沈莞薔，汪國(guó)昭

1.江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇無(wú)錫 214122

2.浙江大學(xué)CAD&CG國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州 310027

3.浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系，杭州 310027

Bézier曲線到AH-Bézier曲線的升階算法

沈莞薔1，汪國(guó)昭2，3

1.江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇無(wú)錫 214122

2.浙江大學(xué)CAD&CG國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州 310027

3.浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系，杭州 310027

關(guān)于曲線升階，已有的結(jié)論往往限于同類(lèi)曲線之間。為了突破這一限制，考慮不同類(lèi)曲線間的升階，關(guān)注代數(shù)多項(xiàng)式空間中的Bézier曲線到代數(shù)雙曲多項(xiàng)式空間中的AH-Bézier曲線的升階。研究從基函數(shù)入手，利用Bézier和AH-Bézier共有的求導(dǎo)降階的特點(diǎn)，結(jié)合矩陣分塊的思想，先給出AH-Bézier基到Bernstein基的轉(zhuǎn)換矩陣，進(jìn)而推出控制頂點(diǎn)的升階公式，最后給出升階算法。結(jié)果表明，任意n次Bézier曲線可以通過(guò)該算法升到n+3階（等同于n+2次）的AH-Bézier曲線。算法實(shí)現(xiàn)了Bézier到AH-Bézier曲線模型的精確轉(zhuǎn)換。

Bézier曲線；AH-Bézier曲線；升階；基函數(shù)；轉(zhuǎn)換矩陣

1 引言

在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中，Bézier是最簡(jiǎn)單，最常用的模型之一。它在代數(shù)多項(xiàng)式空間中定義，可造型曲線的種類(lèi)不夠多，不能精確表示圓、雙曲線等經(jīng)典曲線。有理Bézier造型豐富，但有求高階導(dǎo)復(fù)雜和分母零點(diǎn)的奇異性等特點(diǎn)。因此，近年來(lái)，可用非有理形式造型圓等經(jīng)典曲線的其他空間的擬Bézier系統(tǒng)不斷涌現(xiàn)[1]。譬如，純?nèi)强臻g的p-Bézier[2]和T-Bézier[3]，純雙曲空間的擬Bézier[4]，代數(shù)三角混合空間的C-Bézier[5-6]，代數(shù)雙曲混合空間的AH-Bézier[7]，代數(shù)三角雙曲混合空間的AHT Bézier[8]，以及用復(fù)數(shù)思想統(tǒng)一代數(shù)三角雙曲的ω-Bézier[9-10]等。這些擬Bézier系統(tǒng)得到了廣泛深入的研究，已應(yīng)用于數(shù)據(jù)壓縮[11]、工程曲線曲面的造型[12]與設(shè)計(jì)[13]等方面。

升階是現(xiàn)有曲線造型系統(tǒng)的常用手段。它可以增加曲線的自由度，用于組合曲線的設(shè)計(jì)和表示等方面[14]?，F(xiàn)有的升階，往往考慮同類(lèi)曲線之間由低次升到高次，如Bézier曲線的升階[15]，純雙曲擬Bézier曲線的升階[4]，C-Bézier曲線的升階[16]等。即使對(duì)于混合曲線，如C-Bézier，也僅是針對(duì)其中同類(lèi)的代數(shù)多項(xiàng)式的次數(shù)進(jìn)行提升，即從空間span{1，sin t，cos t，t，t2，…，tn}升到空間span{1，sin t，cos t，t，t2，…，tn，tn+1}。

本文將考慮不同類(lèi)曲線間的升階。從代數(shù)多項(xiàng)式空間，提升雙曲多項(xiàng)式部分的階數(shù)，從而得到代數(shù)雙曲混合空間。換句話說(shuō)，將空間S1=span{1，t，t2，…，tn}升2階到空間S2=span{1，sh t，ch t，t，t2，…，tn}。相應(yīng)的，S1中的n次Bézier曲線升階到S2中的n+3階（等同于n+2次）的AH-Bézier曲線。

因?yàn)榭臻gS1?S2，所以，升階公式必定存在。它關(guān)鍵在于AH-Bézier基到Bernstein基的轉(zhuǎn)換矩陣。由于基表示的唯一性，該矩陣必定唯一?；旌峡臻g中的擬Bézier基和擬B樣條基的轉(zhuǎn)換矩陣已經(jīng)給出[17]，但混合擬Bézier基轉(zhuǎn)換到Bernstein基的矩陣還未有研究。本文就考慮這個(gè)轉(zhuǎn)換矩陣，從而給出曲線的升階公式，再給出升階算法。

