王誠(chéng)

不同于選擇題和填空題，數(shù)學(xué)解答題要求寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.而不少同學(xué)重結(jié)果、輕證明，更不重視文字說(shuō)明，因此往往會(huì)在解答上丟掉不該丟的分?jǐn)?shù).

那么在解答題中，究竟有哪些內(nèi)容必須書(shū)寫(xiě)清楚，才能避免不必要的扣分呢？

讓我們先從一道解析幾何題出發(fā)，看看同學(xué)們的書(shū)寫(xiě)和參考答案有什么差異.

例［ 2011年臺(tái)州市第一次模擬測(cè)試（理科）第21題］ （本題滿分15分）如圖1所示，在y軸右側(cè)的動(dòng)圓與圓O1：（x-1）2+y2=1外切，并與y軸相切.

（1） 求動(dòng)圓的圓心P的軌跡Γ的方程；

（2） 過(guò)點(diǎn)P作圓O2：（x+1）2+y2=1的兩條切線，分別交y軸于A，B兩點(diǎn)，設(shè)AB中點(diǎn)為M（0，m）.求m的取值范圍.

【一位同學(xué)的解答過(guò)程（①②③④系本刊標(biāo)注）】

（1） y2=4x. ……………………………………………①

（2） P

，t，y-t=kx

-即kx-y+t-=0.

=1，……………………………………②

得t2（t2+8）k2-8t（t2+4）k+16（t2-1）=0，

k1+k2=.……………………………………③

y-t=k1x

-，y-t=k2x

-，

y1=t-k1，y2=t-k2，………………………………④

故m==t-（k1+k2）==，-≤m≤.

【參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】

（1） 由題意可知，點(diǎn)P到點(diǎn)（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離，故Γ是拋物線，方程為y2=4x （x≠0）.……… 5分

【注：由=x+1化簡(jiǎn)得到y(tǒng)2=4x同樣給分；不寫(xiě)x≠0不扣分】

（2） 設(shè)P

，t（t≠0），切線斜率為k, 則切線方程為y-t=kx

-，即kx-y+t-=0.…………………………… 6分

由題意可知，圓O2的圓心（-1，0）到切線的距離=1.……………………………………………… 8分

兩邊平方,整理得：t2（t2+8）k2-8t（t2+4）k+16（t2-1）=0，

………………………………………………………… 9分

該方程的兩根k1，k2就是兩條切線的斜率，由韋達(dá)定理得：k1+k2=（Ⅰ）.…………………………………… 11分

另一方面，在y-t=k1x

-，y-t=k2x

-中，令x=0可得A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1=t-k1，y2=t-k2，故m==t-（k1+k2） （Ⅱ）.…………………………………………… 13分

將（Ⅰ）代入（Ⅱ），得m==， ……………… 14分

故m的取值范圍是-≤m≤，m≠0.…… 15分

【對(duì)比】

和參考答案進(jìn)行對(duì)照，我們發(fā)現(xiàn)同學(xué)的解答有以下不規(guī)范之處：

（1） ①中沒(méi)有提供得出軌跡方程的依據(jù),只有結(jié)果；

（2） 用到的變量未交待其意義，如k1，k2，y1，y2等；

（3） ②③④這些關(guān)鍵結(jié)論得來(lái)突然，沒(méi)有依據(jù)（條件、公式、定義、定理等）支撐；

（4） 整個(gè)解答前后缺少邏輯關(guān)聯(lián)，只有算式的堆積.

雖然這位同學(xué)的解答有過(guò)程，答案也是正確的，但是答題不夠規(guī)范，缺少關(guān)鍵步驟的說(shuō)明，所以會(huì)被扣掉3到4分.

除了解析幾何題，同學(xué)們?cè)谄渌箢}中同樣存在不規(guī)范答題的情況.接下來(lái)，我們將列舉常見(jiàn)的不規(guī)范答題行為和容易被忽視的解題細(xì)節(jié)，希望同學(xué)們能夠重視.

△三角函數(shù)題

（1） 討論三角函數(shù)性質(zhì)時(shí)沒(méi)有注意周期性.

例如求f（x）=sin2x

--的遞增區(qū)間時(shí)，由-≤2x-≤得到函數(shù)的遞增區(qū)間為-

，

，只考慮了一個(gè)周期.

（2） 已知三角函數(shù)值求角，或已知角的一個(gè)三角函數(shù)值求它的其他三角函數(shù)值時(shí)，忽視角的范圍.

△數(shù)列題

（1） 已知Sn求an時(shí)，沒(méi)有考慮初始項(xiàng)a1.

