華騰飛

近年來，各地的中考試卷中頻頻出現(xiàn)圖形折疊的考題，有些同學(xué)對求解此類問題感到無從下手，其實(shí)求解此類問題的關(guān)鍵是要充分利用軸對稱圖形，靈活運(yùn)用相關(guān)知識容易求解.下面以近年各地中考題為例說明求解此類問題的方法，希望對提高同學(xué)們的解題技能和技巧能夠有所幫助.

一、翻折三角形的一角

例1 .如圖1所示，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，翻折∠C使點(diǎn)C落在斜邊AB上的某一點(diǎn)D處，折痕為EF（點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上）.當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時，△CEF與△ABC相似嗎？請說明理由.

解析:如圖1， 連接CD與EF交于O點(diǎn).

∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，

∴CD = DB =■AB，∴∠DCB =∠B.

由折疊知，∠COF = 90°.

∴∠DCB +∠CFE = 90°.

∵∠B +∠A = 90°，∴∠CFE =∠A.

又∵∠C =∠C，∴△CEF ∽ △CBA.

二、翻折矩形的一角

例2.如圖2所示，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)C′重合.若AB = 2，則C′D的長為（）

A. 1B. 2 C. 3D. 4

解析: 根據(jù)矩形的對邊相等，得CD = AB = 2，由折疊可知C′D = 2.故應(yīng)選B.

三、翻折菱形的一角

例3.如圖3所示，將菱形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A恰好落在菱形的對稱中心O處，折痕為EF.若菱形ABCD的邊長為2 cm，∠A = 120°，則EF = ____ cm.

解析: 如圖4所示，連結(jié)BD、AO，則B、O、D三點(diǎn)共線，BO = ■BD，AO⊥BD，AO平分∠BAD.

∴∠BAO = 60°.

在Rt△AOB中，BO = AB·sin60° = 2 ×■=■cm.由折疊知，AO垂直平分EF，∴EF∥BD，∴EF是△ABD的中位線. ∴EF=■BD=BO =■cm.

四、翻折四邊形的一角

例4.如圖5所示，在△OAB中，∠OAB = 90°，∠AOB =30°，OB = 8.以O(shè)B為邊，在△OAB外作等邊三角形OBC，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長交OC于E.

(1) 求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

(2) 如圖6所示，將圖6中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG，求OG的長.

解析：(1)如圖5，在Rt△OAB中，D為OB的中點(diǎn).

∴DO = DA，

∴∠DAO =∠DOA = 30°.

∵△OBC為等邊三角形，

∴∠BCO =∠COB = 60°，

∴∠EOA = 90°，

∴OC∥AB，∠AEO = 60° =∠BCO，

∴BC∥AE，

∴四邊形ABCE是平行四邊形.

(2)如圖6， 由題意知OC = OB = 8.

設(shè)OG = x，則由折疊可知：

AG = GC = 8 – x.

∵∠OAB = 90°，∠AOB = 30°，OB = 8，

∴OA = OB·cos30° =8 ×■=4■.

在Rt△OAG中，由勾股定理可得：

OG2 + OA2 = AG2，

即x2 +（4■）2=（8-x）2.

解得x = 1，∴OG = 1.

練習(xí)：

如圖7所示，已知四邊形ABCD是矩形，把矩形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接DE.若DE : AC = 3 : 5.則■的值為（ ）

A.■B. ■C. ■D.■

答案：A

(作者單位：安徽省靈璧黃灣中學(xué))

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近年來，各地的中考試卷中頻頻出現(xiàn)圖形折疊的考題，有些同學(xué)對求解此類問題感到無從下手，其實(shí)求解此類問題的關(guān)鍵是要充分利用軸對稱圖形，靈活運(yùn)用相關(guān)知識容易求解.下面以近年各地中考題為例說明求解此類問題的方法，希望對提高同學(xué)們的解題技能和技巧能夠有所幫助.

一、翻折三角形的一角

例1 .如圖1所示，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，翻折∠C使點(diǎn)C落在斜邊AB上的某一點(diǎn)D處，折痕為EF（點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上）.當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時，△CEF與△ABC相似嗎？請說明理由.

解析:如圖1， 連接CD與EF交于O點(diǎn).

∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，

∴CD = DB =■AB，∴∠DCB =∠B.

由折疊知，∠COF = 90°.

∴∠DCB +∠CFE = 90°.

∵∠B +∠A = 90°，∴∠CFE =∠A.

又∵∠C =∠C，∴△CEF ∽ △CBA.

二、翻折矩形的一角

例2.如圖2所示，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)C′重合.若AB = 2，則C′D的長為（）

A. 1B. 2 C. 3D. 4

解析: 根據(jù)矩形的對邊相等，得CD = AB = 2，由折疊可知C′D = 2.故應(yīng)選B.

三、翻折菱形的一角

例3.如圖3所示，將菱形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A恰好落在菱形的對稱中心O處，折痕為EF.若菱形ABCD的邊長為2 cm，∠A = 120°，則EF = ____ cm.

解析: 如圖4所示，連結(jié)BD、AO，則B、O、D三點(diǎn)共線，BO = ■BD，AO⊥BD，AO平分∠BAD.

