陸山，李波

（西北工業(yè)大學動力與能源學院，西安710072）

考慮表面加工缺陷的輪盤疲勞壽命分析方法

陸山，李波

（西北工業(yè)大學動力與能源學院，西安710072）

為了將表面加工狀態(tài)引入零構(gòu)件概率壽命分析中，提出并建立了考慮表面加工缺陷的輪盤疲勞壽命分析方法。將孔的表面加工缺陷簡化為表面裂紋和/或角裂紋，導出裂紋深度密度函數(shù)；借助裂紋應力強度因子經(jīng)驗公式及有限元分析，提出輪盤孔邊裂紋應力強度因子計算的推廣經(jīng)驗公式方法。建立了3種考慮表面缺陷尺度分布時輪盤概率壽命計算方法。以鈦合金盤為例，在獲得的表面缺陷分布條件下，計算了給定壽命的輪盤疲勞壽命失效概率及故障率。仿真結(jié)果表明：采用該方法可以將表面加工缺陷對疲勞壽命的影響引入構(gòu)件壽命評估體系。

表面加工缺陷；疲勞壽命；應力強度因子；裂紋擴展；失效概率；故障率；輪盤

0 引言

輪盤是航空發(fā)動機最重要的承力構(gòu)件之一，結(jié)構(gòu)復雜，成本昂貴，工作條件惡劣，一旦損壞，后果往往是災難性的。輪盤在服役期間承受著重復作用的疲勞載荷，其設計必須遵守相關結(jié)構(gòu)的強度準則，要求具有足夠的低循環(huán)疲勞壽命，以及損傷容限特性，來滿足可靠性和耐久性[1]。在發(fā)動機輪盤的實際加工中，會不可避免地產(chǎn)生加工缺陷，如果在應力危險部位（特別是在盤的孔邊）出現(xiàn)了明顯的加工缺陷，則可能會對其壽命產(chǎn)生較大影響。因此，在輪盤壽命預測時，應該考慮加工刀痕對壽命的影響，這也是輪盤損傷容限設計要求研究的內(nèi)容。在分析輪盤表面加工缺陷的微觀表象之后，可以將輪盤孔邊的加工刀痕作為裂紋來處理[1-2]，裂紋的深度即為加工刀痕（缺陷）的深度，而裂紋的擴展壽命，則在一定程度上代表了輪盤的疲勞壽命。裂紋應力強度因子可以通過經(jīng)驗公式[3]、有限元法[4-5]或邊界元法[6]求解。然而經(jīng)驗公式法僅適用于簡單載荷下的簡單幾何構(gòu)件；零件加工缺陷的深度是不確定的，具有一定的隨機性，如果要大量計算輪盤上不同裂紋應力強度因子，文獻[4-6]中的數(shù)值方法難以直接使用。目前已有針對體內(nèi)分布夾雜的輪盤概率壽命分析方法[7-9]，但考慮表面分布缺陷的輪盤概率壽命分析方法目前在國內(nèi)文獻中尚未查到，國外相關研究文獻也極少，且僅給出表面缺陷深度超越概率[2,10]，及盤孔邊概率壽命分析框架[2]。

本文針對加工缺陷深度的隨機性，導出了表面缺陷深度密度函數(shù)；利用有限元分析給出1種快速計算某類表面裂紋應力強度因子的方法；在此基礎上，提出基于危險部位分布深度表面缺陷的輪盤低循環(huán)疲勞壽命可靠性分析方法。

1 表面加工缺陷及其分布

表面缺陷是指在機械加工中在零件表面形成的局部切除或遺留材料的痕跡。其分布形式將直接影響零件壽命的可靠性。不同的缺陷深度分布形式，其壽命可靠度也不同。目前，中國尚無表面缺陷的國家標準和部頒標準，僅在表面粗糙度中有定性而無定量的說明[11]。

在可以查到的參考文獻中，表面缺陷的分布規(guī)律主要有Weibull、高斯以及指數(shù)分布[2，10]3種模型。事實上，Weibull分布可以退化成指數(shù)分布。