（2） 數(shù)列求和時(shí)不注意項(xiàng)數(shù).

（3） 在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法求遞推數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，只有歸納或猜想，沒(méi)有證明.

△概率題

（1） 求概率時(shí)沒(méi)有必要的文字說(shuō)明，用到的符號(hào)也沒(méi)作出交代.

（2） 寫(xiě)分布列時(shí)，沒(méi)有交代變量的取值，每個(gè)取值的概率的計(jì)算過(guò)程也沒(méi)有，只有表格或結(jié)果.

△立體幾何題

（1） 隨意使用數(shù)學(xué)符號(hào).如將PB?平面PBC錯(cuò)寫(xiě)成PB∈平面PBC.

（2） 平行、垂直關(guān)系的證明中條件缺失，沒(méi)有必要的文字說(shuō)明.

（3） 利用幾何法求角時(shí)只有計(jì)算，沒(méi)有必要的作圖和證明.

△函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題

（1） 在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值時(shí)，沒(méi)有指明函數(shù)單調(diào)性，直接將極值等同于函數(shù)的最值.

（2） 求函數(shù)單調(diào)性時(shí)，最后沒(méi)有用集合將單調(diào)區(qū)間表示出來(lái).

數(shù)學(xué)解答題雖然力求簡(jiǎn)潔明快，但每一次轉(zhuǎn)化、每一步推理均應(yīng)提供合理的依據(jù).只有答題過(guò)程邏輯思路清晰、詳略得當(dāng)，才能避免不必要的失分.

不同于選擇題和填空題，數(shù)學(xué)解答題要求寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.而不少同學(xué)重結(jié)果、輕證明，更不重視文字說(shuō)明，因此往往會(huì)在解答上丟掉不該丟的分?jǐn)?shù).

那么在解答題中，究竟有哪些內(nèi)容必須書(shū)寫(xiě)清楚，才能避免不必要的扣分呢？

讓我們先從一道解析幾何題出發(fā)，看看同學(xué)們的書(shū)寫(xiě)和參考答案有什么差異.

例［ 2011年臺(tái)州市第一次模擬測(cè)試（理科）第21題］ （本題滿分15分）如圖1所示，在y軸右側(cè)的動(dòng)圓與圓O1：（x-1）2+y2=1外切，并與y軸相切.

（1） 求動(dòng)圓的圓心P的軌跡Γ的方程；

（2） 過(guò)點(diǎn)P作圓O2：（x+1）2+y2=1的兩條切線，分別交y軸于A，B兩點(diǎn)，設(shè)AB中點(diǎn)為M（0，m）.求m的取值范圍.

【一位同學(xué)的解答過(guò)程（①②③④系本刊標(biāo)注）】

（1） y2=4x. ……………………………………………①

（2） P

，t，y-t=kx

-即kx-y+t-=0.

=1，……………………………………②

得t2（t2+8）k2-8t（t2+4）k+16（t2-1）=0，

k1+k2=.……………………………………③

y-t=k1x

-，y-t=k2x

-，

y1=t-k1，y2=t-k2，………………………………④

故m==t-（k1+k2）==，-≤m≤.

【參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】

（1） 由題意可知，點(diǎn)P到點(diǎn)（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離，故Γ是拋物線，方程為y2=4x （x≠0）.……… 5分

【注：由=x+1化簡(jiǎn)得到y(tǒng)2=4x同樣給分；不寫(xiě)x≠0不扣分】

（2） 設(shè)P

，t（t≠0），切線斜率為k, 則切線方程為y-t=kx

-，即kx-y+t-=0.…………………………… 6分

由題意可知，圓O2的圓心（-1，0）到切線的距離=1.……………………………………………… 8分

兩邊平方,整理得：t2（t2+8）k2-8t（t2+4）k+16（t2-1）=0，

………………………………………………………… 9分

該方程的兩根k1，k2就是兩條切線的斜率，由韋達(dá)定理得：k1+k2=（Ⅰ）.…………………………………… 11分

另一方面，在y-t=k1x

-，y-t=k2x

-中，令x=0可得A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1=t-k1，y2=t-k2，故m==t-（k1+k2） （Ⅱ）.…………………………………………… 13分

將（Ⅰ）代入（Ⅱ），得m==， ……………… 14分

故m的取值范圍是-≤m≤，m≠0.…… 15分

【對(duì)比】

和參考答案進(jìn)行對(duì)照，我們發(fā)現(xiàn)同學(xué)的解答有以下不規(guī)范之處：

（1） ①中沒(méi)有提供得出軌跡方程的依據(jù),只有結(jié)果；

（2） 用到的變量未交待其意義，如k1，k2，y1，y2等；

（3） ②③④這些關(guān)鍵結(jié)論得來(lái)突然，沒(méi)有依據(jù)（條件、公式、定義、定理等）支撐；

（4） 整個(gè)解答前后缺少邏輯關(guān)聯(lián)，只有算式的堆積.