∴∠BAO = 60°.

在Rt△AOB中，BO = AB·sin60° = 2 ×■=■cm.由折疊知，AO垂直平分EF，∴EF∥BD，∴EF是△ABD的中位線. ∴EF=■BD=BO =■cm.

四、翻折四邊形的一角

例4.如圖5所示，在△OAB中，∠OAB = 90°，∠AOB =30°，OB = 8.以O(shè)B為邊，在△OAB外作等邊三角形OBC，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長交OC于E.

(1) 求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

(2) 如圖6所示，將圖6中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG，求OG的長.

解析：(1)如圖5，在Rt△OAB中，D為OB的中點(diǎn).

∴DO = DA，

∴∠DAO =∠DOA = 30°.

∵△OBC為等邊三角形，

∴∠BCO =∠COB = 60°，

∴∠EOA = 90°，

∴OC∥AB，∠AEO = 60° =∠BCO，

∴BC∥AE，

∴四邊形ABCE是平行四邊形.

(2)如圖6， 由題意知OC = OB = 8.

設(shè)OG = x，則由折疊可知：

AG = GC = 8 – x.

∵∠OAB = 90°，∠AOB = 30°，OB = 8，

∴OA = OB·cos30° =8 ×■=4■.

在Rt△OAG中，由勾股定理可得：

OG2 + OA2 = AG2，

即x2 +（4■）2=（8-x）2.

解得x = 1，∴OG = 1.

練習(xí)：

如圖7所示，已知四邊形ABCD是矩形，把矩形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接DE.若DE : AC = 3 : 5.則■的值為（ ）

A.■B. ■C. ■D.■

答案：A

(作者單位：安徽省靈璧黃灣中學(xué))

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近年來，各地的中考試卷中頻頻出現(xiàn)圖形折疊的考題，有些同學(xué)對求解此類問題感到無從下手，其實(shí)求解此類問題的關(guān)鍵是要充分利用軸對稱圖形，靈活運(yùn)用相關(guān)知識容易求解.下面以近年各地中考題為例說明求解此類問題的方法，希望對提高同學(xué)們的解題技能和技巧能夠有所幫助.

一、翻折三角形的一角

例1 .如圖1所示，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，翻折∠C使點(diǎn)C落在斜邊AB上的某一點(diǎn)D處，折痕為EF（點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上）.當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時，△CEF與△ABC相似嗎？請說明理由.

解析:如圖1， 連接CD與EF交于O點(diǎn).

∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，

∴CD = DB =■AB，∴∠DCB =∠B.

由折疊知，∠COF = 90°.

∴∠DCB +∠CFE = 90°.

∵∠B +∠A = 90°，∴∠CFE =∠A.

又∵∠C =∠C，∴△CEF ∽ △CBA.

二、翻折矩形的一角

例2.如圖2所示，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)C′重合.若AB = 2，則C′D的長為（）

A. 1B. 2 C. 3D. 4

解析: 根據(jù)矩形的對邊相等，得CD = AB = 2，由折疊可知C′D = 2.故應(yīng)選B.

三、翻折菱形的一角

例3.如圖3所示，將菱形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A恰好落在菱形的對稱中心O處，折痕為EF.若菱形ABCD的邊長為2 cm，∠A = 120°，則EF = ____ cm.

解析: 如圖4所示，連結(jié)BD、AO，則B、O、D三點(diǎn)共線，BO = ■BD，AO⊥BD，AO平分∠BAD.

∴∠BAO = 60°.

在Rt△AOB中，BO = AB·sin60° = 2 ×■=■cm.由折疊知，AO垂直平分EF，∴EF∥BD，∴EF是△ABD的中位線. ∴EF=■BD=BO =■cm.

四、翻折四邊形的一角

例4.如圖5所示，在△OAB中，∠OAB = 90°，∠AOB =30°，OB = 8.以O(shè)B為邊，在△OAB外作等邊三角形OBC，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長交OC于E.

(1) 求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

(2) 如圖6所示，將圖6中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG，求OG的長.

解析：(1)如圖5，在Rt△OAB中，D為OB的中點(diǎn).

∴DO = DA，

∴∠DAO =∠DOA = 30°.

∵△OBC為等邊三角形，

∴∠BCO =∠COB = 60°，

∴∠EOA = 90°，

∴OC∥AB，∠AEO = 60° =∠BCO，

∴BC∥AE，

∴四邊形ABCE是平行四邊形.

(2)如圖6， 由題意知OC = OB = 8.

設(shè)OG = x，則由折疊可知：

AG = GC = 8 – x.

∵∠OAB = 90°，∠AOB = 30°，OB = 8，

∴OA = OB·cos30° =8 ×■=4■.

在Rt△OAG中，由勾股定理可得：

OG2 + OA2 = AG2，

即x2 +（4■）2=（8-x）2.

解得x = 1，∴OG = 1.

練習(xí)：

如圖7所示，已知四邊形ABCD是矩形，把矩形沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接DE.若DE : AC = 3 : 5.則■的值為（ ）

A.■B. ■C. ■D.■

答案：A

(作者單位：安徽省靈璧黃灣中學(xué))

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