在美國聯(lián)邦航空管理局（FAA）的報告[2]中，僅給出了鈦、鋼、鎳或鎳基粉末冶金發(fā)動機轉(zhuǎn)子上的圓孔，由機械加工引起的表面缺陷的初始分布的性質(zhì)用單位表面面積超過特定尺寸深度的缺陷數(shù)量F′來表示[2]

式中：x為缺陷深度（inch）；v為頻度系數(shù)，大小與輪盤上孔的深度和直徑比有關。

為了獲得缺陷的密度函數(shù)，令x=0，則F′|x=0=5.42×10-6v，表示在單位面積上（深度大于0）所有缺陷的數(shù)量，那么缺陷深度超過x的概率為

根據(jù)累積分布函數(shù)的定義，缺陷深度分布的累積分布函數(shù)F的表達式為

對其微分即得到缺陷深度分布的概率密度函數(shù)

可以看到，該指數(shù)分布為1個退化的Weibull分布。事實上依加工方式、精度以及表面處理方式不同等，甚至在零件的不同部位，最終的表面缺陷的深度分布形式也可能有所不同，但本文第3章建立的考慮表面缺陷分布的輪盤概率壽命分析方法是通用的。

2 表面裂紋的SIF計算

裂紋應力強度因子（SIF）可以通過有限元法建模計算，但是計算1次需消耗較多人工建模時間和機時。而本文需要計算大量不同尺度的裂紋SIF，并且在裂紋擴展分析過程也需要大量的裂紋應力強度因子計算。如果有相應的經(jīng)驗公式計算SIF，可以節(jié)省很多時間。

通常表面缺陷如果發(fā)生在零件的邊角和表面上，可分別采用角裂紋和表面裂紋模型。文獻[3]中已給出角裂紋和表面裂紋的應力強度因子計算經(jīng)驗公式，甚至對于容易產(chǎn)生應力集中的孔邊，也給出了相應的應力強度因子計算公式?？走吔恰⒈砻媪鸭y形式分別如圖1、2所示。

圖1 孔邊角裂紋

圖2 孔壁表面裂紋

具體SIF計算公式可以直接查詢手冊[3]，只是手冊中一般裂紋的載體比較簡單，均為帶孔或無孔的等厚板，加載的方式一般為遠場單向均勻拉伸。但根據(jù)圣維南原理，遠處的應力場對于需要著重考慮的部位的SIF影響不大，因此只要保證裂紋臨近的主應力分布大小吻合，即可得較為滿意的SIF結(jié)果。

本文結(jié)合第4章典型算例分析，提出結(jié)合有限元應力分析和表面半圓形裂紋和孔邊角裂紋的經(jīng)驗公式，計算輪盤孔邊應力強度因子的推廣經(jīng)驗公式方法。其主要步驟是：首先，選取包含1個孔的輪盤循環(huán)對稱子模型，進行無裂紋模型應力分析；其次，利用輪盤循環(huán)對稱子模型厚度、弦長特征尺寸，建立方形帶孔板無裂紋模型，并在單向均布載荷下進行應力分析；再次，由輪盤循環(huán)對稱子模型孔邊危險點與方形帶孔板模型孔邊危險點第1主應力相等條件，確定方形帶孔板無裂紋模型的單向均布載荷σm；最后，由確定的σm和矩形帶孔板孔邊裂紋經(jīng)驗公式，計算一系列裂紋尺寸下盤孔邊表面或角裂紋應力強度因子。

3 給定分布裂紋深度下裂紋擴展壽命計算

對含單裂紋的輪盤結(jié)構(gòu)裂紋擴展模型，采用簡單實用的Paris公式[12]

式中：ΔK=Kmax-Kmin，即應力強度因子的幅值；C、p為通過試驗得出的材料常數(shù)，與材料、試樣厚度、應力比、載荷頻率等有關。

由于本文實際采用的裂紋應力強度因子計算經(jīng)驗公式形式復雜，無法直接積分，所以，采用1種分步裂紋擴展、壽命疊加的計算方法。即在初始裂紋深度的基礎上，計算應力強度因子，并給定1個微小裂紋擴展量da，利用Paris公式計算相應的裂紋擴展壽命dN；再在新的裂紋深度下計算新的應力強度因子，一直循環(huán)到最終的應力強度因子到達斷裂韌性Klc，或者最終的裂紋深度到達臨界裂紋尺寸。至此，疊加各步所有壽命增量dN即得到裂紋擴展總壽命。

