陳青山

摘 要： 高考數(shù)學(xué)中的數(shù)列和不等式兩部分的知識(shí)點(diǎn)，在高考數(shù)學(xué)試題中都會(huì)考查，在廣東高考數(shù)學(xué)中也是如此.想要在高考中取得優(yōu)異的數(shù)學(xué)成績(jī)，需要對(duì)不等式和數(shù)列這塊的知識(shí)點(diǎn)掌握牢固，在后面的大題中往往會(huì)結(jié)合數(shù)列與不等式的知識(shí)點(diǎn)綜合性出考題，這對(duì)考生來說是有難度的.所以學(xué)會(huì)如何突破解決這類難題很重要.本文主要討論常見題型和解題方法.

關(guān)鍵詞： 數(shù)列與不等式 例題 解析

一、高考中關(guān)于數(shù)列與不等式的題型分析

1.以客觀題考查不等式的性質(zhì)、解法與數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡(jiǎn)單交匯.

2.以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列與不等式的交匯，還有可能涉及導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識(shí)等，深度考查不等式的證明（主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法）和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數(shù)學(xué)思想，試題新穎別致，難度相對(duì)較大.

3.將數(shù)列與不等式的交匯滲透于遞推數(shù)列及抽象數(shù)列中進(jìn)行考查，主要考查轉(zhuǎn)化及方程的思想.

二、典型例題分析

題型一：有數(shù)列參與的不等式證明

例題1.設(shè)數(shù)列{a }的前n項(xiàng)和為S ，已知a =1， =a - n -n- ，n∈N*，

（1）求a 的值；

（2）求數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式；

（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有 + +…+ < .

解析：這道題屬于數(shù)列基本運(yùn)算，要求考生掌握基本知識(shí)，并且將數(shù)列和不等式的基本知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來，巧妙地綜合性解題.

（1）首先令n=1，代入題目所給的式子 =a - n -n- ，即可以解得a =4.

（2）本題有兩個(gè)解題方案.

解法一：令n=2，代入題目所給的式子 =a - n -n- ，a =4，解得a =9.

猜想a =n ，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

1.當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立；

2.假設(shè)當(dāng)n≤k時(shí)，a =k ，S = ，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，a = + k +k+ = + k +k+ =（k+1）

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立.

聯(lián)合1和2得，對(duì)任意正整數(shù)n，a =n .

解法二：當(dāng)n≥2時(shí)，2S =na - n -n - n，

2S =（n-1）a - （n-1） -（n-1） - （n-1）.

兩式相減得2a =na -（n-1）a - （3n -3n+1）-（2n-1）-

整理即可得（n+1）a =na -n（n+1）

又因?yàn)?- =1，

所以{ }是首項(xiàng)為 =1，公差為1的等差數(shù)列，

所以 =1=（n-1）×1=n，即a =n .

（3） = < = - ，n≥2

當(dāng)n=1時(shí)， =1< ；

當(dāng)n=2時(shí)， + =1+ < ；

當(dāng)n≥3時(shí)， + +…+ <1+ + - + - +…+ - = - < ，

綜上所述，對(duì)一切正整數(shù)n，有 + +…+ < .

小結(jié)：第（1）小問取n=1就可以得到答案；第（2）小問給了兩種解法，比較這兩種解法，用數(shù)學(xué)歸納法解答思維量、運(yùn)算量都小得多，所以推薦數(shù)學(xué)歸納法；第（3）小問通過適當(dāng)放縮和裂項(xiàng)相消求和是關(guān)鍵.

題型二：求數(shù)列的最大值

例題2.設(shè)等差數(shù)列{a }的前項(xiàng)和為S ，若S ≥10，S ≤15，則a 的最大值為？搖 ？搖.

【分析】根據(jù)條件將前4項(xiàng)與前5項(xiàng)和的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)a 與公差d的不等式，然后利用此不等關(guān)系確定公差d的范圍，由此可確定a 的最大值.

【解】∵等差數(shù)列{a }的前項(xiàng)和為S ，且S ≥10，S ≤15，

∴S =4a +6d≥10，S =5a +10d≤15即，2a -3d≥5，a -d≤3，

∴ ≤a ≤3+d，則5+3d≤6+2d，即d≤1.

∴a ≤3+d≤3+1=4，故a 的最大值為4.