定義在空間S2上的n+3階AH-Bézier曲線[7]，其基函數(shù){Hi，n+2:=Hi，n+2(t)，i=0，1，…，n+2}可采用如下方法給出。

其中，Qi，0≤i≤n+2為控制頂點(diǎn)。

由于AH-Bézier的參數(shù)t∈[0，α]，因此，考慮同樣參數(shù)區(qū)間的n次Bézier曲線：

為n次Bernstein基函數(shù)，參數(shù)t∈[] 0，α。

本文研究n次Bézier曲線（5）升2階到n+3階（n+2次）的AH-Bézier曲線（4）的算法。

2 Bézier到AH-Bézier的升階公式

本章研究升階公式，先考慮n+3階（n+2次）AHBézier基到n次Bernstein基的轉(zhuǎn)換矩陣，再推出曲線的升階公式。

2.1 基函數(shù)的轉(zhuǎn)換矩陣

總結(jié)本節(jié)的內(nèi)容，可得如下定理。

2.2 曲線的升階公式

根據(jù)上節(jié)的升階公式，得到曲線的升階公式，表述為如下定理。

定理2（Bézier曲線到AH-Bézier曲線的升階）對(duì)任意n≥0，n次Bézier曲線（5）可升階到n+3階（n+2次）AH-Bézier曲線（4），其控制頂點(diǎn)的關(guān)系為：

其中，Mn為(n+1)×(n+3)階矩陣，初始值M0由式（17）給出，遞推關(guān)系由式（16）給出。

3 Bézier到AH-Bézier的升階算法

根據(jù)上章給出的升階公式，本章先給出升階算法，再給出例子。

3.1 升階算法

算法1（Bézier曲線到AH-Bézier曲線的升階）給定n次Bézier曲線的控制頂點(diǎn)(P0P1…Pn)，以及任意常數(shù)α＞0，則該Bézier曲線可升2階到以α為形狀參數(shù)的n+3階（n+2次）AH-Bézier曲線，升階后的控制頂點(diǎn)(Q0Q1…Qn+2)可通過(guò)如下算法得到。

3.2 情況n=1

當(dāng)n=1時(shí)，升階前的Bézier曲線為直線。此時(shí)，升階公式為：對(duì)于矩陣C1和D1的每一列，僅有一個(gè)或兩個(gè)相鄰元素非零，且非零元素和為1。這表示在某條控制邊上取點(diǎn)，即為割角形式。在這n=1的升階過(guò)程中，C1和D1各代表一次割角，總共有兩次割角。

在本文的所有例子中，升階前的控制頂點(diǎn)，控制多邊形和Bézier曲線分別用藍(lán)色空心圈，藍(lán)色實(shí)折線和藍(lán)色粗實(shí)曲線表示；升階后的控制頂點(diǎn)，控制多邊形和AH-Bézier曲線分別用紅色星號(hào)，紅色虛折線和紅色細(xì)實(shí)曲線表示。在這些例子中，藍(lán)色曲線和紅色曲線完全重合。由于藍(lán)色曲線比紅色曲線粗，因此，藍(lán)曲線的中間部分被紅曲線覆蓋，僅邊界部分可見(jiàn)。兩曲線重合，是由于升階前后的曲線并不改變，同時(shí)驗(yàn)證了本文升階公式及算法的正確性。

圖1給出n=1的例子。α=1。初始Bézier曲線（直線）的兩個(gè)控制頂點(diǎn)用藍(lán)色空心圈表示。在升階過(guò)程中，第一次割角的三個(gè)控制頂點(diǎn)用綠色菱形表示，第二次割角的四個(gè)控制頂點(diǎn)即為升階后AH-Bézier曲線的控制頂點(diǎn)。它們用紅色星號(hào)表示。

圖1 n=1的例子

3.3 情況n=2

將M2分解成兩個(gè)矩陣的乘積：

與n=1的情況類(lèi)似，C2和D2各代表一次割角。因此，這n=2的升階過(guò)程，也可以表示為兩次割角。

圖2給出n=2的例子。α=1。初始Bézier曲線的三個(gè)控制頂點(diǎn)用藍(lán)色空心圈表示，控制多邊形用藍(lán)色實(shí)線表示。在升階過(guò)程中，第一次割角的四個(gè)控制頂點(diǎn)用綠色菱形表示，它們依次連接而成的控制多邊形用綠色點(diǎn)劃線表示，第二次割角的五個(gè)控制頂點(diǎn)即為升階后AH-Bézier曲線的控制頂點(diǎn)。它們用紅色星號(hào)表示，之間用紅色虛線連接。

圖2 n=2的例子

3.4 關(guān)于形狀參數(shù)

形狀參數(shù)α?xí)绊懮A后的AH-Bézier曲線的控制頂點(diǎn)。

圖3給出同一條Bézier曲線升階到帶有不同形狀參數(shù)α的AH-Bézier曲線的例子。其中，子圖（a），（b），（c）中的α分別取1，5，10。從中可以看出，盡管升階前Bézier曲線的控制頂點(diǎn)都相同，但是由于α不同，升階后的AH-Bézier曲線的控制頂點(diǎn)不全相同。

圖3 不同形狀參數(shù)的升階例子

4 結(jié)束語(yǔ)

本文給出了任意n次Bézier曲線到n+3階（n+2次）AH-Bézier曲線的升階算法。通過(guò)該算法，任意n次的Bézier曲線都可以精確表示為高2階的AH-Bézier曲線。將來(lái)的工作要進(jìn)一步考慮算法的幾何意義，希望將任意次的升階算法表示成割角形式，并且將類(lèi)似工作推廣到其他混合形式的擬Bézier曲線中。

[1]Mainar E，Peňa J M.A general class of Bernstein-like bases[J].Computers & Mathematics with Applications，2007，53（11）：1686-1703.

