于海杰

（赤峰學(xué)院 初等教育學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

奇妙的斐波那契數(shù)列

于海杰

（赤峰學(xué)院 初等教育學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

斐波那契數(shù)列在各領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.本文簡(jiǎn)單介紹了斐波那契數(shù)列的由來，斐波那契數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用及自然界中的斐波那契數(shù).

斐波那契數(shù)列；通項(xiàng)公式；性質(zhì)；應(yīng)用

1 問題的提出

定理 若 n∈N，

所以 a，b是方程 x2-x-1=0的兩個(gè)根，

則 a2=a+1，b2=b+1，所以

同理 bn+1=bn+bn-1.從而有

即 f(n)=f(n-1)+f(n-2)，n≥2.

于是 f(0)=1，f(1)=1，f(2)=f(0)+f(1)=2，f(3)=f(2)+f(1)=3，……都是正整數(shù)，定理得證.

從上述定理的證明不難看出：這是一個(gè)由自然數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，通項(xiàng)公式竟然是用無理數(shù)表示的；并且這個(gè)數(shù)列，前兩項(xiàng)都為 1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和，這個(gè)數(shù)列就是有名的斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.

2 斐波那契數(shù)列的由來

13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的《算盤書》的修訂版中增加了一道著名的兔子繁殖問題.問題是這樣的:如果每對(duì)兔子（一雄一雌）每月能生殖一對(duì)小兔子（也是一雄一雌，下同），每對(duì)兔子第一個(gè)月沒有生殖能力，但從第二個(gè)月以后便能每月生一對(duì)小兔子.假定這些兔子都沒有死亡現(xiàn)象，那么從第一對(duì)剛出生的兔子開始，12個(gè)月以后會(huì)有多少對(duì)兔子呢？解釋說明為：一個(gè)月：只有一對(duì)兔子；第二個(gè)月：仍然只有一對(duì)兔子；第三個(gè)月：這對(duì)兔子生了一對(duì)小兔子，共有 1+1=2對(duì)兔子.第四個(gè)月：最初的一對(duì)兔子又生一對(duì)兔子，共有 2+1=3對(duì)兔子.則由第一個(gè)月到第十二個(gè)月兔子的對(duì)數(shù)分別是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，后人為了紀(jì)念提出兔子繁殖問題的斐波納契，將這個(gè)兔子數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，即把 1，1，2，3，5，8，13，21，34…這樣的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列.

3 斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式

由斐波那契數(shù)列的定義，可以知道斐波那契數(shù)列的各項(xiàng)之間有如下的關(guān)系：

通過上面定理的證明可以得出斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式為

注意：這個(gè)公式又叫“比內(nèi)公式”，正如前面所說這是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個(gè)范例.

4 斐波那契數(shù)列的性質(zhì)

性質(zhì)1若數(shù)列{Fn}為斐波那契數(shù)列，則；其中為黃金分割比.

性質(zhì) 2

斐波那契數(shù)列還有許多其他性質(zhì)，可參考相關(guān)研究文獻(xiàn)[3-5].

5 斐波那契數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用

例 1(爬樓梯問題) 某人爬有 n個(gè)臺(tái)階的樓梯，規(guī)定每一步只能跨邁一個(gè)或兩個(gè)臺(tái)階，問這個(gè)人有多少種不同的爬樓方法？

解 設(shè)爬 n個(gè)臺(tái)階有 an種方法.登上第一級(jí)臺(tái)階有一種登法；登上兩級(jí)臺(tái)階，有兩種登法；登上三級(jí)臺(tái)階，有三種登法；登上四級(jí)臺(tái)階，有五種登法……

1，2，3，5，8，13……

考慮最后一步：若最后一步邁一個(gè)臺(tái)階，則前 n-1個(gè)臺(tái)階有 an-1種方法；若最后一步邁兩個(gè)臺(tái)階，則前n-2個(gè)臺(tái)階有an-2種不同的方法.于是，由加法原理得：an=an-1+an-2，可知其初值a1=1，a2=2，從而an=Fn+1(n>2).

例2比較a與b的大小關(guān)系，已知

所以 a=b

例3現(xiàn)有長(zhǎng)為150cm的鐵絲，要截成n(>1)段，每段的長(zhǎng)為不小于1cm的整數(shù)，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，試求n的最大值，此時(shí)有幾種方法將該鐵絲截成滿足條件的n段（第17屆江蘇省初三數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）.

