余國勝

（江漢大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，湖北武漢430056）

變利率離散時間風(fēng)險模型破產(chǎn)問題

余國勝

（江漢大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，湖北武漢430056）

現(xiàn)實生活中風(fēng)險模型往往是帶有利率的，引入利率以加強模型的現(xiàn)實描述能力，是當(dāng)前精算學(xué)研究的熱點之一。研究了一類特殊的變利率離散時間風(fēng)險模型，得到了破產(chǎn)前一刻盈余分布的一個上界估計。

風(fēng)險模型；破產(chǎn)時刻；盈余分布

0 引言

通常用連續(xù)時間風(fēng)險模型作為對離散時間風(fēng)險模型的抽象描述，而在實際應(yīng)用中又必須再次使其離散化。事實上，連續(xù)時間風(fēng)險模型可以看作離散時間風(fēng)險模型的極限形式。對于經(jīng)典的離散時間風(fēng)險模型，成世學(xué)等［1］系統(tǒng)地予以探討，重點研究了與風(fēng)險有關(guān)的最終破產(chǎn)概率、破產(chǎn)前一刻盈余和破產(chǎn)時赤字的概率律。對任意的初始盈余u≥0，給出了上述概率或概率律的遞推律、變換解與顯示解，對于該模型已經(jīng)有了多種形式的推廣。關(guān)于常利率離散時間風(fēng)險模型的破產(chǎn)問題，孫立娟等［2］得到了描述破產(chǎn)嚴(yán)重程度的破產(chǎn)前一刻盈余分布、破產(chǎn)持續(xù)時間分布的遞推公式，并對具體實例給出了數(shù)值計算結(jié)果。另外，對利率為相依自回歸結(jié)構(gòu)的離散時間風(fēng)險模型，Cai Jun［3］給出了破產(chǎn)概率的Lundberg型不等式。但是對變利率離散時間風(fēng)險模型破產(chǎn)前一刻盈余分布的討論并不多見。本文對該問題予以討論。

1 模型

考慮一種特殊的變利率離散時間風(fēng)險模型。假定0時刻利率為r0=i0，i時刻利率為ri，而且ri=ari-1+b，這里0≤a≤1，i0，b均為非負(fù)常數(shù)。于是rn=anr0+an-1b+…+b。當(dāng)a=1，b=0時，模型就是文獻(xiàn)［2］中討論的常利率情形。進(jìn)一步假定u為保險公司的初始準(zhǔn)備金，則在n時刻，保險公司的盈余為

（1）式的等價形式為

其中Xi和Yj均為獨立同分布非負(fù)隨機變量序列，且Xi和Yj相互獨立，這里i，j=1，2，…。Xi和Yj的分布分別為FX(x)和FY(y)，它們分別表示(i-1，i]時間區(qū)間內(nèi)（或者說第i年）保險公司的保費收入和索賠支出。假定Xi和Yj有有限的期望值。為了保證保險公司正常運作，必須附加一定的風(fēng)險負(fù)荷，此時通常要求E[Xi(1+i0)]＞E(Yi)。

為了以下表述的方便，定義保險公司的破產(chǎn)時刻為

記T(u，i0)是初始盈余為u，初始利率為i0的破產(chǎn)時刻；ψn(u，i0)是初始盈余為u，初始利率為i0，破產(chǎn)時刻為n的概率。

ψ(u，i0)=nli→m∞ψˉn(u，i0)，表示初始盈余為u，初始利率為i0的最終破產(chǎn)概率；ψn(u)是初始盈余為u，利率為常數(shù)i0，破產(chǎn)時刻為n的概率。

易見ψn(u，i0)=P{T(u，i0)=n}。

Fn(u，z，i0)=P(Un-1≤z|T=n，r0=i0，U0=u)，表示初始盈余為u，初始利率為i0，破產(chǎn)時刻為n的條件下，破產(chǎn)前一刻盈余不超過z的概率。

F(u，z，i0)表示初始盈余為u，初始利率為常數(shù)i0時，破產(chǎn)前一刻盈余不超過z的概率。

易見

2 破產(chǎn)時刻分布的積分方程

定理1

證明由（1）式，U1=(u+X1)(1+r1)-Y1=(u+X1)(1+a i0+b)-Y1。對于給定的Y1=y，X1=x，如果y＞(u+x)(1+a i0+b)，則P(U1＜0|X1=x，Y1=y)=1。

當(dāng)n≥2時，P(T((u+x)(1+a i0+b)-y，a i0+b)=n|X1=x，Y1=y)=0。

如果y≤(u+x)(1+a i0+b)，則P(U1＜0|X1=x，Y1=y)=0。

當(dāng)n≥2時，

P(T((u+x)(1+a i0+b)-y，a i0+b)=n|X1=x，Y1=y)=ψn((u+x)(1+a i0+b)-y，a i0+b)，故

推論1

推論2

3 破產(chǎn)前一刻盈余分布的上界估計

引理1假設(shè)存在一個正常數(shù)R1，滿足

那么

這里證明對于?y≥0，有由歸納法原理，對一切n≥2，均有

由（3）、（9）和（19）式有

這里β1，ψ1(u，i0)，α(u，i0)定義同前。

推論3在（8）式成立的條件下，如果FY是NWUC，那么

其中ψ(u，i)定義同前，α(u，i)=E[e-R1(u+X1)(1+ai0+b)]-ψ(u，i)。

證明由文獻(xiàn)［4］的命題6.1可知，如果F是NWUC，那么β=[E(eR1Y1)]-1，于是推論得證。

［1］成世學(xué)，伍彪.完全離散的經(jīng)典風(fēng)險模型［J］.運籌學(xué)學(xué)報，1998，3（2）：42-53.

［2］孫立娟，顧嵐.離散時間保險風(fēng)險模型的破產(chǎn)問題［J］.應(yīng)用概率統(tǒng)計，2002，18（3）：293-299.

［3］CAIJ.Ruin probabilitieswith dependent rates of interes［tJ］.Appl Prob，2002，39：312-323.

［4］W ILLMOTG E，LIN X S.Lundberg approximations for compound distributionswith insurance applications［M］.New York：Springer，2001.

Ruin Prob lem of Discrete Tim e Risk M odelsw ith Variab le Rate

YUGuo-sheng
（Schoolof Mathematicsand Computer Science，Jianghan University，Wuhan 430056，Hubei，China）

In reality，a large portion of the risk models have interest rate，introducing interest rate to improve the describing capability ofmodel is one of hot topics in the actuarial research.Con?siders a special kind of discrete time riskmodelwith variable rate，the estimation ofupper bound on the distribution ofsurplus justbefore ruin isgiven.

riskmodel；ruinmoment；surplusdistribution

O211.5

A

1673-0143（2014）01-0032-04

（責(zé)任編輯：強士端）

2013-11-20

余國勝（1980—），男，講師，博士，研究方向：隨機動力系統(tǒng)、金融數(shù)學(xué)。