【摘要】本文從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度引入帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式，以此介紹物理學(xué)知識(shí)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。既解決了數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)，又豐富了物理學(xué)科中直線運(yùn)動(dòng)的位移公式，使學(xué)生形象地理解記憶泰勒定理，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

【關(guān)鍵詞】泰勒定理直線運(yùn)動(dòng)的位移公式物理數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】O13 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）06-0140-01

數(shù)學(xué)和物理是密不可分的.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生能體會(huì)到用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的過(guò)程，但很少體會(huì)到物理學(xué)知識(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。本文就以直線運(yùn)動(dòng)的位移公式引入泰勒公式為案例，介紹物理學(xué)知識(shí)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。泰勒定理是大學(xué)一年級(jí)理工科學(xué)生必需掌握的內(nèi)容，但很多學(xué)生不理解泰勒定理。為了讓學(xué)生能順利地理解這個(gè)定理，雖然很多同行對(duì)其教學(xué)方法做了大量探討，但并沒(méi)有從根本上解決問(wèn)題。究其原因是：教師在教學(xué)中有意識(shí)地用多項(xiàng)式逼近的方法引出泰勒公式。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們完全不了解這種形式的逼近性，老師將用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的思想強(qiáng)加給了他們。所以，泰勒定理難理解就難在用逼近的思想引入。本文恰好突破這一點(diǎn)，不是刻意用多項(xiàng)式逼近函數(shù)，而是自然而然地轉(zhuǎn)化到多項(xiàng)式逼近上。本文從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度演繹泰勒定理的形成，可謂是泰勒定理的再發(fā)現(xiàn)，使學(xué)生形象地理解記憶泰勒定理，豐富了物理學(xué)科中直線運(yùn)動(dòng)的位移公式，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

現(xiàn)假設(shè)一物體在時(shí)刻x0開(kāi)始作直線運(yùn)動(dòng)，f(x)為物體在時(shí)刻x的位移。

若物體運(yùn)動(dòng)是勻速的，即速度f(wàn)′(x)是常數(shù)，根據(jù)勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式得：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0) （1）

若物體作勻變速運(yùn)動(dòng)，即加速度f(wàn)″(x)是常數(shù)，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式得：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)＋■f″(x0)(x-x0)2 （2）

以上是學(xué)生在中學(xué)物理中已經(jīng)熟悉的知識(shí)。

若物體作變加速運(yùn)動(dòng)，但加速度是均勻變化的，以下不妨稱為勻變加速運(yùn)動(dòng)，即f?蓯(x)≡f?蓯((x0)，我們猜測(cè)物體運(yùn)動(dòng)的位移公式可能為：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)＋■f″(x0)(x-x0)2+■f?蓯((x0)(x-x0)3（3）

下面來(lái)分析（3）式是否成立：

將（3）式對(duì)x逐次求導(dǎo)得：

速度函數(shù)：

f′(x)=■f′(x0)+■f″(x0)(x-x0)+■f?蓯((x0)(x-x0)2，

加速度函數(shù)：

f″(x)=■f″(x0)+■f?蓯(x0)(x-x0)，

加速度函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)：

f?蓯((x)=■f?蓯(x0)。

這與f?蓯(x)是常數(shù)矛盾，所以（3）式不成立。若上述求導(dǎo)過(guò)程中得到f?蓯(x)≡f?蓯((x0)，只需將（3）中■改為■，所以可對(duì)（3）式進(jìn)行修正，正確的結(jié)果應(yīng)該為：

f(x)=f(x0)+■f′(x0)(x-x0)＋■f″(x0)(x-x0)2+■f?蓯((x0)(x-x0)3（3）′

這就是勻變加速運(yùn)動(dòng)的位移公式。彈簧振子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、大氣中不斷焚毀的隕星就是典型的這類運(yùn)動(dòng)。其實(shí)若在f?蓯(x)≡f?蓯((x0)的兩端從時(shí)刻x0到時(shí)刻x積分三次可直接得（3）′ 式，只是這個(gè)階段學(xué)生還未學(xué)習(xí)積分知識(shí)。

顯然若f（n+1）(x)=f（n+1）(x0)，則f(x)=f(x0)+■f′(x0)(x-x0)＋■f″(x0)(x-x0)2+…+■f(n)((x0)(x-x0)n+■(x-x0)n+1

進(jìn)一步，若f(n+1)(x)不是常數(shù)，將f(n+1)(x0)換為f(n+1)(x)在[x0，x]上的最大值，等式右邊的值比左邊可能要大。相仿的，若將f(n+1)(x0)換為f(n+1)(x)在[x0，x]上的最小值，則等式右邊的值比左邊可能要小。所以應(yīng)將f(n+1)(x0)換為f(n+1)(x)在[x0，x]上的介于最大值與最小值之間的值f(n+1)(ξ)，其中ξ∈[x0，x]，實(shí)際上，由導(dǎo)數(shù)的介值定理，可保證點(diǎn)ξ的存在。容易看到，當(dāng)x≤x0時(shí)，結(jié)論也是成立的。這樣，我們就得到了帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式，以定理的形式給出：

泰勒定理如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個(gè)開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)具有直到（n+1）階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一x∈（a，b），有

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+■(x-x0)2+…+■(x-x0)n+Rn(x)（4）

其中Rn(x)=■f(n+1)(ξ)(x-x0)n+1，這里ξ是x0與x之間的某個(gè)值。

多年的教學(xué)實(shí)踐表明，用這種方法引入泰勒公式很自然，不但讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程，而且使學(xué)生很容易接受泰勒定理，大大激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維、發(fā)散性思維，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體會(huì)物理學(xué)知識(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，并在應(yīng)用中豐富物理學(xué)知識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上冊(cè)) [M]. 4版. 北京:高等教育出版社, 2010.137-142.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)(上冊(cè)) [M]. 6版. 北京:高等教育出版社, 2007.139-142.

作者簡(jiǎn)介：

姚海燕，女，1985年出生，漢族，山東陽(yáng)谷人，助教，碩士，主要研究函數(shù)論方向。