陸求賜

（武夷學院 人文與教師教育學院， 福建 武夷山 354300）

Laplace變換在解微分方程中的應用研究

陸求賜

（武夷學院 人文與教師教育學院， 福建 武夷山 354300）

本文闡述了Laplace變換在常微分方程與偏微分方程求解方面的應用，并對Laplace變換的應用進行了總結.

Laplace變換；常微分方程；偏微分方程

1 引言

與 Fourier變換法[4]一樣，Laplace變換也是一種很重要的積分變換，它在工程技術、電路分析、天線、信號處理甚至天文學等方面都有重要的應用[1-3].同時 Laplace變換在 求解常微分方程、偏微分方程以及廣義積分、反常積分等方面也都有著重要的應用[5-8].

我們在求解常微分方程時，可以利用 Laplace變換消去對自變量的求導運算，從而將常微分方程化成關于像函數(shù)的代數(shù)方程，然后再解出代數(shù)方程，最后求出 Laplace逆變換即可得出原常微分方程的解.這種方法也可用在求解偏微分方程的過程中，對于含有兩個自變量的偏微分方程，在方程兩端對其中一個自變量取 Laplace變換(一般為時間 t)，可得到像函數(shù)關于另一個自變量的常微分方程，解出此方程，最后取逆變換，得到原問題的解，可極大地降低解題的難度.

本文首先給出 Laplace變換的定義與存在條件；文章第二部分說明如何利用 Laplace變換來求解常微分方程；第三部分通過例子說明如何利用 Laplace變換來求解偏微分方程；最后對 Laplace變換在求解微分方程中的應用進行總結.

下面先給出 Laplace變換的定義、存在定理與常用性質：

引理 1(Laplace變換存在定理) 如果函數(shù) f(t)滿足下面兩個條件：(1)在 t≥0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；(2)存在常數(shù) M>0及 c≥0，使得 |f(t)|≤Mect(0≤t<+∞)成立；那么，f(t)的拉普拉斯變換在半平面 Re(s)>c內一定存在，且是解析的.

性質 1(微分性質)

性質 2(卷積性質)

若 L{f(t)}=F(s),L{g(t)}=G(s)，則

2 Laplace 變換在解常微分方程中的應用

利用 Laplace變換求解常微分方程的關鍵在于消去對自變量的求導運算，從而將常微分方程化成關于像函數(shù)的代數(shù)方程，在求 Laplace逆變換時可以按定義計算或者查Laplace變換表.下面說明如何利用 Laplace變換來求解一階、二階、k階常微分方程.

2.1 一階常微分方程的解法

這里只要結合 Laplace變換的微分性質及初始條件（2），式（1）可化為，則有

式（3）即為式（1）滿足初始條件（2）的解的表達式.例1 解初值問題：

2.2 二階常微分方程的解法

其中 y=y(t)為未知函數(shù)，f(t)為已知函數(shù)，p1,p2為常數(shù).

這里只要結合 Laplace變換的微分性質及初始條件（5），式（4）可化為

其中式（6）中，H(S)=S2+p1S+p2,H0(S)=C1(S+p1)+C2，式（6）即為式（4）滿足初始條件（5）的解的表達式.

2.3 階常微分方程的解法

其中 y=y(t)為未知函數(shù)，f(t)為已知函數(shù)，p1,p2,L,pn為常數(shù).

這里只要結合 Laplace變換的微分性質及初始條件(8)，可得式(7)的解為

從以上的求解過程可以看出，利用 Laplace變換來求解常微分方程要比直接求解簡單易行，而且在求 Laplace逆變換時可以查 Laplace變換表，這也極大簡化了計算過程.另外，若是求解常微分方程組，也可類似地對每個常微分方程進行 Laplace變換，得到一個像函數(shù)的方程組，然后對每個方程取 Laplace逆變換即可[5].

3 Laplace 變換在解偏微分方程中的應用

Laplace變換可用來求解含時間變量的偏微分方程定解問題.比如含有變量 x和 t兩個變量的偏微分方程定解問題，經(jīng)過對時間變量 t進行變換后，就變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?變量為 x)的定解問題了.然后利用 Laplace變換對此常微分方程(變量為 x)進行求解，并得到解的像函數(shù)，再對其進行反演，則可得到原問題的解.下面通過一個例子來進行說明：

例3 求無界桿的熱傳導問題

解 首先說明一下這里的邊界 u|t=0=0，-∞

此式為關于變量 x的常微分方程，根據(jù)文[2]例 11.11的結果，可以得到

再根據(jù) Laplace變換的反演公式得，

最后再根據(jù)卷積定理，可得到原方程的解

從以上的求解過程可以看出，用 Laplace變換求解偏微分方程的定解問題，除了減少自變量的數(shù)目以外，某些已知函數(shù)的像函數(shù)(例如方程的非齊次項，它的形式可能很復雜)甚至都不必具體求出，在求反演時只需應用卷積定理即可.

綜上可知，用 Laplace變換求解偏微分方程的步驟可歸納為：(1)對方程施行 Laplace變換，這一變換把初始條件也一并考慮了；(2)從變換后的方程解出像函數(shù)；(3)對求出的像函數(shù)進行反演，此時也可以查閱 Laplace變換表，所求的原函數(shù)就是原來方程的解.

4 小結

Laplace變換在解決常微分方程問題時，常微分方程經(jīng)過變換，變成了代數(shù)方程，解出代數(shù)方程，再進行反演就能得到原常微分方程的解.在解決偏微分方程問題時，偏微分方程經(jīng)過變換，變成了常微分方程，解出常微分方程，再進行反演就得到了原來偏微分方程的解.用 Laplace變換求解偏微分方程定解問題還有一個優(yōu)點，就是不必將非齊次邊界條件齊次化.

〔1〕潘祖梁，陳仲慈.工程技術中的偏微分方程[M].杭 州：浙江大學出版社，1995.139—150.

〔2〕吳崇試.數(shù)學物理方法[M].北京:北京大學出版社,1999.

〔3〕[美]羅納德·N·布雷斯韋爾.傅里葉變換及其應[M].西安：西安交通大學出版社，2005.8.1-4.

〔4〕陸求賜.Fourier變換在求解半無界空間上波動方程中的應用[J].武夷學院學報，2014,33(2):50-53.

〔5〕施曉紅.Laplace變換在求解線性微分及積分方程中的應用[J].昆明理工大學學報(理工版)，2009，34(3)：121-124.

〔6〕胡軼.淺析Laplace變換應用于初值問題[J].太原教育學院學報，2007，25(2).88-91.

〔7〕張潔萍，李俊林.關于Laplace變換及其性質的應用研究[J].太原科技大學學報，2010，32(3)：249-251.

〔8〕唐妍霞.利用Laplace變換求解一維波動方程的定解問題[J].河北北方學院學報(自然科學版)，2010，26(3)：16-19.

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