為簡化計算，本文的裂紋模型被簡化為半圓形或者圓形裂紋，應力強度因子的大小沿裂紋前沿是不同的。在計算中，每次選擇沿裂紋前緣最大的應力強度因子進行擴展分析，擴展后的模型仍按半圓形或圓形裂紋進行計算，最終結(jié)果偏于安全，并且簡化了計算模型。對于表面裂紋來說，其深度尺寸理論大于0，且小于某一確定值。然而在工程實際中，當裂紋尺寸小于一定值時，可以分析認為此裂紋擴展壽命是無限壽命，或者說其壽命已遠大于規(guī)定的要求（本文中把裂紋擴展壽命大于一般壽命要求3個量級左右時的初始裂紋尺寸定義為amin=a0）；而當裂紋尺寸大于某值時，可以認為零件從生產(chǎn)出時已經(jīng)失效，即壽命為0（本文中把裂紋未擴展前的應力強度因子已經(jīng)大于材料的斷裂韌性左右時的尺寸定義為ama）x。

在建立單裂紋擴展壽命分析模型之后，可以采用3種方法來計算構(gòu)件基于分布尺寸下的裂紋擴展壽命可靠度。

3.1 概率求和法

選定裂紋尺寸的上限amax和下限amin，將其分為若干小區(qū)間，對每個區(qū)間內(nèi)的裂紋尺寸，進行裂紋擴展分析，計算得到不同尺寸裂紋的擴展壽命t（a），將其與給定的設計壽命下限進行比較，如果大于給定壽命要求，則將該尺寸下的可靠度R（a）定義為1，如果不滿足要求則定義為0。

根據(jù)裂紋尺寸的分布，可以計算尺寸為a時的概率密度值為f（a），那么分布尺寸下裂紋擴展壽命的可靠度R為

因R2無法直接積分，所以一般利用數(shù)值積分方法來計算。將裂紋尺寸的區(qū)間細分為多段，計算各小段的f和相應的R，從而得到1個Ri。對Ri求和，再與R1相加即得零件給定部位的給定壽命可靠度R。需要注意的是，對于不同的壽命準則T，會出現(xiàn)不同的amin；如果T較小則amin較大，那么會減少相當一部分計算量。

3.2 蒙特卡洛法

根據(jù)裂紋尺寸分布的概率密度函數(shù)，可以生成1個相應的隨機數(shù)序列，即一系列的裂紋深度。對1個裂紋深度進行擴展壽命分析，當裂紋尺寸小于之前所述的amin，可以直接將裂紋的壽命定為1個極大值（大于壽命要求T即可）；當裂紋尺寸大于amax，可以將裂紋的壽命定義為0；其他尺寸的裂紋利用裂紋擴展計算公式計算。如果計算所有的隨機數(shù)并不會影響最終結(jié)果，上述處理方法只是為了減少一部分計算量，從而節(jié)省了計算時間。

將各裂紋擴展壽命計算完成之后，根據(jù)可靠度的定義，給定壽命的可靠性R的計算公式

3.3 超越概率法

超越概率法是直接利用裂紋深度尺寸的超越概率，即

假設1個深度尺寸為x0的裂紋，則其余裂紋深度尺寸超過x0的概率為e（-61.546x）。通過裂紋擴展計算得到深度為x0的裂紋擴展壽命為N0，那么全部尺寸下裂紋的擴展壽命N中

由可靠度定義

R=1-P（N＜N0）=1-P（x＞x0）=1-e（-61.546x）0=1-F"|x=x0=F|x=x0

由以上推導可知，當已知設計壽命要求對應的裂紋深度尺寸時，利用尺寸分布的累積密度函數(shù)，可直接得到含刀痕構(gòu)件的壽命可靠度。

在上述3種方法中，除了裂紋深度尺寸外，其他參數(shù)都是確定性的，即沒有考慮分散性。然而事實上，裂紋擴展模型、載荷、結(jié)構(gòu)的尺寸等都可能具有一定的分散性。如果要考慮這些分散性，蒙特卡洛法較其他2種方法是易用性最強的辦法。