小結(jié)：本題主要是根據(jù)條件的不等式關(guān)系求最值的，其中確定數(shù)列的公差d是解答的關(guān)鍵，同時(shí)解答中要注意不等式傳遞性的應(yīng)用.

題型三：有數(shù)列參與的比較大小

例題3.已知數(shù)列{a }是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S ，a =7，S =24.

（Ⅰ）求數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)p、q都是正整數(shù)，且p≠q，證明：S <（S +S ）.

【分析】根據(jù)條件首先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式建立方程組即可解決第（Ⅰ）小題；第（Ⅱ）小題利用差值比較法就可順利解決.

【解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a }的公差是d，依題意得，a +2d=7，4a +10d=24解得a =3，d=2，

∴數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式為a =a +（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1.

（Ⅱ）證明：∵a =2n+1，∴S =n +2n.

2S -（S +S ）=2[（p+q） +2（p+q）]-（4p +4p）-（4q +4q）=-2（p-q） ，

∵p≠q，∴2S -（S +S ）<0，∴S <（S +S ）.

小結(jié)：利用差值比較法比較大小的關(guān)鍵是對(duì)作差后的式子進(jìn)行變形，途徑主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.

題型四：求有數(shù)列參與的不等式條件下參數(shù)的取值范圍

例題4.已知a>0，且a≠1，數(shù)列{a }的前n項(xiàng)和為S ，，它滿足條件 =1- ，數(shù)列b =a ·lga .endprint

（1）求數(shù)列{b }的前n項(xiàng)T .

（2）若對(duì)一切，n∈N*都有b

分析：這道題將數(shù)列、不等式和對(duì)數(shù)結(jié)合在一起，綜合性很強(qiáng)，考查考生對(duì)數(shù)列、不等式和對(duì)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)的掌握.

解：（1）因?yàn)?=1- ，所以S =

當(dāng)n=1時(shí)，a =S = =a

當(dāng)n≥2時(shí)，a =S -S = - =a ，所以a =a ，（n∈N*）

此時(shí)b =a ·lga =a ·lga =n·a lga

所以T =b +b +…b =lga（a+2a +3a +…+na ）

假設(shè)u =a+2a +3a +…+na

所以（1-a）u =a+a +a +…a -na = -na

所以u(píng) = -

所以T =lga[ - ]

（2）因?yàn)閎

可得1.當(dāng)a>1時(shí)，由lga>0可得a>

又因?yàn)?<1（，n∈N*），而a>1，所以a> 對(duì)一切正整數(shù)都成立.

所以a的取值范圍為a>1.

2：當(dāng)0（n+1）a，a< ，

因?yàn)?≥ （n∈N*），而0

所以a的取值范圍為0

由1，2可知對(duì)一切，n∈N*都有b 1.

小結(jié)：本題綜合性強(qiáng)，涉及對(duì)數(shù)知識(shí)的運(yùn)算，要學(xué)會(huì)靈活轉(zhuǎn)換，分類討論.

三、反思

關(guān)于高考中數(shù)列與不等式的研究，由數(shù)列衍生出的不等式題，往往是各地高考數(shù)學(xué)的壓軸題，是考試的重點(diǎn)難點(diǎn)；主要考查知識(shí)的熱點(diǎn)和重點(diǎn)——數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式及二者之間的關(guān)系，等差數(shù)列和等比數(shù)列，歸納與猜想，數(shù)學(xué)歸納法，比較大小，不等式證明.在高考復(fù)習(xí)中要及時(shí)歸納，加強(qiáng)以下方面題型的指導(dǎo)和分析：數(shù)列與不等式恒成立條件下的參數(shù)問題，數(shù)列與不等式交匯的探索性問題，數(shù)列求和與不等式的交匯，數(shù)學(xué)歸納法與不等式的交匯，等等.預(yù)計(jì)在今后幾年高考題中，比較新穎的數(shù)列與不等式選擇題或填空題一定會(huì)出現(xiàn)，數(shù)列解答題的命題熱點(diǎn)是與不等式交匯，呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題.其中以函數(shù)與數(shù)列、不等式為命題載體，有著高等數(shù)學(xué)背景的數(shù)列與不等式的交匯試題是未來高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn).

參考文獻(xiàn)：

[1]廣東省高考數(shù)學(xué)卷理科.2013，6，8.

[2]四川省高考數(shù)學(xué)卷理科.2011.6，8.