趙侯宇

摘要：定積分及其應用在整個高等數(shù)學課程中占據(jù)著重要位置，可看作微分部分的后續(xù)課程，對培養(yǎng)學生進一步學習和研究的能力具有不可替代的作用。文章針對定積分及其應用的特點和當前教學中存在的問題，通過幾道題目闡釋了教學改革中應注意的一些問題。

關鍵詞：高等數(shù)學 教學改革

定積分作為高等數(shù)學的重要組成部分占據(jù)著重要位置，這部分內(nèi)容的幾何意義比較明確，解題方法靈活多樣.因此在教學中如何引導學生通過做練習的方式去自己體會、總結解題規(guī)律，特別是應用已學過的知識和已解決過的問題來處理未知問題就顯得尤為重要。下面通過幾個例子來說明解題經(jīng)驗積累的重要性。

例1 求■■cos（πt2）dt

分析：該題的上下限都是函數(shù)，而在課堂上老師教給學生的一般都只是變上限函數(shù)，即形如■f（t）dt，而對于這種上下都是變化的函數(shù)時，顯然需要引導學生去總結。針對此題，如果學生知道了變上限函數(shù)該如何求導，再應用定積分的性質即可得到答案。

解：原式=■■cos（πt2）dt+■■cos（πt2）dt

=-■■cos（πt2）+■■cos（πt2）dt

=-cos（πsin2x）cosx-cos（πcos2x）sinx。

例2 求極限limx→0■

分析：經(jīng)過觀察可發(fā)現(xiàn)當x→0時，這是一個■型的問題，并且可用洛必達法則進行計算，此外，該題也考察了變上限函數(shù)的求導公式，如果學生對這些掌握熟練的話，相信很快便能寫出答案。

解：原式=limx→0■=limx→0■

=limx→0■=2。

例3 求■e2xcosxdx

分析：如果教師在課堂上介紹了一類特殊定積分的求法，即■excosxdx，學生對此類習題經(jīng)過一些練習后，會很快想到用類似方法進行計算。

解：令■e2xcosxdx=T

則原式=e2xsinx|■■-2■e2xsinxdx

=e2xsinx|■■-2[-e2xcosx|■■+2■e2xcosxdx]

=e2xsinx|■■+2e2xcosx|■■-4T

從而可得原式=■[e2xsinx|■■+2e2xcosx|■■]=■。

例4 求由下列曲線所圍成的圖形的面積：y=ex，y=e-x及直線x=1。

分析：此題考查學生對定積分在幾何上的應用。教師在課堂上對平面圖形面積的求法進行細致的分析，通過元素法使學生懂得平面圖形面積的求法，那么此題即可解決。

解：先求出這幾條曲線的交點，易求得交點為（1，e），（1，■），（0，1），取橫坐標x為積分變量，它的變化區(qū)間為[0，1]，相應于[0，1]上任一小區(qū)間[x，x+dx]的窄條的面積近似于高為ex-e-x、底為dx的窄矩形的面積，從而得到面積元素：dA=（ex-e-x）dx

以（ex-e-x）dx為被積表達式，在閉區(qū)間[0，1]上作定積分，便得所求面積為：A=■（ex-e-x）dx=e+■-2。

例5 求下列曲線所圍成的圖形繞x軸旋轉所產(chǎn)生的旋轉體的體積。

y=arcsinx，x=1，y=0

分析：本題考察利用定積分求旋轉體的體積，與上一題類似，學生需要知道通過體積元素來求得結果，對此需要將該旋轉體的體積元素找到，才能進行運算。

解：首先求得幾條曲線的交點為（0，0），（1，0），（1，■）。取橫坐標為積分變量，它的變化區(qū)間為[0，1]，該旋轉體中任一小區(qū)間[x，x+dx]的薄片體積近似于底半徑為arcsinx，高為dx的扁圓柱體的的體積，即體積元素：

dV=π[arcsinx]2dx

于是所求旋轉體體積為：

V=■π[arcsinx]2dx=π■t2cotdt=■π3-2π。

定積分及其應用作為高等數(shù)學的重要部分，相對來說易于理解，但由于解法的技巧性很強，導致學生經(jīng)常無法做出答案，如何讓學生更好的掌握教師交給的知識，在解題時熟練的應用是老師們一直在思考的問題。本文用幾個例子說明了在高等數(shù)學的教學過程中，多加練習積累經(jīng)驗的重要性。筆者認為對于數(shù)學學科來說，只有多做練習才能使學生更好的掌握所學的抽象知識，加深對所學知識的理解，還可以幫助他們開闊思維、拓展視野、培養(yǎng)興趣、增加學習積極性。在整個教學過程中，教師可以通過習題課培養(yǎng)學生自覺聯(lián)系所學知識，使他們對課程產(chǎn)生興趣

和學習的主動性，逐步提高該課程的教學質量和教學效果。

參考文獻：

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].6版.北京：高等教育出版社，2012.

[2]薛志純，余慎之，袁潔英.高等數(shù)學[M].北京：清華大學出版社，2008.

[3]張建國.《高等應用數(shù)學》定積分的教學探索[J].價值工程，2011（27）.