柏華

數(shù)學(xué)方法在科研中具有不可替代的作用與地位，其是一種經(jīng)過推導(dǎo)、運(yùn)算與分析而形成判斷，解釋甚至預(yù)言的方法，它的前提是利用數(shù)學(xué)預(yù)言將事物狀態(tài)、關(guān)系及過程進(jìn)行表達(dá)。數(shù)學(xué)方法大致有三類：邏輯學(xué)中的方法、數(shù)學(xué)中的一般方法及數(shù)學(xué)中的特殊方法。其中適合用于基礎(chǔ)性及一般性數(shù)學(xué)領(lǐng)域的方法是一般性數(shù)學(xué)方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教育主要是為小學(xué)生打下建立數(shù)學(xué)思維模式的基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)中的一般方法中建模法、比較法、抽象法、推理法、圖形法等符合小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知具有偏向生活、主體與個(gè)性的特點(diǎn)。故在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中利用一般性數(shù)學(xué)方法使小學(xué)生接受數(shù)學(xué)知識(shí)，形成對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知，初步建立數(shù)學(xué)思想是十分恰當(dāng)并且必要的。

一、有助于發(fā)現(xiàn)的“合情推理”

合情推理是波利亞的“啟發(fā)法”中的一個(gè)推理模式，其解決遇到的問題提供假設(shè)與猜測(cè)，為探索提供思路。其基本過程是以已證明的正確結(jié)論、現(xiàn)實(shí)中的事實(shí)、正確實(shí)踐結(jié)果等為依據(jù)，通過直覺與經(jīng)驗(yàn)而推測(cè)問題答案。

1.從幾個(gè)具體事實(shí)中提煉出一般原理的推理方法是為歸納法，合情推理可借助于歸納法。例：進(jìn)行《圓的面積計(jì)算》教學(xué)中，教師將圓與正方形的圖形供學(xué)生觀察，提出問題：將圖形中不同大小的正方形與圓的位置、大小關(guān)系進(jìn)行比較，猜測(cè)計(jì)算圓面積的公式。

學(xué)生甲：圓的面積比大正方形小，比小正方形大。

學(xué)生乙：圓面積在2r2到4 r2范圍內(nèi)。

學(xué)生丙：大約為3r/2。

2.得到問題答案的方法。

（1）特殊值法：所謂“特殊值法”即在解答一個(gè)一般數(shù)學(xué)問題遇到瓶頸的時(shí)候，首先就此問題的一種極端或特殊情況進(jìn)行思考，尋得容易的解決方法，再利用此特殊情況的結(jié)論求得一般問題的答案。

例：A比B大1/7，B比A小幾分之幾？

一般解答：由題可知B是1，A是1+1/7；先求得B是A的多少，1÷（1+1/7）=7/8；故而得出B比A小多少，即1—7/8=1/8。題目與問題中的“單位1”改變，相應(yīng)AB對(duì)應(yīng)的具體數(shù)字也發(fā)生改變，學(xué)生求解的時(shí)候未能分清二者往往就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤答案。

特殊值解：由題可知，將A設(shè)定為8，B設(shè)定為7；再算B比A小多少。（8-7）÷8。只要掌握了基本數(shù)量之間的關(guān)系，利用特殊值法可以使較為難的問題變?yōu)楹?jiǎn)單問題，從而容易求解。

（2）“語義轉(zhuǎn)換”：在解決問題的過程中數(shù)學(xué)符號(hào)的意義常常會(huì)隨環(huán)境改變，在各異的情況下，數(shù)學(xué)符號(hào)會(huì)具有不同的解釋，然而，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，某個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的原本或常用的解釋極容易在學(xué)生思維中形成定式。

二、更加直觀的“數(shù)學(xué)模型”

“數(shù)學(xué)模型”的概念很廣泛，數(shù)學(xué)定理、概念、符號(hào)、公式都屬于其范疇，而在狹義的概念上而言，在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題等具象問題的解答中皆得利用數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型方法即在具體的數(shù)學(xué)題中建造合適的數(shù)學(xué)模型，分析此模型而解答題目的解題方式。

