模本性正規(guī)的必要條件.對(duì)于 1≤k≤n,記

于是

因此〈

結(jié)合 η*的定義,對(duì)于任意

通過(guò)類(lèi)似的證明方法,這個(gè)結(jié)果可以推廣到多圓盤(pán).

定 理 2 設(shè) η 是一個(gè)內(nèi)函數(shù),Beurling型商模 N本性正規(guī),則，其中 m∈M且 φ(ω)是至多(1,1,L,1)階的多項(xiàng)式.

Guo和 Wang[6]后來(lái)發(fā)現(xiàn)，三圓盤(pán)及以上多圓盤(pán)的齊次商模不是本性正規(guī)的.根據(jù)定理 2,我們猜測(cè)三圓盤(pán)及以上多圓盤(pán) Beurling型商模也不是本性正規(guī)的.

〔1〕R.Douglas,V.Paulsen,Hilbert Modules over Function Algebras [M].New--York:Longman Scientific& Technical,1989.

〔2〕W.Arveson,Quotient of standard Hilbert modules[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 2007,359(12):6027-6055.

〔3〕R.Douglas,G.Misra,Some Calculations for Hilbert modules [J].Journal of O rissa Mathematical Society, 1993:1-11.

〔4〕K.Guo,K.Wang,Beurling type quotient modules over the bidisk and boun- -dary representations[J]. Journal of Functional Analysis,2009,257(10):3218-3238.

〔5〕W.Rudin,Function Theory in Polydiscs [M].New York:Benjam in,1969:110-114.

〔6〕K.Guo K,P.Wang,Essentially normal Hilbert modules and K-homology IV:Quasi-homogenous quotient modules of Hardy module on the polydisks[J].Science China Mathematics,2012,55(8):1613-1626.

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