解 欲使 n盡可能的大，則每段長(zhǎng)應(yīng)該盡可能的小，又由每段的長(zhǎng)不小于1cm，所以應(yīng)從1開始分截，假定含有1的起始三段長(zhǎng)為1,b,c，且1≤b≤c，為了使這三段都不能構(gòu)成三角形，則1+b≤c，又要滿足b,c盡可能的小，故取b=1,c=2，于是這n段可分截如下：

1,1,2,3,8,13,ΛΛ，這就是斐波那契數(shù)列，

又因?yàn)?1+1+2+3+5+8+13+21+34+55<150，

而 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89>150，

故 n的最大值為 10，將長(zhǎng)為 150cm的鐵絲分成滿足條件的10段共有如下7種方式：

⑴1、1、2、3、5、8、13、21、35、61

⑵1、1、2、3、5、8、13、21、36、60

⑶1、1、2、3、5、8、13、21、37、59

⑷1、1、2、3、5、8、13、21、34、62

⑸1、1、2、3、5、8、13、22、35、60

⑹1、1、2、3、5、8、13、22、36、59

⑺1、1、2、3、5、8、14、22、36、58

6 自然界中的斐波那契數(shù)

斐波那契數(shù)列中的任意一個(gè)數(shù)，都叫斐波那契數(shù).斐波那契數(shù)是大自然的一基本模式，可以出現(xiàn)在許多場(chǎng)合.

6.1 樹木生長(zhǎng)中的斐波那契數(shù)

一棵樹在一年后長(zhǎng)出一個(gè)新枝，休息一年后再長(zhǎng)出一個(gè)新枝，以后每個(gè)樹枝都遵循這樣的規(guī)律，于是第一年只有一個(gè)主干，第二年有兩個(gè)枝，第三年三個(gè)，第四年五個(gè)，以此類推，便構(gòu)成了斐波那契數(shù)列.這個(gè)規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的“魯?shù)戮S格定律”.

6.2 花瓣數(shù)中的斐波那契數(shù)

大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰是斐波那契數(shù).如蘭花、茉利花、百合花都是 3個(gè)花瓣，毛茛屬的植物有 5個(gè)花瓣，翠雀屬植物有 8個(gè)花瓣，萬壽菊屬植物有 13個(gè)花瓣，紫菀屬植物有 21個(gè)花瓣，雛菊屬植物有 34、55或 89個(gè)花瓣.

6.3 向日葵花盤內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù)

向日葵花盤內(nèi)，種子是按對(duì)數(shù)螺線排列的，有順時(shí)針轉(zhuǎn)和逆時(shí)針轉(zhuǎn)的兩組對(duì)數(shù)螺線.兩組螺線的條數(shù)往往構(gòu)成相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發(fā)現(xiàn)過一個(gè)更大的向日葵有144和233條螺線，它們都是相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù).

目前關(guān)于斐波那契數(shù)列的相關(guān)研究比較多，主要研究斐波那契數(shù)列的性質(zhì)以及在各領(lǐng)域的應(yīng)用，如斐波那契數(shù)列在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)甚至金融等領(lǐng)域的應(yīng)用.美國數(shù)學(xué)會(huì)1960年出版了《斐波那契數(shù)列》季刊，專門發(fā)表有關(guān)斐波那契數(shù)列新發(fā)現(xiàn)和新用途的文章.可見，今后對(duì)于斐波那契數(shù)列的研究依舊前景廣闊.

〔1〕課程教材研究所數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.初等數(shù)論[M].北京：人民教育出版社，2003.

〔2〕于海杰.論連分?jǐn)?shù)的應(yīng)用[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)，2014（2）.

〔3〕凌曉牧.有趣的斐波那契數(shù)列[J].江蘇教育學(xué)院學(xué) 報(bào)，2011（10）.

〔4〕王君行．斐波那契數(shù)列的一些有趣的性質(zhì)[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2009（48）．

〔5〕林喜季．關(guān)于斐波那契數(shù)列的性質(zhì)探討[J]．福建商業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2006（12）．

〔6〕李文林．?dāng)?shù)學(xué)史概論［M］.北京:高等教育出版社，2000．

〔7〕凌曉牧.有趣的斐波那契數(shù)列[J].江蘇教育學(xué)院學(xué) 報(bào)，2011（10）.

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