4 典型算例分析

1個鈦合金等厚盤，外徑為0.830 m，內(nèi)徑為0.6 m，盤上有40個直徑為0.0127 m的圓孔，均布在半徑為0.3625 m的圓上。盤厚0.0254 m。在0—5700—0 r/min等幅循環(huán)三角轉(zhuǎn)速譜作用下，進行20000次循環(huán)。在峰值轉(zhuǎn)速下輪緣作用均布外載荷為33 MPa，以模擬葉片載荷[2]。

盤的材料數(shù)據(jù)分別為密度ρ=4.450 kg/m3，楊氏模量E=120 GPa，泊松比μ=0.361，斷裂韌性KIC=64.5，應力比為0的裂紋擴展率（9.25E-13）×（ΔK）3.97[2]。

首先建立1/40盤的有限元模型，進行應力分析，得出盤孔邊應力的大小及分布，周向應力分布如圖4所示。

圖4 輪盤周向應力結(jié)果

孔邊最大周向應力為904 MPa，在孔壁表面沿厚度方向中心處6點鐘位置。在輪盤扇段模型上，分別在孔邊和孔壁中間建立深度均為0.00254 m裂紋的有限元模型，并進行計算分析，可以得到孔邊角裂紋沿圓周最大應力強度因子為，孔壁表面裂紋沿圓周的最大應力強度因子為42.722 MPa■m 。

為模擬裂紋擴展過程，需要建立適用于輪盤孔邊裂紋應力強度因子計算經(jīng)驗公式的方法。選用文獻[3]中帶孔等厚板的孔邊角裂紋及孔內(nèi)表面裂紋的應力計算公式。取等厚板的厚度與等厚盤厚度一致，寬度和高度取盤孔心處半徑Rbh的圓周長的1/40，模型2條對邊施加均布載荷300 MPa。有限元分析結(jié)果如圖5所示。

圖5 帶孔等厚板周向應力結(jié)果

從圖5中可見，孔邊與無裂紋盤孔邊的應力分布基本一致。孔邊最大應力為1080 MPa，應力集中系數(shù)為1080/300=3.6。那么當利用等厚盤孔邊角裂紋及孔內(nèi)表面裂紋的應力強度因子計算公式計算輪盤孔邊裂紋時，應代入經(jīng)驗公式的遠場應力值為904/3.6=251.1 MPa；同時代入裂紋深度尺寸0.00254 m，進行應力強度因子的計算，最終結(jié)果見表1。

表1 應力強度因子（SIF）解對比

從表1可見，利用推廣的經(jīng)驗公式得到的SIF結(jié)果與有限元分析得到的結(jié)果誤差小于3.5%。而直接利用經(jīng)驗公式計算則擺脫了大量有限元建模計算分析過程，可以直接利用MATLAB編程計算，極大地縮短了計算時間。

確定了裂紋應力強度因子計算公式之后，可以直接根據(jù)缺陷分布，分別利用上述提出的3種不同方法計算得到輪盤20000次循環(huán)譜下的失效概率和故障率。需要注意以下事項。

（1）取孔邊角裂紋和表面裂紋的斷裂概率中較差的作為孔的斷裂概率；

（2）缺陷分布定義是單位面積上的，因此最終計算結(jié)果需要乘以同一加工方式所加工的表面積，算例中即為40個孔的內(nèi)表面面積；

（3）FAA報告[2]中指出在輪盤斷裂概率計算中，對孔的制造采用信任度的方法，需要將計算結(jié)果除以信任度。FAA報告中給出的可用信任度包括30、35、40[2]；

