索南仁欠，李生剛

1.陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062

2.青海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，西寧 810008

區(qū)間值強(qiáng)模糊圖的運(yùn)算性質(zhì)

索南仁欠1，2，李生剛1

1.陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710062

2.青海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，西寧 810008

利用經(jīng)典圖和模糊圖定義和性質(zhì)，給出了區(qū)間值模糊關(guān)系、模糊變換以及區(qū)間值強(qiáng)模糊圖的定義，相應(yīng)地定義了區(qū)間值強(qiáng)模糊圖弱直積、半直積運(yùn)算，并且證明了其弱直積、半直積運(yùn)算封閉的性質(zhì)。

模糊圖；區(qū)間值；區(qū)間值強(qiáng)模糊圖；弱直積；半直積

在Rosenfeid提出了若干模糊圖的相關(guān)概念及性質(zhì)后，初步建立了模糊圖論系統(tǒng)。之后，Bhattacharya[1]、Peng[2]、Sunitha以及Kumar[3]以經(jīng)典圖之間的運(yùn)算為基礎(chǔ)，定義了模糊圖的補(bǔ)并研究了補(bǔ)的其他性質(zhì)及運(yùn)算；在文獻(xiàn)[4-7]中系統(tǒng)描述了模糊圖中最優(yōu)路、強(qiáng)樹的連通性及邊的特點(diǎn)；文獻(xiàn)[8-9]中又提出了完全模糊圖和正則模糊圖，進(jìn)一步改進(jìn)和發(fā)展了模糊圖理論，使得模糊圖論體系不斷完善。

作為模糊集的一類推廣，1975年，Zadeh[10]又提出了區(qū)間值模糊集的概念。近年來(lái)，國(guó)外許多學(xué)者相繼補(bǔ)充研究了區(qū)間值模糊圖的更多相關(guān)性質(zhì)。M.Akram在文獻(xiàn)[11-12]中給出了一些區(qū)間值模糊圖的確定類型并引進(jìn)了線圖定義及其性質(zhì)；A.A.Talebi在文獻(xiàn)[13]中討論了自補(bǔ)和自弱補(bǔ)區(qū)間值模糊圖及其相關(guān)的運(yùn)算；H. Rashmanlou在文獻(xiàn)[14]中給出了完全區(qū)間值模糊圖的一些相關(guān)運(yùn)算。同時(shí)，國(guó)內(nèi)也有研究人員給出了許多區(qū)間值模糊圖的相關(guān)理論。近期，楊文華和李生剛[15-16]就區(qū)間值模糊圖的運(yùn)算性質(zhì)給出了補(bǔ)充研究。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[17]（模糊圖）一個(gè)模糊圖G′是一個(gè)有序三元組G′=(G，σ，μ)，其中G=(V(G)，E(G)，φG)是一個(gè)（無(wú)向，有限）經(jīng)典圖，稱為基圖，σ:V(G)→(0，1]，μ:E(G)→(0，1]，且?e∈E(G)，μ(e)≤σ(μ)∧σ(υ)，這里μ，υ是e的端點(diǎn)。

若基圖G=(V(G)，E(G)，φG)是一個(gè)有限圖，則模糊圖G′=(G，σ，μ)也是一個(gè)有限圖。若基圖G=(V(G)，E(G)，φG)是一個(gè)完全圖，則模糊圖G′=(G，σ，μ)也是一個(gè)完全圖。若基圖G=(V(G)，E(G)，φG)是一個(gè)連通圖，則模糊圖G′=(G，σ，μ)也是一個(gè)連通圖。

2 區(qū)間值模糊圖的簡(jiǎn)單運(yùn)算

定義2.1（區(qū)間值模糊關(guān)系）基于圖G=(V，E)，設(shè)B為V上的區(qū)間值模糊關(guān)系，B=[，]為B的隸屬函數(shù)。若ek=vivj，則記μB(ek)=μB(vivj)。此關(guān)系滿足以下性質(zhì)：

①μB(vivj)=μB(vjvi)（對(duì)稱性）；

②對(duì)于任意的i，μB(vivi)=0，即(vi)=(vi)=0（反自反性）。

μB(vivj)即為vi，vj之間的區(qū)間連接程度。

定義2.2（區(qū)間值模糊變換）設(shè)X和Y均為論域，任意的區(qū)間值模糊關(guān)系B都唯一地確定了一個(gè)X到Y(jié)的區(qū)間值模糊變換TB，對(duì)于任意區(qū)間值模糊集合A滿足：

其隸屬函數(shù)為：

定義2.3（弱直積）設(shè)G1=(A1，B1)是=(V1，E1)的區(qū)間值模糊圖和G2=(A2，B2)是=(V2，E2)的區(qū)間值模糊圖，且V1∩V2=φ。在圖G*=(V1×V2，E)上的弱直積被定義為：

定義2.4（半直積）設(shè)G1=(A1，B1)是=(V1，E1)的區(qū)間值模糊圖和G2=(A2，B2)是=(V2，E2)的區(qū)間值模糊圖，且V1∩V2=φ。在圖G*=(V1×V2，E)上的半直積被定義為：

以上兩個(gè)條件，即滿足定義2.1的條件，再給出以下條件：

定義2.5（直積）設(shè)G1=(A1，B1)是=(V1，E1)的區(qū)間值模糊圖和G2=(A2，B2)是=(V2，E2)的區(qū)間值模糊圖，且V1∩V2=φ。在圖G*=(V1×V2，E)上的直積被定義為：