構(gòu)建數(shù)學(xué)概念：構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的具體方式有很多，例如形成數(shù)學(xué)概念及概括數(shù)學(xué)方法。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解讀后，對(duì)各個(gè)對(duì)象屬性均具有了一般性的認(rèn)識(shí)，利用數(shù)學(xué)模型方法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)即教師引導(dǎo)學(xué)生透過對(duì)象的表象看到本質(zhì)，將其舉一反三，歸納到相似屬性事物上，而后便可形成有關(guān)其屬性的數(shù)學(xué)模型。

例：數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，教師與學(xué)生共同研究“在矩形四邊種花”的問題，活動(dòng)結(jié)束后進(jìn)行探討。

學(xué)生甲：在矩形的四個(gè)角上各種一朵，一共要種4×4-4=12朵。

學(xué)生乙：頂點(diǎn)的花可以看做是其中一條邊上的，所以每邊的花只有3朵，再用3x4=12朵。

學(xué)生丙：先算每條邊中間的花，2×4=8朵，再加上頂點(diǎn)的4朵，也是12朵。

教師：解決這個(gè)問題可以有很多種算法，但是結(jié)果是一樣的，在解答這個(gè)問題時(shí)，主要應(yīng)抓住什么？

學(xué)生?。阂プ№旤c(diǎn)上的花不能多算一次。每條邊上樹的朵數(shù)×邊數(shù)=頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

教師：十分正確。那如果在正三角形、正五邊形、正六邊形草地周圍種花，每邊都要種4朵，每塊草地要多少朵呢？大家以小組為單位，選一個(gè)圖形進(jìn)行討論。

上述教學(xué)活動(dòng)中，教師提出問題，讓學(xué)生自己思考，得出不同的解題方法，從多個(gè)方面進(jìn)行分析。而后教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納相同之處，從而得出解決一般題目的模型：“每條邊上樹的棵數(shù)×邊數(shù)=頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)?！蓖ㄟ^這種方式，學(xué)生自主得出了多邊形各邊種花的計(jì)算方法。

三、便于理解的“數(shù)形結(jié)合”

“數(shù)形結(jié)合”是利用數(shù)量與圖形的結(jié)合來進(jìn)一步研究問題以求得解決的思維方式，將“數(shù)”的問題 “形”的問題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，利用二者解決問題的優(yōu)勢(shì)來簡(jiǎn)化、解決問題。

1.將“數(shù)”轉(zhuǎn)換成直觀的“形”：教學(xué)過程中，“數(shù)”常屬抽象的，而使其表達(dá)得更為直觀則需要借助于圖形，使其“原型化”，對(duì)使用形象與直觀思維思考問題大有裨益。

以直觀的圖形構(gòu)建抽象的數(shù)學(xué)概念。小學(xué)生對(duì)于抽象的數(shù)學(xué)概念往往不具有較強(qiáng)的接受能力，而豐富多彩的感性材料則對(duì)小學(xué)生具有較為強(qiáng)烈的吸引作用，故而在教學(xué)中合理利用此類材料則可以達(dá)到良好教學(xué)效果。例如認(rèn)識(shí)整數(shù)，可以利用數(shù)彩色小木塊的方式；認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)與小數(shù)則可以利用等分圖形的方法。讓小學(xué)生理解規(guī)律得出的過程遠(yuǎn)遠(yuǎn)比讓他們記住規(guī)律本身更為重要，數(shù)形結(jié)合可以有效降低思維難度，使學(xué)生更容易概括出規(guī)律與法則。

通過直觀的“形”得到解題靈感。圖形最大的優(yōu)勢(shì)就是將抽象問題具象化，使復(fù)雜的問題變得清晰簡(jiǎn)單，將數(shù)量用圖形的形式表達(dá)出來可以大大減小思維難度，從而解決問題。這種方法最常應(yīng)用于復(fù)雜的應(yīng)用題解答中，例如用線段圖解答路程問題，用截?cái)嗝鎴D形解答表面積等的問題。

2.借助精確的數(shù)對(duì)抽象的型進(jìn)行研究：圖形是直觀的，與此同時(shí)亦是不準(zhǔn)確的與粗略的，借助精確的數(shù)字對(duì)圖形進(jìn)行描述與認(rèn)知在教學(xué)中亦可發(fā)揮巨大的作用，例，《空間和方位》的教學(xué)中，用角度與距離加強(qiáng)學(xué)生對(duì)方位的認(rèn)知，則可以達(dá)到以數(shù)釋形。

【作者單位：淮安市白鷺湖小學(xué) 江蘇】