雖然這位同學(xué)的解答有過(guò)程，答案也是正確的，但是答題不夠規(guī)范，缺少關(guān)鍵步驟的說(shuō)明，所以會(huì)被扣掉3到4分.

除了解析幾何題，同學(xué)們?cè)谄渌箢}中同樣存在不規(guī)范答題的情況.接下來(lái)，我們將列舉常見(jiàn)的不規(guī)范答題行為和容易被忽視的解題細(xì)節(jié)，希望同學(xué)們能夠重視.

△三角函數(shù)題

（1） 討論三角函數(shù)性質(zhì)時(shí)沒(méi)有注意周期性.

例如求f（x）=sin2x

--的遞增區(qū)間時(shí)，由-≤2x-≤得到函數(shù)的遞增區(qū)間為-

，

，只考慮了一個(gè)周期.

（2） 已知三角函數(shù)值求角，或已知角的一個(gè)三角函數(shù)值求它的其他三角函數(shù)值時(shí)，忽視角的范圍.

△數(shù)列題

（1） 已知Sn求an時(shí)，沒(méi)有考慮初始項(xiàng)a1.

（2） 數(shù)列求和時(shí)不注意項(xiàng)數(shù).

（3） 在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法求遞推數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，只有歸納或猜想，沒(méi)有證明.

△概率題

（1） 求概率時(shí)沒(méi)有必要的文字說(shuō)明，用到的符號(hào)也沒(méi)作出交代.

（2） 寫(xiě)分布列時(shí)，沒(méi)有交代變量的取值，每個(gè)取值的概率的計(jì)算過(guò)程也沒(méi)有，只有表格或結(jié)果.

△立體幾何題

（1） 隨意使用數(shù)學(xué)符號(hào).如將PB?平面PBC錯(cuò)寫(xiě)成PB∈平面PBC.

（2） 平行、垂直關(guān)系的證明中條件缺失，沒(méi)有必要的文字說(shuō)明.

（3） 利用幾何法求角時(shí)只有計(jì)算，沒(méi)有必要的作圖和證明.

△函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題

（1） 在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值時(shí)，沒(méi)有指明函數(shù)單調(diào)性，直接將極值等同于函數(shù)的最值.

（2） 求函數(shù)單調(diào)性時(shí)，最后沒(méi)有用集合將單調(diào)區(qū)間表示出來(lái).

數(shù)學(xué)解答題雖然力求簡(jiǎn)潔明快，但每一次轉(zhuǎn)化、每一步推理均應(yīng)提供合理的依據(jù).只有答題過(guò)程邏輯思路清晰、詳略得當(dāng)，才能避免不必要的失分.

不同于選擇題和填空題，數(shù)學(xué)解答題要求寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.而不少同學(xué)重結(jié)果、輕證明，更不重視文字說(shuō)明，因此往往會(huì)在解答上丟掉不該丟的分?jǐn)?shù).

那么在解答題中，究竟有哪些內(nèi)容必須書(shū)寫(xiě)清楚，才能避免不必要的扣分呢？

讓我們先從一道解析幾何題出發(fā)，看看同學(xué)們的書(shū)寫(xiě)和參考答案有什么差異.

例［ 2011年臺(tái)州市第一次模擬測(cè)試（理科）第21題］ （本題滿分15分）如圖1所示，在y軸右側(cè)的動(dòng)圓與圓O1：（x-1）2+y2=1外切，并與y軸相切.

（1） 求動(dòng)圓的圓心P的軌跡Γ的方程；

（2） 過(guò)點(diǎn)P作圓O2：（x+1）2+y2=1的兩條切線，分別交y軸于A，B兩點(diǎn)，設(shè)AB中點(diǎn)為M（0，m）.求m的取值范圍.

【一位同學(xué)的解答過(guò)程（①②③④系本刊標(biāo)注）】

（1） y2=4x. ……………………………………………①

（2） P

，t，y-t=kx

-即kx-y+t-=0.

=1，……………………………………②

得t2（t2+8）k2-8t（t2+4）k+16（t2-1）=0，

k1+k2=.……………………………………③

y-t=k1x

-，y-t=k2x

-，

y1=t-k1，y2=t-k2，………………………………④

故m==t-（k1+k2）==，-≤m≤.

