【摘要】第二類換元積分法在《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中是重點(diǎn)，亦是難點(diǎn)，本文想通過兩種解題方式的介紹，使同學(xué)們拓展思路，更簡(jiǎn)單的利用三角代換解決問題。

【關(guān)鍵詞】三角代換第二類換元積分應(yīng)用兩種方法

【中圖分類號(hào)】O172.2 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）06-0139-02

“三角代換”是數(shù)學(xué)解題中的一種常用技巧，這種技巧在解決一些運(yùn)算復(fù)雜、解題思路疑難的問題時(shí)常常能起到事半功倍、豁然開朗的效果。在不定積分一章的教學(xué)中，當(dāng)被積式中含有根式■，■，■時(shí)，我們通常的做法是進(jìn)行三角代換，以此達(dá)到將無理式化為有理三角函數(shù)的目的，然后積分。

在第二類換元積分法中，若f（x）是連續(xù)函數(shù)，x=φ（t）有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)φ'（t），且φ'（t）≠0。又設(shè)■f[φ（t）]φ'（t）dt=F（t）+c則有換元公式■f（x）dx=■f[φ（t）]φ'（t）dt=F[φ-1（x）]+c。

當(dāng)被積函數(shù)f（x）是含有■，■，■的類型時(shí)，積分的困難在于含有無理式。通?！陡叩葦?shù)學(xué)》教材上是：若含有■，設(shè)x=asint；含有■,設(shè)x=atant;含有■，設(shè)x=asect。目的在于通過三角代換，去掉根式。積分后所得的原函數(shù)是以變量為t的原函數(shù)，最后再進(jìn)行變量回代。在所設(shè)的三角代換中將變量t還原成原積分變量x。

還有一種方法，只要從直角三角形的勾股定理出發(fā)，直接將根式看成直角三角形的某個(gè)邊，則被積分式就可看成某些邊的比，從而也達(dá)到把無理式化為有理三角函數(shù)的目的，現(xiàn)就兩種方法舉例說明。

例1：求■■dx（a>0）

方法1：作變量代換x=asint（0＜t＜■），則dx=acostdt

■■dx=■■·acosdx=■a2cos2tdt=a2■■dt=■■dt-■■cos2td（2t）=■t-■sin2t+c=■-■sintcost+c

因?yàn)閤=asint，則sint=■，則t=arcsin■。

為了從sint=■，直接求出cost，作直角三角形，如圖1

這時(shí)直接求出cost=■，

代入上面的結(jié)果得：

■■dx=■（arcsin■-■·■）+c=■arcsin■-■x■+c

方法2：設(shè)圖1為直角三角形，sint=■，x=asint，則dx=acostdt。

所以■■dx=a■■dx=a■■dx=a■cost·a·costdt=a■2■■dt=■-■sintcost+c=■arcsin■-■·■·■+c=■arcsin■-■x·■+c。

例2：求■■

方法1：作三角變換x=asect，則dx=atantsectdt，于是，x2-a■2=a■2 sec2t-a■2=a■2（sec2t-1）=a2tan2t

因此■■=■■=■■■dt=■■■=-■·■+c

根據(jù)x=asect，作直角三角形，如圖2

sint=■所以，原式=-■+c

方法2：設(shè)圖2為直角三角形，則

sect=■，故x=asect，dx=asecttantdt

所以■■=■■■dx=■■■dx=■■cot3t·asecttantdt=■■·■·■dt=■■■dt=■■■=-■·■+c=■+c

例3：■■（a>0）

方法1：作三角代換x=atant，則dx=asec2tdt

于是■=■=■=asect

因此原式=■■dt=■sectdt=lnsect+tant+c1

根據(jù)，tant=■作直角三角形如圖3

則sect=■tant=■

因此 ■■=ln■+c1=ln■+x+c

方法2：作圖3,設(shè)tant=■，x=atant，dx=asec2tdt

■■=■■■dx=■■■dx=■■cost·asec2tdt=■cost■=■■=lnsect+tant+c1=ln■+x+c 注意：對(duì)某些有理式也可采用三角代換。

例4：求■■dx

方法1：作三角代換， x=tant ，dx=sec2tdt

■■dx=■■dt=■sintcostdt=-■cos2t+c

根據(jù)x=tant，作直角三角形如圖4

所以原式=-■+c

方法2：作圖4,設(shè) x=tant， dx=sec2tdt

■■dx=■■dt=■■·■dx=■sintcos3t·sec2tdt=■sintcostdt=-■costd（cost）=-■cos2t+c=-■+c

方法3：該題也可用第一類換元積分法

■■dx=■■■=-■+c

通過上面幾個(gè)例子可以看出，三角代換在第二類換元積分法中的應(yīng)用還是比較多的。在多年教學(xué)中，學(xué)生用三角代換解題時(shí)，通常對(duì)同角三角函數(shù)之間的關(guān)系感到困難，認(rèn)為公式多，運(yùn)算繁。后來兩種方法同時(shí)講授，有些同學(xué)對(duì)勾股定理及三角函數(shù)邊與邊之間的比較為熟悉，反而認(rèn)為第二種方法容易掌握。

參考文獻(xiàn)：

[1]曹輝，馬文素，李強(qiáng).《應(yīng)用數(shù)學(xué)》[M].大連理工大學(xué)出版社

[2]王敬有.三角代換在換元積分法中的應(yīng)用[J].1983.8

作者簡(jiǎn)介：

裴昌萍（1962—），女，四川雅安人，本科，青海建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院高級(jí)講師，研究方向：數(shù)學(xué)教育。