（4）得出單個孔的斷裂概率之后，計算盤的斷裂概率時，40個孔之間為串聯(lián)關系，采用可靠度連乘公式直接計算即可。

（5）在得到盤的斷裂失效概率之后，可以通過數(shù)值微分辦法計算出盤在給定壽命下的概率密度值，除以可靠度后即故障率。

由3種不同方法得到的20000次循環(huán)的失效概率和故障率分別見表2、3。

表2 3種方法的失效概率

表3 3種方法的故障率

概率求和法與超越概率法的誤差主要產(chǎn)生于計算時裂紋區(qū)間內(nèi)的間隔，因此二者的計算結(jié)果非常接近；而蒙特卡洛法的誤差主要產(chǎn)生于隨機數(shù)發(fā)生的數(shù)量。當概率求和法與超越概率法計算的裂紋間隔足夠小，并且蒙特卡洛法中的隨機數(shù)足夠多時，這3種方法得到的結(jié)果將趨于同一準確值。采用超越概率法時，無需對所有尺寸的裂紋進行擴展，只需要利用二分法的思想，不斷搜索得到要求的設計壽命對應的裂紋深度尺寸；而概率求和法則需要對全部尺寸的裂紋進行擴展分析；蒙特卡洛法則可以根據(jù)精度需要控制不同深度的裂紋數(shù)量。文獻[2]中給出了本算例的故障率風險為2.88E-4，本文的計算結(jié)果與其相差1.758～3.570倍。

5 結(jié)束語

本文首先將表面加工痕跡簡化為裂紋，導出裂紋深度密度函數(shù)；提出利用經(jīng)驗公式，結(jié)合有限元應力分析計算復雜結(jié)構(gòu)孔邊裂紋應力強度因子的推廣經(jīng)驗公式方法。然后建立了給定分布下表面裂紋擴展壽命可靠度的3種計算方法。以帶孔鈦合金盤為例，采用推廣的經(jīng)驗公式方法計算孔邊應力強度因子誤差小于3.5%；在分布表面缺陷條件下，計算并驗證得到了給定設計壽命下的盤孔邊失效概率和故障率，采用3種概率壽命積分方法所得計算結(jié)果相互吻合。

研究結(jié)果表明：本文所述方法可將零件表面加工缺陷引入輪盤疲勞壽命分析方法體系，簡單有效，并可推廣應用于考慮分布尺寸加工刀痕裂紋的其他結(jié)構(gòu)的疲勞概率壽命分析中，為發(fā)動機結(jié)構(gòu)損傷容限分析提供了新的方法。

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An Analysis Method of Disk Fatigue Life Considering Surface Manufacturing-Induced Anomaly

LU Shan,LI Bo
（School of Power and Energy,Northwestern Polytechnical University,Xi'an 710072）

In order to analyze the aeroengine components′life at the surface manufacture state,a method for disk fatigue life analysis considering surface manufacturing-induced anomaly was presented and built.The surface manufacturing anomaly was simplified as surface cracks and/or corner cracks,and the crack density function was exported.Using the empirical formula of Stress Intensity Factor(SIF)and FEM analysis,a popularized empirical formula method to compute the SIF of a crack at hole edge of a disk was proposed and verified by FEM solution.Three methods to calculate the probabilistic life of disk considering the depth distribution of surface anomaly were built. Taking a titanium disk as an example,the failure risk and failure rate at a given life was computed,under the conditions of the gained distribution of surface anomaly.The simulation results show that the surface manufacturing-induced anomaly affeots fatigue life can be introduced in components'life assessment life by this method.

surface manufacturing-induced anomaly;fatigue life;stress intensity factor;crack propagation;failure risk;failure rate;disk

V 231.95

A

10.13477/j.cnki.aeroengine.2014.05.002

2014-03-10

陸山（1955），男，教授，博士生導師，研究方向為航空發(fā)動機結(jié)構(gòu)強度和構(gòu)件壽命可靠性數(shù)值分析及試驗評估技術；E-mail：shanlu@nwpu.edu.cn。

陸山，李波.考慮表面加工缺陷的輪盤疲勞壽命分析方法[J].航空發(fā)動機，2014，40（5）：7-12.LU Shan，LI Bo.An analysis method of disk fatigue life consideringsurface manufacturing-induced anomaly[J].Aeroengine，2014，40（5）：7-12.