孫玉濤，常 郝，張子振，徐 勇

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院， 安徽 蚌埠 233000）

一類時(shí)滯食餌-捕食者系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究

孫玉濤，常 郝，張子振，徐 勇

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院， 安徽 蚌埠 233000）

種群動(dòng)力系統(tǒng)的演化不僅依賴于系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)，還依賴于系統(tǒng)過去某一時(shí)刻的狀態(tài).基于此，本文研究了一類具有時(shí)滯和比率HollingⅡ型功能性函數(shù)的食餌-捕食者系統(tǒng).以捕食者成熟時(shí)滯τ為參數(shù)，利用微分方程理論，分析了系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，并給出了系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分支的條件.結(jié)果表明,給定參數(shù)滿足一定條件時(shí),兩種群的密度會(huì)產(chǎn)生周期性的變化，或者都保持一種穩(wěn)定狀態(tài).

Hopf分支；食餌-捕食者系統(tǒng)；時(shí)滯；穩(wěn)定性

1 引言

近年來(lái)，具有時(shí)滯、功能性響應(yīng)、階段結(jié)構(gòu)、擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)等特性的食餌-捕食者系統(tǒng)模型得到了專家學(xué)者們的廣泛關(guān)注和深入研究[1-2].文獻(xiàn)[3]研究了種內(nèi)相食捕食模型非常數(shù)正解的存在性,并以擴(kuò)散系數(shù)為分歧參數(shù)，討論了發(fā)自正常數(shù)解的分歧.文獻(xiàn)[4]研究了具有時(shí)滯的食物鏈反饋系統(tǒng)的局部Hopf分支的存在性.文獻(xiàn)[5]提出了一類具有改進(jìn)的Lesile-Gower和HollingⅡ型功能性反應(yīng)函數(shù)的食餌-捕食者系統(tǒng)模型.文獻(xiàn)[6]在相應(yīng)的功能性反應(yīng)函數(shù)中引進(jìn)時(shí)滯，并構(gòu)造了相應(yīng)的Layapunov函數(shù)，討論了正平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定的充分條件.眾多研究表明，在種群動(dòng)力學(xué)中，隨著種群間的相互作用時(shí)滯是不可避免的，并且時(shí)滯有時(shí)候會(huì)破壞系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.基于此，本文以捕食者成熟時(shí)滯τ為參數(shù)，討論如下系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)穩(wěn)定性以及Hopf分支的存在性，進(jìn)而得到系統(tǒng)存在小振幅周期解的充分條件.

對(duì)于系統(tǒng)（1）x1(t)與 x2(t)分別表示食餌種群與捕食者種群在 t時(shí)刻的密度，r1=n1-n2表示食餌種群的內(nèi)秉增長(zhǎng)率，其中 n1為食餌種群的平均出生率，n2為食餌種群的平均死亡率,r2表示捕食者種群的死亡率表示食餌種群種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)，a1與 a2分別表示相應(yīng)的轉(zhuǎn)化率，m表示半飽和常數(shù)，t為非負(fù)，表示捕食者種群從幼年到成年的成熟時(shí)滯.系統(tǒng)(1)中各參數(shù) r1，r2，a1，a2，m均為正常數(shù).

作為預(yù)備知識(shí)，首先介紹如下定義：

考慮如下二維自治系統(tǒng)：

定 義 1 若(x0,y0)使 E(x0,y0)=0,F(x0,y0)=0，則稱(x0,y0)為系統(tǒng)（**）的平衡點(diǎn)，如果 x0>0且 y0>0，則稱(x0,y0)為系統(tǒng)（**）的正平衡點(diǎn).

定義 2 設(shè)(x0,y0)為系統(tǒng)（**）的平衡點(diǎn)，且系統(tǒng)(**)在(x0, y0)處的線性化方程為：的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部,則稱系統(tǒng)（**）的平衡點(diǎn)(x0,y0)是漸近穩(wěn)定的.

2 正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與周期解的存在性

定 理 1 如果系統(tǒng)（1）的參數(shù)滿足下列條件：（T1）a2>r2且 mr1a2>a1(a2-r2),那么系統(tǒng)（1）有唯一的正平衡點(diǎn).