[2]Sánchez-Reyes J.Harmonic rational Bézier curves，p-Bézier curves and trigonometric polynomials[J].Computer Aided Geometric Design，1998，15（9）：909-923.

[3]嚴(yán)蘭蘭，韓旭里，鄔國(guó)根，等.二/三階三角Bézier曲線[J].圖學(xué)學(xué)報(bào)，2013，34（5）：71-75.

[4]Shen W Q，Wang G Z.A class of quasi Bézier curves based on hyperbolic polynomials[J].Journal of Zhejiang University：Science A，2005，6（SUPPL.I）：116-123.

[5]Zhang J W.C-curves：an extension of cubic curves[J].Computer Aided Geometric Design，1996，13（3）：199-217.

[6]Chen Q Y，Wang G Z.A class of Bézier-like curves[J].Computer Aided Geometric Design，2003，20（1）：29-39.

[7]Li Y J，Wang G Z.Two kinds of B-basis of the algebraic hyperbolic space[J].Journal of Zhejiang University：Science A，2005，6（7）：750-759.

[8]Xu G，Wang G Z.AHT Bézier curves and NUAHT B-spline curves[J].Journal of Computer Science and Technology，2007，22（4）：597-607.

[9]Zhang J W，Krause F L，Zhang H Y.Unifying C-curves and H-curves by extending the calculation to complex numbers[J].Computer Aided Geometric Design，2005，22（9）：865-883.

[10]Fang M E，Wang G Z.ω-Bézier[C]//10th IEEE International Conference on Computer Aided Design and Computer Graphics，Beijing，China，2007：38-42.

[11]秦新強(qiáng)，王偉偉，胡鋼.基于遺傳算法的C-Bézier曲線降階[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2013，49（5）：174-178.

[12]師利紅，張貴倉(cāng).三次TC-Bézier曲線的新擴(kuò)展[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2011，47（4）：201-204.

[13]蔡華輝，王國(guó)瑾.三次C-Bézier螺線的構(gòu)造及其在道路設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)工學(xué)版，2010，44（1）：68-74.

[14]朱平，汪國(guó)昭.B-樣條曲線升階的幾何收斂性[J].工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2010，44（1）：100-103.

[15]王國(guó)瑾，汪國(guó)昭，鄭建民.計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2001：35-43.

[16]單開(kāi)佳，汪國(guó)昭.低階C-Bézier曲線的升階[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)A輯，2002，17（4）：441-445.

[17]Wang G Z，Li Y J.Optimal properties of the uniform algebraic trigonometric B-splines[J].Computer Aided Geometric Design，2006，23（2）：226-238.

SHEN Wanqiang1,WANG Guozhao2，3

1.School of Science, Jiangnan University, Wuxi, Jiangsu 214122, China
2.State Key Lab of CAD & CG, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China
3.Department of Mathematics, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China

The existing results about curve degree elevation are mainly limited to the same type of curves. In order to push the limit and consider degree elevation between different types of curves, this paper focuses on degree elevation algorithm from Bézier curve, defined on algebraic polynomial space, to AH-Bézier curve, defined on algebraic and hyperbolic polynomial space. The study begins with basis functions. Firstly, the transformation matrix from AH-Bézier basis to Bernstein basis is built by using the block matrix idea and the same property of Bézier and AH-Bézier that the order of basis is reduced for derivative. Secondly, the degree elevation formula of control points is obtained. Lastly, the degree elevation algorithm is given. Results show that any Bézier curve of degree n can be turned into an AH-Bézier curve of order n+3（i.e.degree n+2）by using this algorithm. The algorithm gives an accurate transformation from Bézier to AH-Bézier curve model.

Bézier curve; AH-Bézier curve; degree elevation; basis function; transformation matrix

SHEN Wanqiang, WANG Guozhao. Degree elevation algorithm from Bézier curve to AH-Bézier curve. Computer Engineering and Applications, 2014, 50（17）：7-11.

A

TP391.7

10.3778/j.issn.1002-8331.1403-0209

國(guó)家自然科學(xué)基金專(zhuān)項(xiàng)數(shù)學(xué)天元基金項(xiàng)目（No.11326243）；國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（No.61272300，No.11371174）；江蘇省自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目（No.BK 20130117）。

沈莞薔（1981—），女，博士，講師，研究領(lǐng)域?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)；汪國(guó)昭（1944—），男，教授，博導(dǎo)，研究領(lǐng)域?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、醫(yī)學(xué)圖像處理。E-mail：wq_shen@163.com

2014-03-17

2014-05-16

1002-8331（2014）17-0007-05

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2014-06-26,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1403-0209.htm l