【參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)】

（1） 由題意可知，點(diǎn)P到點(diǎn)（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離，故Γ是拋物線，方程為y2=4x （x≠0）.……… 5分

【注：由=x+1化簡(jiǎn)得到y(tǒng)2=4x同樣給分；不寫(xiě)x≠0不扣分】

（2） 設(shè)P

，t（t≠0），切線斜率為k, 則切線方程為y-t=kx

-，即kx-y+t-=0.…………………………… 6分

由題意可知，圓O2的圓心（-1，0）到切線的距離=1.……………………………………………… 8分

兩邊平方,整理得：t2（t2+8）k2-8t（t2+4）k+16（t2-1）=0，

………………………………………………………… 9分

該方程的兩根k1，k2就是兩條切線的斜率，由韋達(dá)定理得：k1+k2=（Ⅰ）.…………………………………… 11分

另一方面，在y-t=k1x

-，y-t=k2x

-中，令x=0可得A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1=t-k1，y2=t-k2，故m==t-（k1+k2） （Ⅱ）.…………………………………………… 13分

將（Ⅰ）代入（Ⅱ），得m==， ……………… 14分

故m的取值范圍是-≤m≤，m≠0.…… 15分

【對(duì)比】

和參考答案進(jìn)行對(duì)照，我們發(fā)現(xiàn)同學(xué)的解答有以下不規(guī)范之處：

（1） ①中沒(méi)有提供得出軌跡方程的依據(jù),只有結(jié)果；

（2） 用到的變量未交待其意義，如k1，k2，y1，y2等；

（3） ②③④這些關(guān)鍵結(jié)論得來(lái)突然，沒(méi)有依據(jù)（條件、公式、定義、定理等）支撐；

（4） 整個(gè)解答前后缺少邏輯關(guān)聯(lián)，只有算式的堆積.

雖然這位同學(xué)的解答有過(guò)程，答案也是正確的，但是答題不夠規(guī)范，缺少關(guān)鍵步驟的說(shuō)明，所以會(huì)被扣掉3到4分.

除了解析幾何題，同學(xué)們?cè)谄渌箢}中同樣存在不規(guī)范答題的情況.接下來(lái)，我們將列舉常見(jiàn)的不規(guī)范答題行為和容易被忽視的解題細(xì)節(jié)，希望同學(xué)們能夠重視.

△三角函數(shù)題

（1） 討論三角函數(shù)性質(zhì)時(shí)沒(méi)有注意周期性.

例如求f（x）=sin2x

--的遞增區(qū)間時(shí)，由-≤2x-≤得到函數(shù)的遞增區(qū)間為-

，

，只考慮了一個(gè)周期.

（2） 已知三角函數(shù)值求角，或已知角的一個(gè)三角函數(shù)值求它的其他三角函數(shù)值時(shí)，忽視角的范圍.

△數(shù)列題

（1） 已知Sn求an時(shí)，沒(méi)有考慮初始項(xiàng)a1.

（2） 數(shù)列求和時(shí)不注意項(xiàng)數(shù).

（3） 在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法求遞推數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，只有歸納或猜想，沒(méi)有證明.

△概率題

（1） 求概率時(shí)沒(méi)有必要的文字說(shuō)明，用到的符號(hào)也沒(méi)作出交代.

（2） 寫(xiě)分布列時(shí)，沒(méi)有交代變量的取值，每個(gè)取值的概率的計(jì)算過(guò)程也沒(méi)有，只有表格或結(jié)果.

△立體幾何題

（1） 隨意使用數(shù)學(xué)符號(hào).如將PB?平面PBC錯(cuò)寫(xiě)成PB∈平面PBC.

（2） 平行、垂直關(guān)系的證明中條件缺失，沒(méi)有必要的文字說(shuō)明.

（3） 利用幾何法求角時(shí)只有計(jì)算，沒(méi)有必要的作圖和證明.

△函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題

（1） 在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值時(shí)，沒(méi)有指明函數(shù)單調(diào)性，直接將極值等同于函數(shù)的最值.

（2） 求函數(shù)單調(diào)性時(shí)，最后沒(méi)有用集合將單調(diào)區(qū)間表示出來(lái).

數(shù)學(xué)解答題雖然力求簡(jiǎn)潔明快，但每一次轉(zhuǎn)化、每一步推理均應(yīng)提供合理的依據(jù).只有答題過(guò)程邏輯思路清晰、詳略得當(dāng)，才能避免不必要的失分.