以上兩個(gè)條件滿足定義2.1的條件：

以上三個(gè)條件滿足定義2.2的條件，再給出以下條件：

3 區(qū)間值模糊圖的運(yùn)算性質(zhì)

命題3.1設(shè)G1=(A1，B1)是=(V1，E1)的區(qū)間值強(qiáng)模糊圖和G2=(A2，B2)是G2*=(V2，E2)的區(qū)間值強(qiáng)模糊圖，且V1∩V2=φ。則G1*G2=(A1*A2，B1*B2)也是區(qū)間值強(qiáng)模糊圖。

證明設(shè)G1=(A1，B1)是=(V1，E1)的區(qū)間值強(qiáng)模糊圖和G2=(A2，B2)是=(V2，E2)的區(qū)間值強(qiáng)模糊圖，且V1∩V2=φ。又α1α2=(u1v1)(u2v2)∈E，有：

則G1*G2=(A1*A2，B1*B2)也是區(qū)間值強(qiáng)模糊圖。如圖1所示。

圖1 區(qū)間值強(qiáng)模糊圖的弱直積

推論3.1若G1*G2=(A1*A2，B1*B2)是區(qū)間值強(qiáng)模糊圖，則G1=(A1，B1)或G2=(A2，B2)是區(qū)間值強(qiáng)模糊圖。

命題3.2設(shè)G1=(A1，B1)是=(V1，E1)的區(qū)間值強(qiáng)模糊圖和G2=(A2，B2)是=(V2，E2)的區(qū)間值強(qiáng)模糊圖，且V1∩V2=φ，則G1?G2=(A1?A2，B1?B2)也是區(qū)間值強(qiáng)模糊圖。

證明設(shè)G1=(A1，B1)是G1*=(V1，E1)的區(qū)間值強(qiáng)模糊圖和G2=(A2，B2)是G2*=(V2，E2)的區(qū)間值強(qiáng)模糊圖，且V1∩V2=φ。又(u，v1)(u，v2)∈E，有：

由命題3.1知，G1?G2=(A1?A2，B1?B2)也是區(qū)間值強(qiáng)模糊圖。例如圖2所示。

圖2 區(qū)間值強(qiáng)模糊圖的半直積

推論3.2若G1?G2=(A1?A2，B1?B2)是區(qū)間值強(qiáng)模糊圖，則G1=(A1，B1)或G2=(A2，B2)是區(qū)間值強(qiáng)模糊圖。

命題3.3設(shè)G1=(A1，B1)是G1*=(V1，E1)的區(qū)間值強(qiáng)模糊圖和G2=(A2，B2)是G2*=(V2，E2)的區(qū)間值強(qiáng)模糊圖，且V1∩V2=φ。則G1#G2=(A1#A2，B1#B2)也是區(qū)間值強(qiáng)模糊圖。

證明設(shè)G1=(A1，B1)是G1*=(V1，E1)的區(qū)間值強(qiáng)模糊圖和G2=(A2，B2)是G2*=(V2，E2)的區(qū)間值強(qiáng)模糊圖，且V1∩V2=φ。有：

由命題3.2知G1#G2=(A1#A2，B1#B2)也是區(qū)間值強(qiáng)模糊圖。如圖3所示。

圖3 區(qū)間值強(qiáng)模糊圖的直積

推論3.3若G1#G2=(A1#A2，B1#B2)是區(qū)間值強(qiáng)模糊圖，則G1=(A1，B1)或G2=(A2，B2)是區(qū)間值強(qiáng)模糊圖。

4 結(jié)語(yǔ)

在模糊圖論中，有直觀模糊圖的相關(guān)性質(zhì)，對(duì)于區(qū)間值模糊圖可否找到直觀的區(qū)間值模糊圖，能否建立模型，使已研究的區(qū)間值模糊圖的理論應(yīng)用到相關(guān)的領(lǐng)域，這些都是下一步有待解決的問(wèn)題。

從目前的發(fā)展趨勢(shì)看來(lái)，模糊圖論已在聚類分析、數(shù)據(jù)理論、Network分析以及信息理論等方面體現(xiàn)出重要的應(yīng)用價(jià)值，關(guān)于模糊圖論的研究也受到了眾多學(xué)者的關(guān)注。模糊圖論必然會(huì)像經(jīng)典圖論一樣，發(fā)展成為更系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)性更緊密的理論研究基礎(chǔ)。

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SUONAN Renqian1，2,LI Shenggang1

1.College of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi’an 710062, China
2.Department of Mathematics, Qinghai Normal University, Xining 810008, China

Using the classical graph and fuzzy graph definition and nature, it gives the definition of fuzzy relation, fuzzy interval value and interval valued fuzzy graph transformation, the corresponding definition of interval valued fuzzy graph weak direct product, semi direct product operation, and proves the weak direct product, semi direct product property operation closed.

fuzzy graph; interval value; strong interval value fuzzy graph; weak direct product; semidirect product

SUONAN Renqian, LI Shenggang. Strong interval value fuzzy operation properties of graph. Computer Engineering and Applications, 2014, 50（17）：12-15.

A

O159

10.3778/j.issn.1002-8331.1403-0112

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.11061026，No.11071151）。

索南仁欠（1969—），男，教授，研究方向：代數(shù)圖論、代數(shù)組合論。E-mail：1317087364@qq.com

2014-03-12

2014-05-13

1002-8331（2014）17-0012-04