王明美

(合肥師范學(xué)院，安徽合肥 230601)

當一個質(zhì)點同時在X軸和Y軸上作簡諧運動，形成的圖形就是李薩如圖形。

李薩如圖上的每一個點都可以用以下的公式進行表示:

從這里可以看出，李薩如圖實際上是一個質(zhì)點同時在X軸和Y軸上作簡諧運動形成的。但是，如果這兩個相互垂直的振動的頻率為任意值，那么它們的合成運動就會比較復(fù)雜，而且軌跡是不穩(wěn)定的。然而，如果兩個振動的頻率成簡單的整數(shù)比，這樣就能合成一個穩(wěn)定、封閉的曲線圖形，這就是李薩如圖形。［1-2］

幾何畫板是一款優(yōu)秀的很適合數(shù)學(xué)、物理教學(xué)和學(xué)習的教育軟件平臺。其特點是簡單實用，不需要編程，學(xué)習容易，操作簡單，交互性強。［3］用幾何畫板可以輕松實現(xiàn)描繪李薩如圖形，并且能夠描繪出的動態(tài)圖形。文獻3中介紹了使用旋轉(zhuǎn)矢量的方法［3］，本文介紹用諧振動方程合成的方法，分別對于兩個相互垂直的同頻率的諧振動的合成和兩個相互垂直的頻率成整數(shù)比的諧振動的合成繪制動態(tài)圖形。

1 兩個相互垂直的同頻率的諧振動的合成

設(shè)有兩個相互垂直的同頻率的諧振動，其振動表達式分別為

式中:ω 為兩個振動的角頻率，A1、A2和 φ10、φ20分別為兩振動的振幅和初相位。把參量t消去，就得到軌道的直角坐標方程

一般地說，上述方程是橢圓方程。特別地，當φ20－φ10=0，π時，質(zhì)點的軌跡是一條直線。

以下是幾何畫板5．05的具體步驟。

(1)新建一個畫板文件，保存文件名為李薩如圖形．gsp。

(2)建立坐標系、設(shè)置參數(shù)

1．1 建立坐標系

使用“繪圖”的“定義坐標系”，建立直角坐標系Oxy。使用直線工具建立平行于x軸線段AB，注意將A點設(shè)置在y軸上，設(shè)置為t軸。

1．2 設(shè)置參數(shù)

在AB線段即t軸上用點工具制作點C，選中C，使用菜單“度量”中的“橫坐標”，將標注中“xC”改為“t”。使用菜單“數(shù)據(jù)”中的“新建參數(shù)”，設(shè)置x軸諧振動振幅A1=1厘米，y軸諧振動振幅A2=2厘米，x軸諧振動初相位a1=0°，y軸諧振動初相位a2=45°。

2 計算t時的自變量值和函數(shù)值

使用菜單“數(shù)據(jù)”中的“計算”，輸入A1*cos(w1*t+a1)算出x值，同理輸入A2*cos(w2*t+a2)算出y值。

3 設(shè)置軌跡和動畫

依次選中x值和y值，使用菜單“繪圖”中的“繪制點(x，y)”，制作出點 D，依次選中 D、C點，使用菜單“構(gòu)造”中的“軌跡”。

依次選中C、B點，使用菜單“編輯”中的“操作類按鈕”的“移動”命令，選擇中速，移動到目標位置，設(shè)置出按鈕“移動C→B”;同理設(shè)置出按鈕“移動C→A”。

單擊按鈕“移動C→B”，就可以顯示D點的運動軌跡，如圖1所示。

圖1 兩個相互垂直的同頻率的諧振動的合成D點的軌跡

改變參數(shù)，可以得到D點不同的軌跡，圖2是兩個相互垂直的同頻率而不同相位差的諧振動的合成，圖中只需保留了D點的軌跡，其他元素都隱藏。

圖2 兩個相互垂直的同頻率而不同相位差的諧振動的合成Δφ=φ20－φ10

4 兩個相互垂直的頻率成整數(shù)比的諧振動的合成

設(shè)置 w1w2為 5 2，A1=2A2，得到圖3。

圖3兩個相互垂直的w1w2為5 2的諧振動的合成(A1=2A2)

依次取 w1w2為2 1、3 1、3 2 和5 2，依次2π，取 A1=2A2，得到圖4。

圖3 兩個相互垂直的w1w2為52的諧振動的合成(A1=2A2)

圖4 兩個相互垂直的頻率成整數(shù)比的諧振動的合成(Δφ=φ20－φ10A1=2A2)

若以N1和N2分別表示李薩如圖形與外切水平線及外切垂直線的切點數(shù)，則其切點數(shù)與正弦波頻率之間有如下關(guān)系:w1w2=N1N2。

本文中使用的諧振動方程合成的方法，特別是設(shè)置變量t的方法，適用于其他簡諧振動的多種關(guān)系圖示。［4-5］

［1］ 馬文蔚．物理學(xué)·下冊(第四版)［M］．北京:高等教育出版社，1999:23-26．

［2］ 趙艷．基于Matlab示波器原理的演示［J］．大學(xué)物理實驗，2013，26(16)．

［3］ 蘭明乾．用幾何畫板描繪李薩如圖形［J］．實驗科學(xué)與技術(shù)，2008(3):31-33．

［4］ 王明美．幾何畫板在一維簡諧振動的合成教學(xué)中的應(yīng)用［J］．合肥師范學(xué)院學(xué)報，2013，12(6):69-70．

［5］ 王明美．“幾何畫板”繪制機械振動的關(guān)系圖示［J］．大學(xué)物理實驗，2013，26(4):69-71．