證明 設(shè) X(x*1,x*2)是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，則由系統(tǒng)平衡點(diǎn)的定義有：

解上述方程組可得系統(tǒng) (1)的三個(gè)非負(fù)平衡點(diǎn)(0,0),,其中

本文只考慮系統(tǒng)(1)正平衡點(diǎn)的性態(tài).系統(tǒng)(1)在正平衡點(diǎn))處的一次近似系統(tǒng)為：

將系統(tǒng)(2)寫為如下矩陣形式：

進(jìn)而得到系統(tǒng)(2)的特征方程為：

引理1如果系統(tǒng)(1)滿足條件（T2）A+D>0，則當(dāng)t=0時(shí)，方程(5)的根有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部.

引理 2 如果系統(tǒng)(1)能同時(shí)滿足引理 1中的條件與條件(T3)B<0且B2-C2<0，則方程(5)當(dāng) t=tk時(shí)有且僅有一對(duì)純虛根±ie0，其中

證明 設(shè) l=ie(e>0)是方程(5)的根，則將 l=ie(e>0)代入方程(5)，并分離實(shí)部和虛部得：

上述兩式平方相加得：

由引理?xiàng)l件易知，方程（6）有且僅有一個(gè)正實(shí)根 e0,此時(shí)方程（5）有一對(duì)純虛根.

證明 對(duì)方程（5）兩邊同時(shí)對(duì) t求導(dǎo)，得

進(jìn)而，

所以，

由引理（2）中的假設(shè)條件（T3）B2-C2<0，有

所以有

綜合引理 1-3以及文獻(xiàn)[9]中定理 11．1可以得到系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定性與 Hopf分支周期解的存在性定理.

3 結(jié)論

本文討論了一類具有比率的 HollingⅡ型功能性函數(shù)以及捕食者具有成熟時(shí)滯的食餌 -捕食者系統(tǒng).從以上分析所得的結(jié)果可知，捕食者的成熟時(shí)滯可以改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定性.當(dāng)捕食者的成熟時(shí)滯比較小時(shí)，食餌種群和捕食者種群的密度都穩(wěn)定在系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)附近，整個(gè)系統(tǒng)保持一種靜態(tài)的穩(wěn)定狀態(tài)；而當(dāng)捕食者的成熟時(shí)滯比較大時(shí)，兩種群的密度將發(fā)生周期性的變化，系統(tǒng)將保持一種動(dòng)態(tài)的平衡.

〔1〕吳春光.一類捕食者-食餌種群動(dòng)力學(xué)模型及數(shù)值模擬[D].北京：中央民族大學(xué)理學(xué)院,2009.

〔2〕孟笑瑩，鄧飛其，彭云建.具有隨機(jī)擾動(dòng)的食餌-捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定性[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù).2011,33(2):385-389.

〔3〕查淑玲,李艷玲.一類種內(nèi)相食捕食系統(tǒng)非常數(shù)正解的存在性[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2010,46(27):62-65.

〔4〕趙廷芳,盧夢(mèng)霞,趙匯濤.一類三種群 食物鏈模型 正平衡解的穩(wěn)定性與 Hopf分 支的存在 性[J].河南 大 學(xué) 學(xué)報(bào)(自 然科學(xué)版)，2010,40(5):238-243.

〔5〕Nindjin A F,Aziz-Alaoui MA,Cadivel M.Analysis of a predator-prey model w ith modified Lesile-Gower Holling-type Ⅱschemes with time delay[J].Nonlinear Analysis:Real world Applications,2006,7(5):1104-79.

〔6〕張錦炎，馮貝葉．常微分方程幾何理論與分支問題[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2005.

〔7〕史紅波.擴(kuò)散捕食系統(tǒng)正平衡態(tài)的定性分析[D].蘭州：蘭州大學(xué)，2010.

TP273；O141

A

1673-260X（2014）08-0007-02

安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)校級(jí)科研項(xiàng)目(ACKYQ1229)；安徽省教育廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目(KJ2011B002)